Projektivní modul - Projective module

V matematiky , zejména v algebře je třída z projektivní moduly zvětšuje třídu volných modulů (to znamená, že moduly s bazických vektory ) po kruhu , tím, že drží některé z hlavních vlastností volných modulů. Níže jsou uvedeny různé ekvivalentní charakterizace těchto modulů.

Každý bezplatný modul je projektivní modul, ale konverzace nedokáže udržet některé prsteny, například prsteny Dedekind, které nejsou hlavními ideálními doménami . Každý projektivní modul je však volným modulem, pokud je prsten hlavní ideální doménou, například celými čísly , nebo polynomickým prstencem (toto je Quillen – Suslinova věta ).

Projektivní moduly byly poprvé představeny v roce 1956 ve vlivné knize Homologická algebra od Henriho Cartana a Samuela Eilenberga .

Definice

Zvedání majetku

Obvyklá teoretická definice kategorie je z hlediska vlastnosti zvedání, které se přenáší z volných na projektivní moduly: modul P je projektivní právě tehdy, když pro každý surjektivní modul homomorfismus f : N ↠ M a každý modul homomorfismus g : P → M , existuje modul homomorfismus h : P → N takový, že f h = g . (Nepožadujeme, aby byl homomorfismus zvedání h jedinečný, toto není univerzální vlastnost .)

Výhodou této definice „projektivní“ je, že ji lze provádět v kategoriích obecnějších než kategorie modulů: nepotřebujeme pojem „volný objekt“. Může být také dualizován, což vede k injektivním modulům . Zvedací vlastnost může být také přeformulován jako každý morfismu z k faktorům přes každé epimorfizmus k ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ . Projektivní moduly jsou tedy podle definice přesně projektivními objekty v kategorii R -modulů.

Přesně rozdělené sekvence

Modul P je projektivní právě tehdy, když každá krátká přesná posloupnost modulů formuláře

{\ Displaystyle 0 \ rightarrow A \ rightarrow B \ rightarrow P \ rightarrow 0}

je rozdělená přesná sekvence . To znamená, že pro každou surjective modul homomorfismus f : B ↠ P existuje část mapy , která je, modul homomorphism h : P → B taková, že f h = id _P . V tomto případě, H ( P ) je přímý summand z B , h je izomorfismus od P do h ( P ) , a h f je výstupek na sčítanec h ( P ) . Ekvivalentně,

{\ Displaystyle B = \ operatorname {Im} (h) \ oplus \ operatorname {Ker} (f) \ \ {\ text {where}} \ operatorname {Ker} (f) \ cong A \ {\ text {and} } \ operatorname {Im} (h) \ cong P.}

Přímý součet volných modulů

Modul P je projektivní tehdy, existuje-li jiný modul Q tak, že přímý součet z P a Q je volný modul.

Přesnost

R -module P je projektivní tehdy a jen tehdy, pokud kovariantní funktor Hom ( P , - ): R - Mod → Ab je přesný functor , kde R - Mod je kategorie z levé R -modules a Ab je kategorie abelian skupiny . Když je kruh R komutativní, Ab je výhodně nahrazen R -Mod v předchozí charakterizaci. Tento funktor je vždy ponechán přesný, ale když P je projektivní, je také správný. To znamená, že P je projektivní právě tehdy, pokud tento funktor zachovává epimorfismy (surjektivní homomorfismy), nebo pokud zachovává konečné kolimity.

Duální základ

Modul P je projektivní tehdy a jen tehdy, existuje -li množina a množina taková, že pro každé x v P je f _i ( x ) pouze nenulové pro konečný počet i , a . ${\ displaystyle \ {a_ {i} \ in P \ mid i \ in I \}}$ ${\ Displaystyle \ {f_ {i} \ in \ mathrm {Hom} (P, R) \ mid i \ in I \}}$ ${\ Displaystyle x = \ sum f_ {i} (x) a_ {i}}$

Základní příklady a vlastnosti

Následující vlastnosti projektivních modulů jsou rychle odvozeny z jakékoli z výše uvedených (ekvivalentních) definic projektivních modulů:

Přímé součty a přímé součty projektivních modulů jsou projektivní.
Pokud e = e ² je idempotent v kruhu R , pak Re je projektivní levý modul nad R .

