Ext funktor - Ext functor

V matematice se Ext funktory jsou odvozené funktory z Hom funktoru . Spolu s funktorem Tor je Ext jedním ze základních konceptů homologické algebry , ve kterém se myšlenky z algebraické topologie používají k definování invariantů algebraických struktur. Cohomology skupin , Lež algebry a asociativní algebry lze všechny definovány v podmínkách Ext. Název pochází ze skutečnosti, že první skupina Ext Ext ¹ klasifikuje rozšíření jednoho modulu o jiný.

Ve zvláštním případě abelianských skupin představil Ext Reinhold Baer (1934). Pojmenoval jej Samuel Eilenberg a Saunders MacLane (1942) a aplikoval na topologii ( univerzální koeficientová věta pro cohomologii ). U modulů přes jakýkoli kruh byl Ext definován Henri Cartanem a Eilenbergem v jejich knize Homologické algebry z roku 1956 .

Definice

Nechť R být prsten a nechal R -mod být kategorie modulů přes R . (Lze to považovat buď za levé R -moduly nebo pravé R -moduly.) Pro pevný R -modul A nechme T ( B ) = Hom _R ( A , B ) pro B v R -Mod. (Zde Hom _R ( A , B ) je abelianská skupina R -lineárních map od A do B ; toto je R -modul, pokud R je komutativní .) Toto je levý přesný funktor z R -Mod do kategorie abelian skupiny Ab, a tak to přímo odvozené functors R ⁱ T . Skupiny Ext jsou abelianské skupiny definované

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} T) (B),}$

pro celé číslo i . Podle definice to znamená: přijmout jakékoli injektivní rozlišení

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to I^{0} \ to I^{1} \ to \ cdots,}$

odstraňte termín B a vytvořte cochainový komplex :

${\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{1}) \ to \ cdots.}$

Pro každé celé číslo i , Extⁱ
_R.( A , B ) je cohomologie tohoto komplexu v poloze i . Je to nula pro i negativní. Například Ext⁰
_R.( A , B ) je jádro mapy Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), které je izomorfní s Hom _R ( A , B ).

Alternativní definice používá funktor G ( A ) = Hom _R ( , B ), pro pevné R -module B . Jedná se o protichůdný funktor, který lze považovat za levý přesný funktor z opačné kategorie ( R -Mod) ^op do Ab. Skupiny Ext jsou definovány jako správné odvozené funktory R ⁱ G :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} G) (A).}$

To znamená, zvolte libovolné projektivní rozlišení

${\ Displaystyle \ cdots \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to A \ to 0,}$

odstraňte termín A a vytvořte cochainový komplex:

${\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ to \ cdots.}$

Dalšíⁱ
_R.( A , B ) je cohomologie tohoto komplexu v poloze i .

Cartan a Eilenberg ukázali, že tyto konstrukce jsou nezávislé na volbě projektivního nebo injektivního rozlišení a že obě konstrukce poskytují stejné skupiny Ext. Navíc pro pevný prstenec R je Ext funktor v každé proměnné (protiklad v A , kovariant v B ).

Pro komutativní kruh R a R -moduly A a B , Extⁱ
_R.( A , B ) je R -modul (pomocí, že Hom _R ( A , B ) je v tomto případě R -modul). Pro nekomutativní prstenec R , Extⁱ
_R.( A , B ) je obecně pouze abelianskou skupinou. Pokud R je algebra nad prstencem S (což zejména znamená, že S je komutativní), pak Extⁱ
_R.( A , B ) je alespoň S -modul.

Vlastnosti Ext

Zde jsou některé ze základních vlastností a výpočtů skupin Ext.

• Ext⁰
  _R.( , B ) ≅ Hom _R ( , B ) pro všechny R -modules A a B .

• Extⁱ
  _R.( , B ) = 0 pro všechna i > 0 v případě, že R -module A je projektivní (například zdarma ), nebo pokud B je injective .

• Konverzace také platí:
  • Pokud Ext¹
    _R.( A , B ) = 0 pro všechna B , pak A je projektivní (a tedy Extⁱ
    _R.( A , B ) = 0 pro všechny i > 0).
  • Pokud Ext¹
    _R.( A , B ) = 0 pro všechna A , pak B je injektivní (a tedy Extⁱ
    _R.( A , B ) = 0 pro všechny i > 0).

• ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{i} (A, B) = 0}$pro všechna i ≥ 2 a všech abelian skupin A a B .

