Přesná sekvence - Exact sequence

Přesná sekvence je sekvence morphisms mezi objekty (například skupiny , prsteny , moduly , a obecněji objektů z abelian kategorie ), tak, aby se obraz jednoho morfismu rovná jádro dalšího.

Definice

V kontextu teorie grup posloupnost

${\ Displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \; G_ {2} \; { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \; G_ {n}}$

skupin a skupinových homomorfismů je prý přesný při if . Sekvence se nazývá přesná, pokud je přesná v každém pro všechny , tj. Pokud je obraz každého homomorfismu stejný jako jádro dalšího. ${\ displaystyle G_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i}) = \ ker (f_ {i+1})}$${\ displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ leq i <n}$

Sekvence skupin a homomorfismů může být konečná nebo nekonečná.

Podobnou definici lze provést i pro jiné algebraické struktury . Například může existovat přesná sekvence vektorových prostorů a lineárních map nebo modulů a modulových homomorfismů . Obecněji řečeno, pojem přesné sekvence má smysl v jakékoli kategorii s jádry a kokernely , a zvláště v abelianských kategoriích , kde je široce používán.

Jednoduché případy

Abychom porozuměli definici, je užitečné zvážit relativně jednoduché případy, kdy je posloupnost konečná a začíná nebo končí triviální skupinou . Tradičně se to spolu s jediným prvkem identity označuje 0 (aditivní notace, obvykle když jsou skupiny abelianské) nebo 1 (multiplikativní notace).

• Uvažujme posloupnost 0 → → B . Obrázek mapy úplně vlevo je 0. Sekvence je tedy přesná, pouze pokud má mapa zcela vpravo (od A do B ) jádro {0}; to znamená právě tehdy, pokud je tato mapa monomorfismem (injektivní nebo individuální).
• Uvažujme duální posloupnost B → C → 0. Jádro mapy zcela vpravo je C. Sekvence je tedy přesná tehdy a jen tehdy, pokud obraz mapy úplně vlevo (od B do C ) je celý C ; to znamená právě tehdy, pokud je tato mapa epimorfismus (surjektivní nebo na).
• Posloupnost 0 → X → Y → 0 je tedy přesná právě tehdy, pokud je mapa od X do Y monomorfismem i epimorfismem (tj. Bimorfismem ), a tedy v mnoha případech izomorfismem od X do Y .

Krátká přesná sekvence

Důležité jsou krátké přesné sekvence , což jsou přesné sekvence formuláře

${\ Displaystyle 0 \ to A \; \ xrightarrow {\ f \} \; B \; \ xrightarrow {\ g \} \; C \ to 0.}$

Jak bylo uvedeno výše, pro každou takovou krátkou přesnou sekvenci je f monomorfismus a g je epimorfismus. Kromě toho je obraz f roven jádru g . Je vhodné si představit A jako podobjektu části B s f vkládání A do B , a C, jako odpovídající faktor objektu (nebo podílu ), B / A , s g vyvolání izomorfismus

${\ displaystyle C \ cong B/\ operatorname {im} (f)}$

Krátká přesná sekvence

${\ Displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

se nazývá rozdělení , pokud existuje homomorphism h  : C → B tak, že se kompozice g ∘ h je mapa identity na C . Z toho vyplývá, že pokud se jedná o Abelovské skupiny , B je izomorfní k přímému součtu z A a C (viz Štípací lemmatu ):

${\ Displaystyle B \ cong A \ oplus C.}$

Dlouhá přesná sekvence

Obecná přesná sekvence se někdy nazývá dlouhá přesná sekvence , aby se odlišila od zvláštního případu krátké přesné sekvence.