Vztah k dalším modulem-teoretickým vlastnostem

Vztah projektivních modulů k volným a plochým modulům je zahrnut v následujícím diagramu vlastností modulu:

Důsledky zleva doprava platí pro jakýkoli prsten, ačkoli někteří autoři definují moduly bez torze pouze přes doménu. Důsledky zprava doleva platí pro prsteny, které je označují. Mohou existovat i jiné prsteny, nad kterými jsou pravdivé. Například implikace označená jako „místní kruh nebo PID“ platí také pro polynomické prstence nad polem: toto je Quillen – Suslinova věta .

Projektivní vs. bezplatné moduly

Jakýkoli bezplatný modul je projektivní. The converse is true in the following cases:

pokud R je pole nebo šikmé pole : jakýkoli modul je v tomto případě volný.
v případě, že kruh R je hlavní ideální doména . Například to platí pro R = Z ( celá čísla ), takže abelianská skupina je projektivní právě tehdy, pokud je to volná abelianská skupina . Důvodem je, že jakýkoli submodul bezplatného modulu přes hlavní ideální doménu je zdarma.
v případě, že kruh R je místní kruh . Tato skutečnost je základem intuice „lokálně zdarma = projektivní“. Tuto skutečnost lze snadno prokázat u finálně generovaných projektivních modulů. Obecně za to může Kaplansky (1958) ; viz Kaplanského věta o projektivních modulech .

Obecně však nemusí být projektivní moduly zdarma:

Přes přímý součin prstenů R × S, kde R a S jsou nenulové prstence, oba R × 0 a 0 × S jsou nesvobodné projektivní moduly.
Nad doménou Dedekind je nezákladním ideálem vždy projektivní modul, který není modulem zdarma.
Přes maticový prstenec M _n ( R ) je přirozený modul R ⁿ projektivní, ale není volný. Obecněji řečeno, v každém poloprostém kruhu je každý modul projektivní, ale nulový ideál a samotný prsten jsou jediné volné ideály.

Rozdíl mezi volnými a projektivní moduly je, v určitém smyslu, měřeno algebraické K -Teorie skupiny K ₀ ( R ), viz níže.

Projektivní vs. ploché moduly

Každý projektivní modul je plochý . Opak není obecně pravdivý: abelianská skupina Q je Z -modul, který je plochý, ale není projektivní.

Naopak konečně související plochý modul je projektivní.

Govorov (1965) a Lazard (1969) ukázal, že modul M je plochá právě tehdy, když se jedná o přímé omezení z konečně generované volných modulů .

Přesný vztah mezi plochostí a projektivitou obecně stanovili Raynaud & Gruson (1971) (viz také Drinfeld (2006) a Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) ), kteří ukázali, že modul M je projektivní tehdy a jen tehdy, pokud splňuje následující podmínky:

M je plochý,
M je přímý součet spočítatelně generovaných modulů,
M splňuje určitou podmínku typu Mittag-Leffler.

Kategorie projektivních modulů

Submoduly projektivních modulů nemusí být projektivní; prsten R, pro který je každý submodul projektivního levého modulu projektivní, se nazývá levý dědičný .

Množství projektivních modulů také nemusí být projektivní, například Z / n je kvocient Z , ale není torzní, proto není plochý, a proto ani projektivní.

Kategorie finálně generovaných projektivních modulů přes prsten je přesná kategorie . (Viz také algebraická K-teorie ).

Projektivní řešení

Vzhledem k tomu, modul M , je projektivní rozlišení of M je nekonečný přesný sled modulů

··· → P _n → ··· → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

se všemi P _i s projektivní. Každý modul má projektivní rozlišení. Ve skutečnosti existuje bezplatné rozlišení (rozlišení pomocí volných modulů ). Přesná posloupnost projektivních modulů může být někdy zkrácena na P ( M ) → M → 0 nebo P _• → M → 0 . Klasickým příkladem projektivní řešení je dána Koszul komplexu z pravidelné sekvence , která je bez vyřešení ideálu generované sekvence.