• Pokud R je komutativní kruh a u v R není nulový dělitel , pak

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (R/(u), B) \ cong {\ begin {cases} B [u] & i = 0 \\ B/uB & i = 1 \\ 0 & {\ text {jinak,}} \ end {případy}}}$

pro všechny R -module B . Zde B [ u ] označuje podskupinu u -torze B , { x ∈ B : ux = 0}. Vezmeme- R , že je kruh celých čísel, tento výpočet může být použit k výpočtu pro všechny Konečně generované abelian skupiny A .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{1} (A, B)}$

• Zobecněním předchozího příkladu lze vypočítat skupiny Ext, když je první modul kvocient komutativního kruhu libovolnou pravidelnou sekvencí , pomocí Koszulova komplexu . Například pokud R je polynomiální kruh k [ x ₁ , ..., x _n ] přes pole k , pak Ext^*
  _R.( k , k ) je vnější algebra S přes k na n generátorů v Ext ¹ . Navíc Ext^*
  _S( k , k ) je polynomiální kruh R ; toto je příklad koszulské duality .

• Podle obecných vlastností odvozených funktorů existují dvě základní přesné sekvence pro Ext. Za prvé, krátká přesná sekvence 0 → K → L → M → 0 R -modulů indukuje dlouhou přesnou sekvenci formy

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, K) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, L) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, M) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, K) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, L) \ to \ cdots,}$

pro všechny R -module A . Krátká přesná sekvence 0 → K → L → M → 0 také indukuje dlouhou přesnou sekvenci formuláře

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (M, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (L, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (K, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (M, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (L, B) \ to \ cdots,}$

pro všechny R -module B .

• Ext bere přímé částky (možná nekonečné) v první proměnné a produkty ve druhé proměnné na produkty. To je:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (M, \ prod _ {\ alpha } N _ {\ alpha} \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M, N _ {\ alpha}) \ end {aligned}}}$

• Nechť být konečně generované modul přes komutativní noetherovských kruhu R . Poté Ext dojíždí s lokalizací v tom smyslu, že pro každou multiplikačně uzavřenou množinu S v R , každý R -modul B a každé celé číslo i ,

${\ Displaystyle S^{-1} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S^{-1} R}^{i} \ left (S^{-1} A, S^{-1} B \ vpravo).}$

Ext a rozšíření

Ekvivalence rozšíření

Skupiny Ext odvozují svůj název od vztahu k rozšíření modulů. Vzhledem k R -modulům A a B je prodloužení A o B krátkou přesnou sekvencí R -modulů

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to E \ to A \ to 0.}$

Dvě rozšíření

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to E \ to A \ to 0}$

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to E '\ to A \ to 0}$

se říká, že jsou ekvivalentní (jako rozšíření A o B ), pokud existuje komutativní diagram :

Všimněte si, že pět lemma znamená, že střední šipka je izomorfismus. Rozšíření A o B se nazývá rozdělení, pokud je ekvivalentní triviálnímu rozšíření

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to A \ oplus B \ to A \ to 0.}$

Mezi třídami ekvivalence rozšíření A o B a prvky Ext existuje vzájemná korespondence¹
_R.( A , B ). Triviální rozšíření odpovídá nulovému prvku Ext¹
_R.( A , B ).

Baerův součet rozšíření

Baer částka je explicitní popis abelian struktury skupiny na Ext¹
_R.( , B ), zobrazeno jako množina tříd ekvivalence z prodloužení A od B . Totiž s ohledem na dvě rozšíření

${\ Displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ to 0}$

a

${\ Displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E' {\ xrightarrow [{g '}] {}} A \ to 0,}$

První tvoří stáhnout zpět nad , ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ left \ {(e, e ') \ in E \ oplus E' \; | \; g (e) = g '(e') \ right \}.}$

Poté vytvořte modul kvocientu

${\ Displaystyle Y = \ Gamma /\ {(f (b),-f '(b)) \; | \; b \ v B \}.}$

Baerův součet E a E ' je rozšíření

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to Y \ to A \ to 0,}$

kde je první mapa a druhá je . ${\ Displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$${\ Displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e ')}$

Až do ekvivalence rozšíření je Baerův součet komutativní a jako prvek identity má triviální rozšíření. Negativem rozšíření 0 → B → E → A → 0 je rozšíření zahrnující stejný modul E , ale s homomorfismem B → E nahrazeným jeho negativem.

Konstrukce Ext v abelianských kategoriích

Nobuo Yoneda definoval abelianské skupiny Extⁿ
_C( A , B ) pro objekty A a B v jakékoli abelianské kategorii C ; to souhlasí s definicí z hlediska usnesení, pokud má C dostatek projektilů nebo dostatek injektiv . Nejprve Ext⁰
_C.( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Další, Ext¹
_C.( A , B ) je sada tříd ekvivalence rozšíření A o B , tvořících abelianskou skupinu podle Baerova součtu. Nakonec vyšší Ext skupiny Extⁿ
_C( A , B ) jsou definovány jako třídy ekvivalence n-rozšíření , což jsou přesné sekvence

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0,}$

podle vztahu ekvivalence generovaného vztahem, který identifikuje dvě rozšíření

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ xi: 0 & \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0 \\\ xi ': 0 & \ to B \ to X '_ {n} \ do \ cdots \ do X' _ {1} \ do A \ do 0 \ end {zarovnáno}}}$

pokud existují mapy pro všechny m v {1, 2, ..., n } tak, že každý výsledné čtverečních dojíždí , to znamená, pokud je mapa řetězec ξ → ξ‘, který je identita na A a B . ${\ Displaystyle X_ {m} \ až X '_ {m}}$

