Modul zdarma - Free module

V matematiky , je volný modul je modul , který má základ - to znamená, je generování sady sestávající z lineárně nezávislých prvků. Každý vektorový prostor je volný modul, ale pokud prstenec koeficientů není dělícím prstencem ( v komutativním případě není pole ), pak existují nesvobodné moduly.

Vzhledem k tomu, jakýkoliv soubor $S$ a kruh $R$ , je volný $R$ -module s plošnou $S$ , který se nazývá volné modul na $S$ nebo modul formálního $R$ - lineární kombinace prvků $S$ .

Volný abelian skupina je právě volný modul nad kruhu $Z$ všech celých čísel .

Definice

Pro prsten a modul - je sada základem pro : ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle E \ subseteq M}$ ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle E}$ je generující sada pro ; to znamená, že každý prvek je konečný součet prvků vynásobený koeficienty v ; a ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle R}$
${\ displaystyle E}$ je lineárně nezávislé , to znamená, že pro každou podskupinu odlišných prvků , znamená, že (kde je nulový prvek a je nulový prvek ). ${\ Displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n} \}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle r_ {1} e_ {1}+r_ {2} e_ {2}+\ cdots+r_ {n} e_ {n} = 0_ {M}}$ ${\ displaystyle r_ {1} = r_ {2} = \ cdots = r_ {n} = 0_ {R}}$ ${\ displaystyle 0_ {M}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle 0_ {R}}$ ${\ displaystyle R}$

Volný modul je modul se základem.

Bezprostředním důsledkem druhé poloviny definice je, že koeficienty v první polovině jsou jedinečné pro každý prvek M .

Pokud má invariantní číslo báze , pak podle definice mají jakékoli dvě báze stejnou mohutnost. Například nenulové komutativní prstence mají invariantní základní číslo. Mohutnost jakéhokoli (a tedy každého) základu se nazývá hodnost volného modulu . Pokud je tato mohutnost konečná, říká se, že volný modul je bez konečné hodnosti nebo bez hodnosti $n, je$ -li známo, že je hodnost $n$ . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$

Příklady

Nechť R je prsten.

R je bezplatný modul první úrovně nad sebou (buď jako levý nebo pravý modul); jakýkoli prvek jednotky je základem.
Obecněji řečeno, Jestliže R je komutativní, nenulový ideál I of R je zdarma tehdy a jen tehdy, pokud se jedná o hlavní ideál generovaný nonzerodivisor, přičemž generátor je základem.
Pokud je R komutativní, polynomický prstenec v neurčitém X je volný modul s možným základem 1, X , X ² , .... ${\ displaystyle R [X]}$
Nechť je polynom kruh přes komutativní kruhu A , f monic polynom stupně d tam, a obraz t v B . Pak B obsahuje A jako podřetězec a je volný jako A -modul se základnou . ${\ Displaystyle A [t]}$ ${\ Displaystyle B = A [t]/(f)}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle 1, \ xi, \ tečky, \ xi ^{d-1}}$
Pro jakékoliv nezáporné celé číslo n , je kartézský produkt z n kopie R jako levý R -module, je volný. Pokud R má neměnný počet základ , pak jeho pozice je n . ${\ Displaystyle R^{n} = R \ times \ cdots \ times R}$
Přímý součet volných modulů je zdarma, zatímco nekonečný kartézský produkt volných modulů obecně není zdarma (viz skupina Baer – Specker .)
Kaplanského věta uvádí, že projektivní modul přes místní prsten je zdarma.

Formální lineární kombinace

Vzhledem k množině $E$ a prstenu $R$ existuje volný modul $R,$ který má $E$ jako základ: jmenovitě přímý součet kopií R indexovaných E

{\ Displaystyle R^{(E)} = \ bigoplus _ {e \ in E} R}

.

Explicitně je to submodul karteziánského produktu ( R je považován za řekněme levý modul), který se skládá z prvků, které mají jen konečný počet nenulových složek. Lze vložit E do $R$ $($ $E$ $)$ jako podmnožinu identifikací prvku e s prvkem $R$ $($ $E$ $),$ jehož e -tou složkou je 1 (jednota R ) a všechny ostatní složky jsou nulové. Pak každý prvek $R$ $($ $E$ $)$ lze zapsat jednoznačně jako ${\ textstyle \ prod _ {E} R}$

{\ Displaystyle \ sum _ {e \ in E} c_ {e} e,}

kde jen nanejvýš mnoho je nenulových. To je nazýváno formální lineární kombinace prvků $E$ . ${\ displaystyle c_ {e}}$

Podobný argument ukazuje, že každý volný levý (resp. Pravý) modul R je izomorfní s přímým součtem kopií R jako levý (resp. Pravý) modul.

Další konstrukce

Volný modul $R (E)$ může být také konstruován následujícím ekvivalentním způsobem.