Délka z konečného řešení je index n takové, že P _n je různé od nuly a P _i = 0 pro i větší než n . Pokud M připustí konečné projektivní rozlišení, minimální délka mezi všemi konečnými projektivními rozlišeními M se nazývá jeho projektivní dimenze a označuje se pd ( M ). Pokud M nepřizná konečné projektivní rozlišení, pak se podle konvence projektivní dimenze říká, že je nekonečná. Jako příklad uvažujme modul M takový, že pd ( M ) = 0 . V této situaci přesnost sekvence 0 → P ₀ → M → 0 naznačuje, že šipka ve středu je izomorfismus, a proto samotné M je projektivní.

Projektivní moduly přes komutativní prstence

Projektivní moduly přes komutativní prstence mají pěkné vlastnosti.

Lokalizace z projektivní modulu je projektivní modul nad lokalizované kruhu. Projektivní modul přes místní kruh je zdarma. Projektivní modul je tedy místně volný (v tom smyslu, že jeho lokalizace na každém hlavním ideálu je volná nad odpovídající lokalizací prstence).

Opačně platí pro konečně generované moduly přes noetherovské prsteny : konečně generovaný modul přes komutativní noetherianský prsten je lokálně zdarma tehdy a jen tehdy, je -li projektivní.

Existují však příklady finálně generovaných modulů přes neetherový prsten, které jsou lokálně volné a nejsou projektivní. Například booleovský prsten má všechny své lokalizace izomorfní na F ₂ , pole dvou prvků, takže jakýkoli modul nad booleovským prstenem je lokálně volný, ale existují určité neprojektivní moduly nad booleovskými prstenci. Jedním z příkladů je R / I , kde R je přímý produkt countably mnoha kopiemi F ₂ a I je přímým součtem countably mnoha kopiemi F ₂ vnitřní R . R -module R / I je lokálně zdarma, protože R je Booleovská (a to je konečně generované jako R -module také s klenout sadou velikosti 1), ale R / I není projektivní protože I není hlavní ideální . (Pokud je kvocientový modul R / I pro jakýkoli komutativní prsten R a ideální I projektivní R -modul, pak I je hlavní.)

Je však pravda, že pro konečně prezentované moduly M přes komutativní prstenec R (zejména pokud M je konečně generovaný R -modul a R je noetherian), následující jsou ekvivalentní.

${\ displaystyle M}$ je plochý.
${\ displaystyle M}$ je projektivní.
${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}}}$ je zdarma as -module pro každou maximální ideál z výzkumu . ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$
${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}$ je zdarma as -module pro každého primárního ideálu z výzkumu . ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
Existuje generování ideálu jednotky tak, že je zdarma jako -modul pro každé i . ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ v R}$ ${\ Displaystyle M [f_ {i}^{-1}]}$ ${\ displaystyle R [f_ {i}^{-1}]}$
${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$ je místně volný snop na (kde je svazek spojený s M. ) ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$

Navíc, pokud R je noetheriánská integrální doména, pak podle Nakayamova lemmatu jsou tyto podmínky ekvivalentní

Rozměr -vector prostoru je stejná pro všechny primárních ideálů v R, kde je pole zbytek v . To znamená, že M má konstantní pořadí (jak je definováno níže). ${\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Nechť A je komutativní prsten. Pokud B je (možná nekomutativní) algebra, který je konečně generované projektivní -module obsahující A jako subring, pak je přímá faktor B .

Hodnost

Nechť P být konečně generované projektivní modul přes komutativní kroužku R a X je spektrum z R . Hodnost of P u primárního ideálu v X je pozice volného -module . Jedná se o lokálně konstantní funkce na X . Zejména pokud je připojeno X (to znamená, pokud R nemá jiné idempotenty než 0 a 1), pak P má konstantní pořadí. ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mathfrak {p}}}$

Vektorové balíčky a lokálně bezplatné moduly

Základní motivací teorie je, že projektivní moduly (alespoň nad určitými komutativními kruhy) jsou analogy vektorových svazků . To lze upřesnit pro prstenec spojitých reálných funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru , stejně jako pro prstenec hladkých funkcí na hladkém potrubí (viz Serre-Swanova věta, která říká konečně generovaný projektivní modul v prostoru hladké funkce na kompaktním sběrném potrubí je prostor hladkých částí hladkého vektorového svazku).

