Ekstra funktioner - Ext functor

I matematik er Ext -funktionerne de afledte funktioner i Hom -funktionen . Sammen med Tor functor er Ext et af kernekoncepterne for homologisk algebra , hvor ideer fra algebraisk topologi bruges til at definere invarianter af algebraiske strukturer. Den cohomology af grupper , Lie algebraer , og associative algebraer kan alle defineres i form af Ext. Navnet kommer fra, at den første Ext -gruppe Ext ¹ klassificerer udvidelser af et modul efter et andet.

I det særlige tilfælde for abelske grupper blev Ext introduceret af Reinhold Baer (1934). Det blev navngivet af Samuel Eilenberg og Saunders MacLane (1942) og anvendt på topologi (den universelle koefficient -sætning for kohomologi ). For moduler over enhver ring blev Ext defineret af Henri Cartan og Eilenberg i deres 1956 -bog Homological Algebra .

Definition

Lad R være en ring og lad R -Mod være kategori af moduler end R . (Man kan tage dette til at betyde enten venstre R -moduler eller højre R -moduler.) For et fast R -modul A , lad T ( B ) = Hom _R ( A , B ) for B i R -Mod. (Her er Hom _R ( A , B ) den abelske gruppe af R -lineære kort fra A til B ; dette er et R -modul, hvis R er kommutativ .) Dette er en nøjagtig venstre funktion fra R -Mod til kategorien abelsk grupper Ab, og så det har ret afledte functors R ⁱ T . Ext -grupperne er de abelske grupper defineret af

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} T) (B),}$

for et helt tal i . Per definition betyder dette: tag enhver injektiv opløsning

${\ displaystyle 0 \ to B \ to I^{0} \ to I^{1} \ to \ cdots,}$

fjern udtrykket B , og danne cochain -komplekset :

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{1}) \ to \ cdots.}$

For hvert helt tal i , Extⁱ
_R( A , B ) er kohomologien for dette kompleks i position i . Det er nul for jeg negativ. For eksempel kan Ext⁰
_R( A , B ) er kernen på kortet Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), som er isomorf for Hom _R ( A , B ).

En alternativ definition anvender functor G ( A ) = Hom _R ( A , B ), for en fast R -modul B . Dette er en kontravariant funktor, som kan ses som en venstre nøjagtig funktor fra den modsatte kategori ( R -Mod) ^op til Ab. Ext -grupperne er defineret som de rigtige afledte funktioner R ⁱ G :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} G) (A).}$

Det vil sige, at du vælger enhver projektiv opløsning

${\ displaystyle \ cdots \ til P_ {1} \ til P_ {0} \ til A \ til 0,}$

fjern udtrykket A , og danne cochain -komplekset:

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ to \ cdots.}$

Den næsteⁱ
_R( A , B ) er kohomologien for dette kompleks i position i .

Cartan og Eilenberg viste, at disse konstruktioner er uafhængige af valget af projektiv eller injektiv opløsning, og at begge konstruktioner giver de samme Ext -grupper. Desuden er Ext for en fast ring R en funktor i hver variabel (kontravariant i A , kovariant i B ).

For en kommutativ ring R og R -moduler A og B , Extⁱ
_R( A , B ) er et R -modul (ved hjælp af at Hom _R ( A , B ) er et R -modul i dette tilfælde). For en ikke-kommutativ ring R , Extⁱ
_R( A , B ) er generelt kun en abelsk gruppe. Hvis R er en algebra over en ring S (hvilket især betyder, at S er kommutativ), så er Extⁱ
_R( A , B ) er mindst et S -modul.

Egenskaber for Ext

Her er nogle af de grundlæggende egenskaber og beregninger af Ext -grupper.

• Ekst⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) for ethvert R -modules A og B .

• Ekstⁱ
  _R( A , B ) = 0 for alle i > 0, hvis R -modulet A er projektivt (f.eks. Gratis ), eller hvis B er injektiv .

• Samtalerne indeholder også:
  • Hvis Ext¹
    _R( A , B ) = 0 for alle B , så er A projektivt (og dermed Extⁱ
    _R( A , B ) = 0 for alle i > 0).
  • Hvis Ext¹
    _R( A , B ) = 0 for alle A , så er B injektiv (og dermed Extⁱ
    _R( A , B ) = 0 for alle i > 0).

• ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{i} (A, B) = 0}$for alle i ≥ 2 og alle abelske grupper A og B .

• Hvis R er en kommutativ ring, og u i R ikke er en nuldeler , så

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (R/(u), B) \ cong {\ begin {cases} B [u] & i = 0 \\ B/uB & i = 1 \\ 0 & {\ text {ellers,}} \ slut {cases}}}$

for enhver R -modul B . Her betegner B [ u ] u -torsion -undergruppen for B , { x ∈ B : ux = 0}. Idet R at være ringen af heltal, kan denne beregning anvendes til beregning for enhver finitely genereret abelsk gruppe A .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{1} (A, B)}$

• Ved at generalisere det foregående eksempel kan man beregne Ext -grupper, når det første modul er kvoten for en kommutativ ring efter en hvilken som helst regelmæssig sekvens ved hjælp af Koszul -komplekset . For eksempel, hvis R er polynomringen k [ x ₁ , ..., x _n ] over et felt k , så er Ext^*
  _R( k , k ) er den ydre algebra S over k on n generatorer i Ext ¹ . Desuden er Ext^*
  _S( k , k ) er den polynomiske ring R ; dette er et eksempel på Koszul -dualitet .