Dlouhá přesná sekvence je ekvivalentní rodině krátkých přesných sekvencí v následujícím smyslu: Vzhledem k dlouhé sekvenci

${\ Displaystyle A_ {0} \; \ xrightarrow {\ f_ {1} \} \; A_ {1} \; \ xrightarrow {\ f_ {2} \} \; A_ {2} \; \ xrightarrow {\ f_ {3} \} \; \ cdots \; \ xrightarrow {\ f_ {n} \} \; A_ {n},}$ (1)

s n ≥ 2, můžeme to rozdělit na krátké sekvence

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 \ rightarrow K_ {1} \ rightarrow {} & A_ {1} \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow 0, \\ 0 \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow {} & A_ {2 } \ rightarrow K_ {3} \ rightarrow 0, \\\ vdots \\ 0 \ rightarrow K_ {n-1} \ rightarrow {} & A_ {n-1} \ rightarrow K_ {n} \ rightarrow 0, \\\ end {zarovnaný}}}$ (2)

kde pro každého . Podle konstrukce jsou sekvence (2) přesné na 's (bez ohledu na přesnost (1) ). Navíc (1) je dlouhá přesná sekvence právě tehdy, když (2) jsou všechny krátké přesné sekvence. ${\ displaystyle K_ {i} = \ operatorname {im} (f_ {i})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle K_ {i}}$

Příklady

Celá čísla modulo two

Zvažte následující posloupnost abelianských skupin:

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z}}$

První homomorphism mapuje každý prvek i v množině celých čísel Z do prvku 2 i v Z . Druhý homomorfismus mapuje každý prvek i v Z na prvek j ve skupině kvocientů; to znamená, j = i mod 2. Zde šipka s hákem označuje, že mapa 2 × od Z do Z je monomorfismus a šipka se dvěma hlavami označuje epimorfismus (režim mapy 2). Toto je přesná sekvence, protože obraz 2 Z monomorfismu je jádrem epimorfismu. V podstatě „stejnou“ sekvenci lze také zapsat jako ${\ Displaystyle \ hookrightarrow}$${\ Displaystyle \ twoheadrightarrow}$

${\ Displaystyle 2 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z}}$

V tomto případě je monomorfizmus je 2 n ↦ 2 n a i když to vypadá jako funkce identity, to není na (to znamená, že není epimorfizmus), protože lichá čísla nepatří do 2 Z . Obraz 2 Z prostřednictvím tohoto monomorfismu je však přesně stejná podmnožina Z jako obraz Z až n ↦ 2 n použitý v předchozí sekvenci. Tato poslední sekvence se liší v konkrétní povaze svého prvního objektu od předchozího, protože 2 Z není stejná sada jako Z, i když jsou tyto dvě skupiny izomorfní.

První sekvenci lze také zapsat bez použití speciálních symbolů pro monomorfismus a epimorfismus:

${\ Displaystyle 0 \; \ to \; \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \; \ longrightarrow \; \ mathbf { Z} /2 \ mathbf {Z} \; \ to \; \ 0}$

Zde 0 označuje triviální skupinu, mapa od Z do Z je násobení 2 a mapa od Z do skupiny faktorů Z /2 Z je dána redukcí celých čísel modulo 2. Toto je skutečně přesná posloupnost:

• obraz mapy 0 ^ Z je {0}, a jádro z násobení 2 je také {0}, takže sekvence je přesná na první Z .
• obraz násobení 2 je 2 Z , a jádro snižování modulo 2 je také 2 Z , takže sekvence je přesná na druhém Z .
• obraz snížení modulo 2 je Z / 2 Z , a jádro nulového mapy je také Z / 2 Z , takže sekvence je přesný v pozici Z / 2 Z .

První a třetí sekvence jsou poněkud zvláštní případ vzhledem k nekonečné povaze Z . Není možné, aby byla konečná skupina mapována začleněním (tj. Monomorfismem) jako vlastní správná podskupina. Místo toho sekvence, která vystupuje z první izomorfizmu teorému je

${\ Displaystyle 1 \ to N \ to G \ to G/N \ to 1}$

Jako konkrétnější příklad přesné sekvence na konečných skupinách:

${\ Displaystyle 1 \ to C_ {n} \ to D_ {2n} \ to C_ {2} \ to 1}$

kde je cyklická skupina řádu n a je dihedrální skupina řádu 2 n , což je neabelská skupina. ${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle D_ {2n}}$

Průnik a součet modulů

Nechť I a J je dva ideály z prstence R . Pak

${\ Displaystyle 0 \ to I \ cap J \ to I \ oplus J \ to I+J \ to 0}$

je přesný sled R -modules, kde modul homomorphism mapuje každý prvek x a k prvku na přímý součet a homomorphsim mapuje každý prvek a pro . ${\ Displaystyle I \ cap J \ to I \ oplus J}$${\ Displaystyle I \ cap J}$${\ displaystyle (x, x)}$ ${\ displaystyle I \ oplus J}$${\ Displaystyle I \ oplus J \ až I+J}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle I \ oplus J}$${\ displaystyle xy}$