Dostaneme prsten R a množinu E , nejprve jako množinu, kterou necháme

{\ Displaystyle R^{(E)} = \ {f: E \ to R \ mid f (x) = 0 {\ text {pro všechny, ale nakonec mnoho}} x \ v E \}.}

Vybavíme jej strukturou levého modulu tak, že přidání je definováno: pro x v E ,

{\ Displaystyle (f+g) (x) = f (x)+g (x)}

a skalární násobení: pro r v R a x v E ,

{\ Displaystyle (rf) (x) = r (f (x))}

Nyní, jako R -hodnocená funkce na E , každé f in může být zapsáno jednoznačně jako ${\ displaystyle R^{(E)}}$

{\ Displaystyle f = \ sum _ {e \ in E} c_ {e} \ delta _ {e}}

kde jsou v R a jen nakonec mnoho z nich je nenulových a je uvedeno jako ${\ displaystyle c_ {e}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {e}}$

{\ Displaystyle \ delta _ {e} (x) = {\ begin {cases} 1_ {R} \ quad {\ mbox {if}} x = e \\ 0_ {R} \ quad {\ mbox {if}} x \ neq e \ end {případy}}}

(jedná se o variantu Kronecker delta ). Z výše uvedeného vyplývá, že podmnožina z je základem . Mapování je bijekcí mezi $E$ a tímto základem. Prostřednictvím tohoto bijekce, je volný modul s plošnou E . ${\ Displaystyle \ {\ delta _ {e} \ mid e \ in E \}}$ ${\ displaystyle R^{(E)}}$ ${\ displaystyle R^{(E)}}$ ${\ displaystyle e \ mapsto \ delta _ {e}}$ ${\ displaystyle R^{(E)}}$

Univerzální vlastnictví

Výše definované mapování začlenění je univerzální v následujícím smyslu. Vzhledem k libovolné funkci z množiny $E$ do levého $R$ -modulu $N$ existuje jedinečný modul homomorfismu takový, že ; a to, je definována vzorcem: ${\ Displaystyle \ iota: E \ až R^{(E)}}$ ${\ Displaystyle f: E \ až N}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}}: R^{(E)} \ do N}$ ${\ Displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ \ iota}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$

{\ Displaystyle {\ overline {f}} \ left (\ sum _ {e \ in E} r_ {e} e \ right) = \ sum _ {e \ in E} r_ {e} f (e)}

a říká se, že je získán prodloužením o linearitu. Jedinečnost znamená, že každá R -lineární mapa je jednoznačně určen jeho omezení na E . ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle R^{(E)} \ do N}$

Jako obvykle pro univerzální vlastnosti, tento definuje $R (E)$ až na kanonický izomorfismus . Také tvorba pro každou množinu E určuje funktor ${\ Displaystyle \ iota: E \ až R^{(E)}}$

{\ displaystyle R^{(-)}: {\ textbf {Set}} \ to R-{\ mathsf {Mod}}, \, E \ mapsto R^{(E)}}

,

z kategorie sad do kategorie levých $R$ -modulů. Říká se mu volný funktor a splňuje přirozený vztah: pro každou sadu E a levý modul N ,

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ textbf {Set}} (E, U (N)) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (R^{(E)}, N), \, f \ mapsto {\ overline {f}}}

kde je zapomnětlivý funktor , význam je levý adjunkt zapomnětlivého funktoru. ${\ displaystyle U: R-{\ mathsf {Mod}} \ to {\ textbf {Set}}}$ ${\ displaystyle R^{(-)}}$

Zobecnění

Mnoho prohlášení o bezplatných modulech, které jsou pro obecné moduly nad kruhy chybné, stále platí pro určité zobecnění bezplatných modulů. Projektivní moduly jsou přímým součtem volných modulů, takže si můžete vybrat injekci do volného modulu a použít jeho základ k prokázání něčeho pro projektivní modul. Ještě slabší generalizace jsou ploché moduly , které mají stále tu vlastnost, že tenzorování s nimi zachovává přesné sekvence a moduly bez torze . Pokud má prsten speciální vlastnosti, může se tato hierarchie zhroutit, např. U jakéhokoli dokonalého lokálního prstenu Dedekind je každý modul bez torze plochý, projektivní a také volný. Konečně generovaný modul torzního komutativního PID je zdarma. Konečně vygenerovaný Z -modul je zdarma, pouze pokud je plochý.

Podívejte se na místní prsten , dokonalý prsten a prsten Dedekind .

Viz také

Poznámky

^ Keown (1975). Úvod do teorie reprezentace skupiny . p. 24.
^ Hazewinkel (1989). Encyklopedie matematiky, svazek 4 . p. 110.
^ Důkaz: Předpokládejme, žeje zdarma na základě. Pro,musí mít jedinečnou lineární kombinace, pokud jde oa, což není pravda. Protože tedyexistuje pouze jeden základní prvek, který musí být nonzerodivisor. Konverzace je jasná. ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ ${\ Displaystyle j \ neq k}$ ${\ displaystyle x_ {j} x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ ${\ Displaystyle I \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ square}$

Reference

Tento článek obsahuje materiál z volného vektorového prostoru nad sadou na PlanetMath , která je licencována pod licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Adamson, Iain T. (1972). Elementární prsteny a moduly . Univerzitní matematické texty. Oliver a Boyd. s. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993 .
Keown, R. (1975). Úvod do teorie reprezentace skupiny . Matematika ve vědě a technice. 116 . Akademický tisk. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387 .
Govorov, VE (2001) [1994], „bezplatný modul“ , encyklopedie matematiky , EMS Press.

[1] Keown (1975). Úvod do teorie reprezentace skupiny . p. 24.

[2] Hazewinkel (1989). Encyklopedie matematiky, svazek 4 . p. 110.

[3] Důkaz: Předpokládejme, žeje zdarma na základě. Pro,musí mít jedinečnou lineární kombinace, pokud jde oa, což není pravda. Protože tedyexistuje pouze jeden základní prvek, který musí být nonzerodivisor. Konverzace je jasná. ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ ${\ Displaystyle j \ neq k}$ ${\ displaystyle x_ {j} x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ ${\ Displaystyle I \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ square}$

Languages

In other projects