Místní prsten - Local ring

V algebře , konkrétně teorii prstenu , místní kroužky jsou některé kruhy , které jsou poměrně jednoduché, a slouží k popisu toho, co se nazývá „lokální chování“, v tom smyslu, že funkce definované na odrůd nebo rozdělovači nebo v algebraických čísel projednána na konkrétní místo , nebo hlavní. Místní algebra je obor komutativní algebry, který studuje komutativní lokální prstence a jejich moduly .

V praxi často vzniká komutativní lokální prstenec v důsledku lokalizace prstence na primární ideál .

Koncept místních prstenů zavedl Wolfgang Krull v roce 1938 pod názvem Stellenringe . Anglický výraz místní prsten má na svědomí Zariski .

Definice a první důsledky

Kruh R je místní kruh v případě, že má jednu z následujících stejných vlastnostech:

R má jedinečný maximální levý ideál .
R má jedinečný maximální správný ideál.
1 ≠ 0 a součet jakýchkoliv dvou jiných než jednotky v R je non-jednotky.
1 ≠ 0 a pokud x je jakýkoli prvek R , pak x nebo 1 - x je jednotka.
Pokud je konečný součet jednotkou, pak má výraz, který je jednotkou (zejména to znamená, že prázdný součet nemůže být jednotkou, takže to znamená 1 ≠ 0).

Pokud tyto vlastnosti platí, pak se jedinečný maximální levý ideál shoduje s unikátním maximálním pravým ideálem a Jacobsonovým radikálem prstenu . Třetí z výše uvedených vlastností říká, že množina nejednotek v místním kruhu tvoří (vlastní) ideál, nutně obsažený v Jacobsonově radikálu. Čtvrtou vlastnost lze parafrázovat následovně: prsten R je lokální právě tehdy, když neexistují dva coprime vlastní ( hlavní ) (levé) ideály, kde dva ideály I ₁ , I ₂ se nazývají coprime, pokud R = I ₁ + Já ₂ .

V případě komutativních prstenů není třeba rozlišovat levý, pravý a oboustranný ideál: komutativní prsten je lokální právě tehdy, má-li jedinečný maximální ideál. Asi před rokem 1960 mnoho autorů požadovalo, aby místní prsten byl (levý a pravý) noetheriánský , a (případně nenoetherský) místní prsteny se nazývaly kvazi-místní prsteny . V tomto článku tento požadavek není uložen.

Místní kruh, který je integrální doménou, se nazývá místní doména .

Příklady

Všechna pole (a šikmá pole ) jsou místní prstence, protože {0} je jediným maximálním ideálem v těchto prstencích.
Kruh je místní prsten ( $p$ prime, $n$ $\geq 1$ ). Jedinečný maximální ideál se skládá ze všech násobků $p$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /p^{n} \ mathbb {Z}}$
Obecněji řečeno, nenulový kruh, ve kterém je každý prvek buď jednotkou, nebo nilpotentní, je místní prsten.
Důležitou třídou místních prstenů jsou diskrétní oceňovací prsteny , což jsou místní hlavní ideální domény, které nejsou pole.
Prsten , jehož prvky jsou nekonečné řady, kde násobení je dáno takovým , je místní. Jeho jedinečný maximální ideál se skládá ze všech prvků, které nejsou invertovatelné. Jinými slovy, skládá se ze všech prvků s konstantním termínem nula. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [[x]]}$ ${\ textstyle \ sum _ {i = 0}^{\ infty} a_ {i} x^{i}}$ ${\ textstyle (\ sum _ {i = 0}^{\ infty} a_ {i} x^{i}) (\ sum _ {i = 0}^{\ infty} b_ {i} x^{i} ) = \ sum _ {i = 0}^{\ infty} c_ {i} x^{i}}$ ${\ textstyle c_ {n} = \ sum _ {i+j = n} a_ {i} b_ {j}}$
Obecněji řečeno, každý prsten formální mocenské řady přes místní prsten je místní; maximální ideál se skládá z těch výkonových řad s konstantním termínem v maximálním ideálu základního prstence.
Podobně je algebra duálních čísel v jakémkoli poli lokální. Obecněji řečeno, pokud F je místní kruh a n je kladné celé číslo, pak je kvocient F [ X ]/( X ⁿ ) lokální s maximálním ideálem skládajícím se ze tříd polynomů s konstantním termínem patřícím k maximálnímu ideálu F , protože k převrácení všech ostatních polynomů modulo X ⁿ lze použít geometrickou řadu . Pokud F je pole, pak prvky F [ X ]/( X ⁿ ) jsou buď nulové nebo invertibilní . (Dvojí čísla nad F odpovídají případu n = 2. )
Nenulové kvocientové prstence místních prstenů jsou místní.
Kruh racionálních čísel s lichým jmenovatelem je lokální; jeho maximální ideál se skládá ze zlomků se sudým čitatelem a lichým jmenovatelem. Jedná se o celá čísla lokalizovaná na 2.
Obecněji řečeno, vzhledem k jakékoli komutativní prsten R a jakýkoli primární ideál P z R , o lokalizaci z R u P je místní; maximální ideál je ideál generovaný P v této lokalizaci; to znamená, že maximální ideální se skládá ze všech prvků a / s s ∈ P a y ∈ R - P .

