Injekční předmět - Injective object

V matematice , zejména v oblasti teorie kategorií , je koncept injektivního objektu zobecněním konceptu injektivního modulu . Tento koncept je důležitý v kohomologii , v teorii homotopy a v teorii modelových kategorií . Dvojí pojem je projektivní objekt .

Definice

Objekt Q injective pokud, vzhledem k tomu, monomorfizmus f  : X → Y , žádný g  : X → Q může být rozšířena na Y .

O objektu v kategorii se říká, že je injektivní, pokud pro každý monomorfismus a každý morfismus existuje morfismus zasahující do , tj. Takový, že . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ displaystyle g: X \ až Q}$${\ displaystyle h: Y \ až Q}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle h \ circ f = g}$

To znamená, že každý morfismus ovlivňuje každý monomorfismus . ${\ displaystyle X \ až Q}$${\ displaystyle X \ hookrightarrow Y}$

Není nutné, aby morfismus ve výše uvedené definici byl jednoznačně určen pomocí a . ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

V lokálně malé kategorii je ekvivalentní vyžadovat, aby funktor hom přenášel monomorfismy na surjektivní množinové mapy. ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {C}} (-, Q)}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

V Abelianských kategoriích

Pojem injektivity byl nejprve formulován pro abelianské kategorie a toto je stále jednou z jeho primárních oblastí použití. When is a abelian category, an object Q of is injective if and only if its hom functor Hom _C (-, Q ) is exact . ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Pokud je přesná sekvence v tak, že Q je injective, pak sekvence rozdělí . ${\ displaystyle 0 \ až Q \ až U \ až V \ až 0}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Dost injekcí a injekčních slupek

Kategorie se říká, že mají dostatek injectives -li pro každý objekt X ze existuje monomorfizmus z X do injective objektu. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Monomorfismus g in se nazývá esenciální monomorfismus, pokud pro jakýkoli morfismus f je složený fg monomorfismus, pouze pokud f je monomorfismus. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Pokud g je nezbytnou monomorfizmus s doménou X a injective codomain G , pak G se nazývá injekční aplikaci trup z X . Injekční trup je pak jednoznačně určen X až do nekanonického izomorfismu.

Příklady

• V kategorii abelianských skupin a skupinových homomorfismů , Ab , je injektivní objekt nutně dělitelná skupina . Za předpokladu axiomu výběru jsou pojmy rovnocenné.
• V kategorii (levých) modulů a homomorfismů modulů , R - Mod , je injektivní objekt injektivní modul . R - Mod má injekční trupy (v důsledku toho má R - Mod dostatek injekčních uživatelů).
• V kategorii metrických prostorů , Met , injective objekt je injective metrický prostor , a injective trup metrického prostoru je jeho těsné rozpětí .
• V kategorii prostorů T ₀ a spojitých mapování je injektivní objekt vždy Scottovou topologií na spojité mřížce , a proto je vždy střízlivý a místně kompaktní .

Použití

Pokud má abelianská kategorie dostatek injektivů, můžeme vytvořit injektivní rozlišení , tj. Pro daný objekt X můžeme vytvořit dlouhou přesnou sekvenci

${\ displaystyle 0 \ až X \ až Q ^ {0} \ až Q ^ {1} \ až Q ^ {2} \ až \ cdots}$

a jeden pak může definovat odvozené functors daného functor F za použití F na tuto sekvenci a výpočet homologie výsledného (ne nutně přesně) sekvence. Tento přístup se používá k definování funktorů Ext a Tor a také různých cohomologických teorií v teorii skupin , algebraické topologii a algebraické geometrii . Používané kategorie jsou obvykle kategorie funktorů nebo kategorie svazků modulů O _X přes nějaký prstencovaný prostor ( X , O _X ) nebo obecněji jakoukoli kategorii Grothendieck .

Zobecnění

Objekt Q je H -injektivní, pokud je dáno h  : A → B v H , jakékoli f  : A → Q faktory přes h .

Nechť je kategorie a nechť je třída morfismů . ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Objekt ze se říká, že -injective jestliže pro každou morfismu a každý morfismu v existuje morphism s . ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle f: A \ až Q}$${\ displaystyle h: A \ až B}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g: B \ až Q}$${\ displaystyle g \ circ h = f}$

Pokud jde o třídu monomorfismů , jsme zpět k injekčním objektům, které byly ošetřeny výše. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Kategorie se říká, že mají dostatek -injectives -li pro každý objekt X části , existuje -morphism z X k -injective objektu. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

A -morfismus g in se nazývá -esenciální, pokud pro jakýkoli morfismus f je složený fg in pouze v případě, že f je in . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Pokud g je -essential morfismus s doménou X a -injective codomain G , pak G se nazývá -injective trup z X . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Příklady H -injektivních objektů

• V kategorii zjednodušených množin jsou injektivní objekty s ohledem na třídu anodynových rozšíření komplexy Kan . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$
• V kategorii částečně uspořádaných množin a monotónních mapy jsou úplné svazy tvoří injektivních objekty pro třídy z objednávek embeddings a dokončení Dedekind-MacNeille ze uspořádaná množina je jeho -injective trup. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Viz také

• Projektivní objekt

Poznámky

Reference

• J. Rosicky, Injektivita a dostupné kategorie
• F. Cagliari a S. Montovani, T ₀ -reflection a injektivní trupy vláken prostorů