Vektorové balíčky jsou lokálně zdarma . Pokud existuje nějaký pojem „lokalizace“, který lze přenést do modulů, jako je obvyklá lokalizace prstence , lze definovat lokálně volné moduly a projektivní moduly se pak obvykle shodují s místně volnými moduly.

Projektivní moduly přes polynomický prstenec

Quillen-Suslin teorém , který řeší Serre je problém, je další hluboký výsledek : pokud K je pole , nebo obecněji hlavní ideální doména , a R = K [ X ₁ , ..., X _n ] je polynom kruh přes K , pak je každý projektivní modul nad R zdarma. Tento problém byl poprvé nastolen Serre s K pole (a moduly jsou generovány nakonec). Bass to vyřešil pro moduly, které nebyly generovány nakonec, a Quillen a Suslin nezávisle a současně řešily případ konečně generovaných modulů.

Protože každý projektivní modul nad hlavní ideální doménou je volný, lze si položit tuto otázku: je -li R komutativní prsten, takže každý (konečně generovaný) projektivní R -modul je volný, pak je každý (konečně generovaný) projektivní R [ X ] -modul zdarma? Odpověď zní ne . Vyskytuje se protipříklad, kde R se rovná místnímu prstenci křivky y ² = x ³ na počátku. Quillen-Suslinovu větu tedy nikdy nebylo možné dokázat jednoduchou indukcí počtu proměnných.

Viz také

Poznámky

Reference

William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Algebra: Přístup prostřednictvím teorie modulů . Springer. Sekce 3.5.
Iain T. Adamson (1972). Elementární prstence a moduly . Univerzitní matematické texty. Oliver a Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
Nicolas Bourbaki , komutativní algebra, Ch. II, §5
Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), „Tate objekty v přesných kategoriích“, Mosc. Matematika. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi : 10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504 , MR 3510209 , S2CID 118374422
Paul M. Cohn (2003). Další algebra a aplikace . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
Drinfeld, Vladimir (2006), „Nekonečně rozměrné vektorové svazky v algebraické geometrii: úvod“, Pavel Etingof; Vladimír Retakh; IM Singer (eds.), The Unity of Mathematics , Birkhäuser Boston, s. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi : 10,1007/0-8176-4467-9_7 , ISBN 978-0-8176-4076-7, MR 2181808
Govorov, VE (1965), „Na plochých modulech (rusky)“, sibiřská matematika. J. , 6 : 300–304
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebry, prsteny a moduly . Springer Science . ISBN 978-1-4020-2690-4.
Kaplansky, Irving (1958), „Projektivní moduly“, Ann. matematiky. , 2, 68 (2): 372–377, doi : 10,2307/1970252 , hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR 1970252 , MR 0100017
Lang, Serge (1993). Algebra (3. vyd.). Addison – Wesley . ISBN 0-201-55540-9.
Lazard, D. (1969), „Autour de la platitude“, Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10,24033/bsmf.1675
Milne, James (1980). Étale cohomologie . Princeton Univ. Lis. ISBN 0-691-08238-3.
Donald S. Passman (2004) Kurz teorie prstenů , zejména kapitola 2 Projektivní moduly, s. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 .
Raynaud, Michel; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Techniques de" platification "d'un module", Invent. Matematika. , 13 : 1–89, Bibcode : 1971InMat..13 .... 1R , doi : 10.1007/BF01390094 , MR 0308104 , S2CID 117528099
Paulo Ribenboim (1969) Prsteny a moduly , §1.6 Projektivní moduly, str. 19–24, Interscience Publishers .
Charles Weibel , K-kniha: Úvod do algebraické K-teorie

Languages

In other projects