Prsten choroboplodných zárodků

Abychom u těchto prstenů motivovali název „místní“, uvažujeme spojité funkce s reálnou hodnotou definované v nějakém otevřeném intervalu kolem 0 skutečné čáry . Zajímá nás pouze chování těchto funkcí blízko 0 (jejich „lokální chování“), a proto budeme identifikovat dvě funkce, pokud se shodnou na nějakém (možná velmi malém) otevřeném intervalu kolem 0. Tato identifikace definuje vztah ekvivalence a třídy ekvivalence se nazývají „ zárodky spojitých funkcí s reálnou hodnotou při 0“. Tyto zárodky lze sčítat a rozmnožovat a vytvořit komutativní prstenec.

Abychom viděli, že tento prstenec zárodků je lokální, musíme charakterizovat jeho invertibilní prvky. Zárodek f je invertibilní právě tehdy, když f (0) ≠ 0 . Důvod: je-li f (0) ≠ 0 , pak podle spojitosti existuje otevřený interval kolem 0, kde f není nula, a na tomto intervalu můžeme vytvořit funkci g ( x ) = 1/ f ( x ) . Funkce g dává vznik zárodku a součin fg je roven 1. (Naopak je -li f invertibilní, pak existuje takové g , že f (0) g (0) = 1, tedy f (0) ≠ 0. )

Při této charakterizaci je zřejmé, že součet jakýchkoli dvou neinvertibilních zárodků je opět neinvertibilních a máme komutativní lokální prstenec. Maximální ideál tohoto prstence se skládá právě z těch zárodků f s f (0) = 0 .

Přesně stejné argumenty fungují pro prstenec zárodků spojitých reálných funkcí na jakémkoli topologickém prostoru v daném bodě, nebo prstenec zárodků diferencovatelných funkcí na libovolném diferencovatelném potrubí v daném bodě nebo prstenec zárodků racionálních funkcí na jakékoli algebraické odrůdě v daném bodě. Všechny tyto prsteny jsou tedy místní. Tyto příklady pomáhají vysvětlit, proč jsou schémata , zobecnění odrůd, definována jako speciální místně prstencové prostory .

Oceňovací teorie

Místní prsteny hrají hlavní roli v teorii oceňování. Podle definice, je ocenění kroužek z pole K je subring R tak, že pro každé nenulové prvek x z K , alespoň jedno z X a x ^-1 je v R . Každý takový podřetězec bude místní prsten. Například kruh racionálních čísel s lichým jmenovatelem (zmíněný výše) je prsten ocenění v . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Vzhledem k poli K , které může, ale nemusí být funkčním polem , můžeme v něm hledat místní prstence. Pokud K byly skutečně funkční pole z algebraické odrůdy V , pak pro každý bod P o V můžeme zkusit definovat ocenění kruhový R funkcí „definovaných na“ P . V případech, kde V má rozměr 2 nebo více, existuje obtíž, která je viděna tímto způsobem: pokud F a G jsou racionální funkce na V s

F ( P ) = G ( P ) = 0,

funkce

F / G

je neurčitý tvar v P . Vzhledem k jednoduchému příkladu, jako je

Y / X ,

přiblížil podél linie

Y = tX ,

člověk vidí, že hodnota na P je koncept bez jednoduché definice. Je nahrazeno použitím ocenění.

Nekomutativní

Nekomutativní lokální prstence vznikají přirozeně jako prsteny endomorfismu při studiu přímých součtových rozkladů modulů nad některými jinými kruhy. Konkrétně, pokud je prstenec endomorfismu modulu M lokální, pak je M nerozložitelný ; naopak, pokud má modul M konečnou délku a je nerozložitelný, pak je jeho prstenec endomorfismu lokální.

Pokud k je pole o charakteristické p > 0 a G je konečná p -skupina , pak skupina algebry kG je lokální.