• Ved de generelle egenskaber ved afledte funktorer er der to grundlæggende nøjagtige sekvenser for Ext. For det første inducerer en kort nøjagtig sekvens 0 → K → L → M → 0 af R -moduler en lang nøjagtig sekvens af formen

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, K) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, L) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, M) \ til \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, K) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, L) \ to \ cdots,}$

for enhver R -modul A . En kort nøjagtig sekvens 0 → K → L → M → 0 inducerer også en lang nøjagtig sekvens af formen

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (M, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (L, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (K, B) \ til \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (M, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (L, B) \ to \ cdots,}$

for enhver R -modul B .

• Ext tager direkte summer (muligvis uendelig) i den første variabel og produkter i den anden variabel til produkter. Det er:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (M, \ prod _ {\ alpha } N _ {\ alpha} \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M, N _ {\ alpha}) \ end {align}}}$

• Lad A være en finitely genereret modul over en Kommutativ Noetherian ring R . Derefter pendler Ext med lokalisering , i den forstand at for hvert multiplikativt lukkede sæt S i R , hvert R -modul B og hvert helt tal i ,

${\ displaystyle S^{-1} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S^{-1} R}^{i} \ venstre (S^{-1} A, S^{-1} B \ højre).}$

Ext og extensions

Ækvivalens af udvidelser

Ext -grupperne får deres navn fra deres relation til udvidelser af moduler. I betragtning af R -modulerne A og B er en forlængelse af A med B en kort nøjagtig sekvens af R -moduler

${\ displaystyle 0 \ til B \ til E \ til A \ til 0.}$

To udvidelser

${\ displaystyle 0 \ to B \ to E \ to A \ to 0}$

${\ displaystyle 0 \ to B \ to E '\ to A \ to 0}$

siges at være ækvivalente (som forlængelser af A med B ), hvis der er et kommutativt diagram :

Bemærk, at Five lemma indebærer, at den midterste pil er en isomorfisme. En udvidelse af A med B kaldes split, hvis den svarer til den trivielle forlængelse

${\ displaystyle 0 \ til B \ til A \ oplus B \ til A \ til 0.}$

Der er en en-til-en-korrespondance mellem ækvivalensklasser for forlængelser af A med B og elementer i Ext¹
_R( A , B ). Den trivielle forlængelse svarer til nulelementet i Ext¹
_R( A , B ).

Baersummen af ​​udvidelser

Den Baer sum er en udtrykkelig beskrivelse af abelsk gruppe struktur på Ext¹
_R( A , B ) set som sættet af ækvivalens klasser af udvidelser af A efter B . Nemlig givet to udvidelser

${\ displaystyle 0 \ til B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ to 0}$

og

${\ displaystyle 0 \ til B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E' {\ xrightarrow [{g '}] {}} A \ til 0,}$

først danne pullback løbet , ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ left \ {(e, e ') \ in E \ oplus E' \; | \; g (e) = g '(e') \ right \}.}$

Danne derefter kvotemodulet

${\ displaystyle Y = \ Gamma /\ {(f (b),-f '(b)) \; | \; b \ i B \}.}$

Baersummen af E og E ′ er forlængelsen

${\ displaystyle 0 \ to B \ to Y \ to A \ to 0,}$

hvor det første kort er og det andet er . ${\ displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$${\ displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e ')}$

Op til ækvivalens af udvidelser er Baer -summen kommutativ og har den trivielle forlængelse som identitetselement. Det negative ved en udvidelse 0 → B → E → A → 0 er forlængelsen, der involverer det samme modul E , men med homomorfismen B → E erstattet af dens negative.

Konstruktion af Ext i abelske kategorier

Nobuo Yoneda definerede de abelske grupper Extⁿ
_C( A , B ) for objekter A og B i enhver abelsk kategori C ; dette stemmer overens med definitionen med hensyn til beslutninger, hvis C har nok projektiver eller nok sprøjtemidler . Først, Ext⁰
_C( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Dernæst Ext¹
_C( A , B ) er sættet af ækvivalensklasser for forlængelser af A med B , der danner en abelsk gruppe under Baersummen. Endelig er de højere Ext -grupper Extⁿ
_C( A , B ) defineres som ækvivalensklasser af n-udvidelser , som er nøjagtige sekvenser

${\ displaystyle 0 \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0,}$

under ækvivalensforholdet genereret af relationen, der identificerer to udvidelser