Tyto homomorfismy jsou omezením podobně definovaných homomorfismů, které tvoří krátkou přesnou sekvenci

${\ Displaystyle 0 \ to R \ to R \ oplus R \ to R \ to 0}$

Předání modulům kvocientu poskytne další přesnou sekvenci

${\ Displaystyle 0 \ to R/(I \ cap J) \ to R/I \ oplus R/J \ to R/(I+J) \ to 0}$

Gradient, curl a div v diferenciální geometrii

Další příklad lze odvodit z diferenciální geometrie , zvláště relevantní pro práci na Maxwellových rovnicích .

Zvažte Hilbertův prostor skalárně integrovaných čtvercových integrovatelných funkcí ve třech dimenzích . Když vezmeme gradient funkce, přesune nás to do podmnožiny , prostoru vektorově oceňovaných, stále čtvercových integrovatelných funkcí ve stejné doméně -konkrétně do souboru takových funkcí, které představují konzervativní vektorová pole. (Obecná Stokesova věta si zachovala integrovatelnost.) ${\ displaystyle L^{2}}$${\ Displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^{3} \ to \ mathbb {R} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {H} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ Displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^{3} \ to \ mathbb {R} ^{3} \ right \ rbrace}$

Nejprve si všimněte, že zvlnění všech takových polí je nulové - protože

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & \ equiv \ nabla \ times (\ nabla f) = 0 \ end {aligned}}}$

pro všechny takové f . To však jen dokazuje, že obraz přechodu je podmnožinou jádra zvlnění. Chcete -li dokázat, že jsou ve skutečnosti stejnou sadou, prokažte opak: že pokud je zvlnění vektorového pole 0, pak je gradient nějaké skalární funkce. To vyplývá téměř okamžitě ze Stokesovy věty (viz důkaz v konzervativní síle .) Obraz gradientu je pak přesně jádrem zvlnění, a tak můžeme zvlnění považovat za náš další morfismus, čímž se opět dostaneme k (odlišná) podmnožina . ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$

Podobně to zaznamenáváme

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {div} \ left (\ operatorname {curl} {\ vec {v}} \ right) & \ equiv \ nabla \ cdot \ nabla \ times {\ vec {v}} = 0, \ end {aligned}}}$

takže obraz zvlnění je podmnožinou jádra divergence . Konverzace je do jisté míry zapojena:

Důkaz, že = 0 znamená pro některé${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