Některá fakta a definice

Komutativní případ

Rovněž píšeme ( R , m ) pro komutativní lokální prstenec R s maximálním ideálním m . Každý takový kruh stává topologické kroužek přirozenou cestou, pokud se vezme síly m jako sousedství základny 0. To je m -adic topologie na R . Pokud ( R , m ) je komutativní noetherovský místní prsten, pak

{\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} m^{i} = \ {0 \}}

( Krullova věta o průsečíku ), a z toho vyplývá, že R s m -adickou topologií je Hausdorffův prostor . Věta je důsledkem Artin – Reesova lemmatu spolu s Nakayamovým lemmatem a jako takový je „noetherovský“ předpoklad zásadní. Skutečně nechť R je prstenec zárodků nekonečně diferencovatelných funkcí na 0 ve skutečné linii a m je maximální ideál . Pak nenulová funkce patří k libovolnému n , protože tato funkce dělená je stále hladká. ${\ displaystyle (x)}$ ${\ displaystyle e^{-{1 \ over x^{2}}}}$ ${\ displaystyle m^{n}}$ ${\ displaystyle x^{n}}$

Pokud jde o jakýkoli topologický kruh, lze se zeptat, zda ( R , m ) je úplný (jako jednotný prostor ); pokud není, považuje se za jeho dokončení , opět za místní prsten. Kompletní noetheriánské místní prsteny jsou klasifikovány Cohenovou strukturní větou .

V algebraické geometrii, zejména když R je místní kruh systému v určitém bodě P , R / m , se nazývá pole zbytek místní prstence nebo oblasti reziduí bodu P .

Jestliže ( R , m ) a ( S , n ) jsou lokální prstence, pak lokální kruhový homomorfismus od R do S je kruhový homomorfismus f : R → S s vlastností f ( m ) ⊆ n . To jsou přesně kruhové homomorfizmy, které jsou spojité s ohledem na dané topologie na R a S . Zvažte například odeslání prstenového morfismu . Předobraz je . Další příklad místního kruhového morfismu uvádí . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x]/(x^{3}) \ to \ mathbb {C} [x, y]/(x^{3}, x^{2} y, y^{4 })}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x]/(x^{3}) \ to \ mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

Obecný případ

Jacobson radikální m lokálního kruhového R (která je rovna maximální unikátní vlevo ideální a také jedinečné maximální přímo ideální) sestává právě z non-jednotek kruhu; Dále se jedná o unikátní maximální oboustranný ideál R . V nekomutativním případě však mít jedinečný maximální dvoustranný ideál není rovnocenný místnímu.

Pro prvek x místního kruhu R jsou následující ekvivalentní:

x má levou inverzi
x má pravou inverzi
x je invertibilní
x není v m .

Pokud se ( R , m ), je místní, potom faktor kruh R / m je zkosení pole . Pokud J ≠ R je jakýkoliv oboustranný ideální R , potom faktor kruh R / J je opět místní, s maximální ideální m / J .

Hluboká věta by Irving Kaplansky říká, že jakýkoli projektivní modul přes místní prstenu je zdarma , i když v případě, kdy se konečně generované modul je jednoduchá důsledkem Nakayamy lemma . To má zajímavý důsledek z hlediska ekvivalence Mority . Totiž, pokud P je konečně generovaný projektivní modul R , pak P je izomorfní k volnému modulu R ⁿ , a proto je kruh endomorfismů izomorfní k plnému kruhu matic . Vzhledem k tomu, každý kruh Morita ekvivalentní místnímu kruhu R je formy pro takový P , lze konstatovat, že pouze kroužky Morita ekvivalentní místnímu kruhu R jsou (izomorfní) matrice prsteny R . ${\ displaystyle \ mathrm {End} _ {R} (P)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} _ {R} (P)}$

Poznámky

^ Krull, Wolfgang (1938). „Dimensionstheorie ve Stellenringenu“. J. Reine Angew. Matematika. (v němčině). 1938 (179): 204. doi : 10,1515/crll.1938.179.204 .
^ Zariski, Oscar (květen 1943). „Základy obecné teorie Birational Correspondences“ (PDF) . Trans. Amer. Matematika. Soc . Americká matematická společnost. 53 (3): 490–542 [497]. doi : 10,2307/1990215 . JSTOR 1990215 .
^ Lam (2001), s. 295, Thm. 19.1.
^ "Štítek 07BI" .
^ Například matice 2 na 2 nad polem má jedinečný maximální ideál {0}, ale má několik maximálních pravých a levých ideálů.

Reference

Lam, TY (2001). První kurz nekomutativních kruhů . Absolventské texty z matematiky (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra . 2 (2. vyd.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Viz také

externí odkazy

Filozofie místních prstenů

[Krull-1] Krull, Wolfgang (1938). „Dimensionstheorie ve Stellenringenu“. J. Reine Angew. Matematika. (v němčině). 1938 (179): 204. doi : 10,1515/crll.1938.179.204 .

[Zariski-2] Zariski, Oscar (květen 1943). „Základy obecné teorie Birational Correspondences“ (PDF) . Trans. Amer. Matematika. Soc . Americká matematická společnost. 53 (3): 490–542 [497]. doi : 10,2307/1990215 . JSTOR 1990215 .

[3] Lam (2001), s. 295, Thm. 19.1.

[4] "Štítek 07BI" .

[5] Například matice 2 na 2 nad polem má jedinečný maximální ideál {0}, ale má několik maximálních pravých a levých ideálů.

Languages

In other projects