${\ displaystyle {\ begynde {justeret} \ xi: 0 & \ til B \ til X_ {n} \ til \ cdots \ til X_ {1} \ til A \ til 0 \\\ xi ': 0 & \ til B \ til X '_ {n} \ til \ cdots \ til X' _ {1} \ til A \ til 0 \ ende {justeret}}}$

hvis der er kort for alle m i {1, 2, ..., n }, så hver resulterende firkantede commutes , det vil sige, hvis der er en kæde kort ξ → ξ', som er identitet på A og B . ${\ displaystyle X_ {m} \ til X '_ {m}}$

Den Baer summen af to n -extensions som ovenfor dannes ved at lade være tilbagetrækning af og i A , og være pushout af og under B . Så er Baersummen af ​​udvidelserne ${\ displaystyle X '' _ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X '_ {1}}$${\ displaystyle X '' _ {n}}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X '_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ to B \ to X '' _ {n} \ to X_ {n-1} \ oplus X '_ {n-1} \ to \ cdots \ to X_ {2} \ oplus X' _ { 2} \ til X '' _ {1} \ til A \ til 0.}$

Den afledte kategori og Yoneda -produktet

Et vigtigt punkt er, at Ext -grupper i en abelsk kategori C kan ses som sæt morfismer i en kategori, der er knyttet til C , den afledte kategori D ( C ). Formålene med den afledte kategori er komplekser af objekter i C . Helt konkret har man

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

hvor et objekt af C ses som et kompleks koncentreret i grad nul, og [ i ] betyder at flytte et kompleks i trin til venstre. Fra denne fortolkning er der et to -lineært kort , undertiden kaldet Yoneda -produktet :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) \ times \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{j} (B, C) \ til \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i+j} (A, C),}$

som simpelthen er sammensætningen af ​​morfisme i den afledte kategori.

Yoneda -produktet kan også beskrives i mere elementære termer. For i = j = 0, er produktet sammensætningen af kort i kategori C . Generelt kan produktet defineres ved at splitte to Yoneda -udvidelser sammen.

Alternativt kan Yoneda -produktet defineres i form af opløsninger. (Dette er tæt på definitionen af den afledte kategori.) For eksempel, lad R være en ring, med R -modules A , B , C , og lad P , Q , og T være projektive beslutninger af A , B , C . Den næsteⁱ
_R( A , B ) kan identificeres med gruppen af kædehomotopiklasser af kædekort P → Q [ i ]. Yoneda -produktet er givet ved at sammensætte kædekort:

${\ displaystyle P \ til Q [i] \ til T [i+j].}$

Ved nogen af ​​disse fortolkninger er Yoneda -produktet associativt. Som et resultat, er en gradueret ring , for enhver R -modul A . For eksempel giver dette ringstrukturen om gruppekohomologi, da dette kan ses som . Også af associativitet af Yoneda produkt: for enhver R -modules A og B , er et modul i løbet . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$ ${\ displaystyle H^{*} (G, \ mathbb {Z}),}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$

Vigtige særlige tilfælde

• Gruppe kohomologi er defineret ved , hvor G er en gruppe, M er en repræsentation af G over hele tal, og er den gruppe ring af G .${\ displaystyle H^{*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• For en algebra A over et felt k og en A - bimodule M er Hochschild -kohomologi defineret af

${\ displaystyle HH^{*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A^{\ text {op}}}^{*} (A, M).}$

• Lie algebra kohomologi er defineret ved , hvor er en Lie algebra over en kommutativ ring k , M er en -modul og er den universelle indhyllende algebra .${\ displaystyle H^{*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}}^{*} (k, M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• For et topologisk rum X kan skovkohomologi defineres som Here Ext er taget i den abelske kategori af skibe af abelske grupper på X , og er skåret af lokalt konstant -værdiansatte funktioner.${\ displaystyle H ^{*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^{*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• For en kommutativ Noetherian lokal ring R med rest felt k , er det universelle omsluttende algebra af en gradueret Lie algebra π * ( R ) i løbet af k , kendt som Homotopiteori Lie algebra af R . (For at være præcis, når k har karakteristisk 2, skal π *( R ) ses som en "justeret Lie -algebra".) Der er en naturlig homomorfisme af graduerede Lie -algebraer fra André – Quillen -kohomologien D *( k / R , k ) til π*( R ), som er en isomorfisme, hvis k har karakteristisk nul.${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (k, k)}$

Se også

• global dimension
• bar opløsning
• Grothendieck gruppe
• Grothendieck lokal dualitet

Noter

Referencer

• Avramov, Luchezar (2010), "Infinite free resolutions", Seks foredrag om kommutativ algebra , Birkhäuser , s. 1–108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homologisk algebra , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, MR  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), "Group extensions and homology", Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR  1968966 , MR  0007108
• Gelfand, Sergei I .; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Methods of homological algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf algebras and derivations", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693 (80) 90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). En introduktion til homologisk algebra . Cambridge -studier i avanceret matematik. 38 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .
• Weibel, Charles A. (1999), "History of homological algebra" (PDF) , Topology History , Amsterdam: North-Holland, s. 797–836, ISBN 9780444823755, MR  1721123