Budeme postupovat konstrukcí: vzhledem k tomu, že vektorové pole je takové, že vytvoříme pole takové, že ${\ displaystyle {\ vec {F}} = F_ {x} {\ hat {i}}+F_ {y} {\ hat {j}}+F_ {z} {\ hat {k}}}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {F}} = 0}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ times {\ vec {A}} & = \ left (\ částečné _ {y} A_ {z}-\ částečné _ {z} A_ {y} \ vpravo) { \ hat {i}}+\ vlevo (\ částečné _ {z} A_ {x}-\ částečné _ {x} A_ {z} \ vpravo) {\ hat {j}}+\ vlevo (\ částečné _ {x } A_ {y}-\ částečné _ {y} A_ {x} \ vpravo) {\ hat {k}} \\ & = F_ {x} {\ hat {i}}+F_ {y} {\ hat { j}}+F_ {z} {\ hat {k}} = {\ vec {F}} \ end {zarovnaný}}}$ Nejprve si všimněte, že jak bylo prokázáno výše , můžeme přidat gradient jakékoli skalární funkce bez změny zvlnění. Tuto svobodu měřidla můžeme použít k nastavení libovolné složky na nulu, aniž bychom změnili její zvlnění; volíme libovolně z -komponentu, požadujeme tedy jednoduše to ${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) = 0}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ Displaystyle -\ částečné _ {z} A_ {y} {\ hat {i}}+\ částečné _ {z} A_ {x} {\ hat {j}}+\ vlevo (\ částečné _ {x} A_ {y}-\ partial _ {y} A_ {x} \ right) {\ hat {k}} = F_ {x} {\ hat {i}}+F_ {y} {\ hat {j}}+F_ {z} {\ hat {k}}}$ Potom jednoduše integrací prvních dvou komponent a poznámkou, že „konstanta“ integrace může stále záviset na jakékoli proměnné, která není integrována, zjistíme, že ${\ Displaystyle {\ begin {aligned} A_ {x} & = \ int F_ {y} dz+{\ vec {C_ {1}}} (x, y) \\ A_ {y} & =-\ int F_ { x} dz+{\ vec {C_ {2}}} (x, y) \ end {zarovnáno}}}$ Všimněte si, že jelikož tyto dva pojmy integrace obou nezávisí pouze na x a y , a nikoli na Z , pak můžeme přidat další gradientu nějaké funkce , které také nezávisí na Z . To nám umožňuje odstranit jeden z výrazů ve prospěch druhého, aniž bychom zkazili naši dřívější práci, která byla nastavena na nulu. Rozhodli jsme se odstranit a aplikovat poslední komponentu jako omezení ${\ displaystyle {\ vec {C_ {1}}}, {\ vec {C_ {2}}}}$${\ Displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle A_ {z}}$${\ displaystyle {\ vec {C_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aligned}-\ částečné _ {x} \ int F_ {x} dz+\ částečné _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y)-\ částečné _ {y } \ int F_ {y} dz & = F_ {z} \\-\ int \ left (\ částečný _ {x} F_ {x}+\ částečný _ {y} F_ {y} \ pravý) dz+\ částečný _ { x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) & = F_ {z} \ end {zarovnáno}}}$ Podle předpokladu , a tak dále ${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}} = \ částečné _ {x} F_ {x}+\ částečné _ {y} F_ {y}+\ částečné _ {z} F_ {z} = 0 }$ ${\ Displaystyle \ int \ částečné _ {z} F_ {z} dz+\ částečné _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) = F_ {z}}$ Protože základní věta počtu vyžaduje, aby první člen nahoře byl přesně plus konstanta v z , řešení výše uvedeného systému rovnic je zaručeno. ${\ displaystyle F_ {z}}$

Když jsme tedy dokázali, že obraz zvlnění je přesně jádrem divergence, tento morfismus nás zase vrací zpět do prostoru, ze kterého jsme začali . Protože jsme definitivně přistáli na prostoru integrovatelných funkcí, může být jakákoli taková funkce (alespoň formálně) integrována za účelem vytvoření vektorového pole, jehož divergence je tou funkcí - takže obraz divergence je celistvost a my můžeme dokončit naši sekvenci: ${\ displaystyle L^{2}}$${\ displaystyle L^{2}}$

${\ Displaystyle 0 \ to L^{2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { kroutit}}};;;; mathbb {H} _ {3} \; \;$

Ekvivalentně bychom mohli uvažovat obráceně: v jednoduše propojeném prostoru může být vektorové pole bez zkadeření (pole v jádře zvlnění) vždy zapsáno jako gradient skalární funkce (a je tedy v obraze gradient). Podobně lze pole bez divergence zapsat jako zvlnění jiného pole. (Odůvodnění v tomto směru tedy využívá skutečnosti, že trojrozměrný prostor je topologicky triviální.)

Tato krátká přesná sekvence také umožňuje mnohem kratší důkaz platnosti Helmholtzova rozkladu , který nespoléhá na vektorový kalkul hrubou silou. Zvažte podsekvenci

${\ Displaystyle 0 \ to L^{2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}};;;$

Protože divergence gradientu je Laplacian a protože Hilbertův prostor čtvercově integrovatelných funkcí může být překlenut vlastními funkcemi Laplacianu, již vidíme, že musí existovat nějaké inverzní mapování . Pro explicitní konstrukci takové inverze můžeme začít od definice vektoru Laplacian ${\ Displaystyle \ nabla ^{-1}: \ mathbb {H} _ {3} \ to L ^{2}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} {\ vec {A}} = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right)+\ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {A}} \ right)}$