Baerova součet dvou n -extensions jako výše, je tvořen tím, že nechá se na stáhnout zpět na a přes A , a být pushout z a za B . Pak je Baerův součet rozšíření ${\ displaystyle X '' _ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X '_ {1}}$${\ displaystyle X '' _ {n}}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X '_ {n}}$

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to X '' _ {n} \ to X_ {n-1} \ oplus X '_ {n-1} \ to \ cdots \ to X_ {2} \ oplus X' _ { 2} \ do X '' _ {1} \ do A \ do 0.}$

Odvozená kategorie a produkt Yoneda

Důležitým bodem je, že skupiny Ext v abelianské kategorii C lze považovat za soubory morfismů v kategorii související s C , odvozenou kategorií D ( C ). Objekty odvozené kategorie jsou komplexy objektů v C . Konkrétně jeden má

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

kde na objekt C je nahlíženo jako na komplex koncentrovaný ve stupni nula, a [ i ] znamená posunutí komplexu i kroky doleva. Z této interpretace existuje bilineární mapa , někdy nazývaná produkt Yoneda :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) \ times \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{j} (B, C) \ na \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i+j} (A, C),}$

což je jednoduše složení morfismů v odvozené kategorii.

Produkt Yoneda lze také popsat elementárnějšími pojmy. Pro i = j = 0, pak produkt je složení map v kategorii C . Obecně lze produkt definovat spojením dvou rozšíření Yoneda.

Alternativně lze produkt Yoneda definovat v rozlišeních. (To je v blízkosti definici odvozené kategorie). Předpokládejme například, R je kruh, přičemž R -modules A , B , C , a nechat P , Q a T být projektivní rezoluce A , B , C . Dalšíⁱ
_R.( A , B ) lze identifikovat se skupinou tříd řetězových homotopií řetězových map P → Q [ i ]. Produkt Yoneda je dán skládáním řetězových map:

${\ Displaystyle P \ to Q [i] \ až T [i+j].}$

Podle kterékoli z těchto interpretací je produkt Yoneda asociativní. V důsledku toho, je odstupňovaná kroužek , pro jakýkoli R -module A . Například to dává strukturu kruhu ve skupinové kohomologii, protože to lze považovat za . Také podle asociativitě produktu Yoneda: pro každou R -modules a B , je modul přes . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$ ${\ Displaystyle H^{*} (G, \ mathbb {Z}),}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$

Důležité speciální případy

• Skupina kohomologie je definován , kde G je skupina, M je reprezentace z G přes celá čísla, a je kruhová skupina z G .${\ Displaystyle H^{*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• Pro algebru A nad polem k a A - bimodulem M je Hochschildova cohomologie definována vztahem

${\ Displaystyle HH^{*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A^{\ text {op}}}^{*} (A, M).}$

• Kohomologie Lieovy algebry je definována vztahem , kde je Lieova algebra nad komutativním prstencem k , M je -modul a je univerzální obklopující algebrou .${\ Displaystyle H^{*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}}^{*} (k, M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• Pro topologický prostor X lze svahovou kohomologii definovat jako Zde Ext je brán v abelianské kategorii svazků abelianských skupin na X a je svazkem místně konstantně hodnocených funkcí.${\ Displaystyle H ^{*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^{*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Pro komutativním noetherovských místní kruhu R zbytkem pole k , je univerzální obalová algebry z tříděného algebry lži n * ( R ) přes k , známý jako homotopie algebry lži z R . (Abychom byli přesní, když k má charakteristiku 2, je třeba na π *( R ) pohlížet jako na „upravenou Lieovu algebru“.) Existuje přirozený homomorfismus odstupňovaných Lieových algeber z André – Quillenovy kohomologie D *( k / R , k ) až π*( R ), což je izomorfismus, pokud k má charakteristickou nulu.${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (k, k)}$

Viz také

• globální rozměr
• rozlišení pruhu
• Grothendieckova skupina
• Grothendieck místní dualita

Poznámky

Reference

• Avramov, Luchezar (2010), „Nekonečná volná rozlišení“, Šest přednášek o komutativní algebře , Birkhäuser , s. 1–108, doi : 10,1007 /978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homologická algebra , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, MR  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), „Skupinové rozšíření a homologie“, Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR  1968966 , MR  0007108
• Gelfand, Sergej I .; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Methods of homological algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), „Hopfovy algebry a derivace“, Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10,1016/0021-8693 (80) 90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry . Cambridgeská studia v pokročilé matematice. 38 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .
• Weibel, Charles A. (1999), „Dějiny homologické algebry“ (PDF) , Dějiny topologie , Amsterdam: Severní Holandsko, s. 797–836, ISBN 9780444823755, MR  1721123