Protože se pokoušíme sestavit mapování identity složením nějaké funkce s přechodem, víme to v našem případě . Když tedy vezmeme divergenci obou stran ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = \ operatorname {curl} \ left ({\ vec {A}} \ right) = 0}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ cdot \ nabla ^{2} {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right ) \\ & = \ nabla ^{2} \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right) \\\ end {aligned}}}$

vidíme, že je -li funkce vlastní funkcí vektoru Laplacian, musí být její divergence vlastní funkcí skalárního Laplaciana se stejnou vlastní hodnotou. Pak můžeme vybudovat naši inverzní funkci jednoduše tak, že jakoukoli funkci rozbijeme na vektorovou-Laplaciánovu vlastní ebenázu, každou zvětšíme inverzí jejich vlastní hodnoty a vezmeme divergenci; působení je tedy zjevně identita. Tak podle štípací lemmatu , ${\ displaystyle \ nabla ^{-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ Displaystyle \ nabla ^{-1} \ circ \ nabla}$

${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {3} \ cong L^{2} \ oplus \ operatorname {im} (\ operatorname {curl})}$,

nebo ekvivalentně, jakékoli čtvercově integrovatelné vektorové pole na může být rozděleno na součet gradientu a zvlnění-což jsme se rozhodli dokázat. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Vlastnosti

Rozdělení lemma uvádí, že v případě krátkodobého přesný sled

${\ Displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

připouští morfismus t  : B → tak, že t ∘ f je identita na A nebo morfismus u : C → B tak, že g ∘ u je identita na C , pak B je přímý součet z A a C (pro non -komutativní skupiny, toto je polopřímý produkt ). Jeden říká, že se taková krátká přesná sekvence rozdělí .

Na hada lemma ukazuje, jak komutativní diagram se dvěma přesnými řadách vyvolává delší přesném pořadí. Devět lemma je zvláštní případ.

Pět lemma uvádí podmínky, za nichž prostřední mapa komutativního diagramu s přesnými řadami délce 5 izomorfizmus; krátký pět lemma je zvláštní případ jejich použití ke krátkým přesných sekvencí.

Důležitost krátkých přesných sekvencí je podtržena skutečností, že každá přesná sekvence je výsledkem „spletení“ několika překrývajících se krátkých přesných sekvencí. Zvažte například přesnou sekvenci

${\ displaystyle A_ {1} \ to A_ {2} \ to A_ {3} \ to A_ {4} \ to A_ {5} \ to A_ {6}}$

což znamená, že existují objekty C _k v kategorii takové, že

${\ Displaystyle C_ {k} \ cong \ ker (A_ {k} \ to A_ {k+1}) \ cong \ operatorname {im} (A_ {k-1} \ to A_ {k})}$.

Předpokládejme navíc, že ​​koker každého morfismu existuje a je izomorfní k obrazu dalšího morfismu v pořadí:

${\ Displaystyle C_ {k} \ cong \ operatorname {coker} (A_ {k-2} \ to A_ {k-1})}$

(To platí pro řadu zajímavých kategorií, včetně jakéhokoliv abelian kategorie jako jsou abelian skupiny, ale není to platí pro všechny kategorie, které umožňují přesné sekvence, a zejména není platí pro kategorii skupin , ve kterém koksování ( f ): G → H není H / im ( f ), ale nesmí být podíl H podle konjugátu uzavření iM ( f )), pak získáme komutativní diagram, v němž jsou všechny úhlopříčky jsou krátké přesné sekvence.: ${\ Displaystyle H/{\ left \ langle \ operatorname {im} f \ right \ rangle}^{H}}$

Jediná část tohoto diagramu, která závisí na stavu koksování, je předmět a poslední pár morfismů . Pokud existuje nějaký předmět a morfismus , který je přesný, pak je přesnost zajištěna. Opět vezmeme -li příklad kategorie skupin, skutečnost, že im ( f ) je jádrem nějakého homomorfismu na H, naznačuje, že jde o normální podskupinu , která se shoduje s jejím uzavřením konjugátu; tak koker ( f ) je izomorfní k obrazu H /im ( f ) dalšího morfismu. ${\ textstyle C_ {7}}$${\ textstyle A_ {6} \ to C_ {7} \ to 0}$${\ displaystyle A_ {k+1}}$${\ displaystyle A_ {k} \ to A_ {k+1}}$${\ displaystyle A_ {k-1} \ to A_ {k} \ to A_ {k+1}}$${\ Displaystyle 0 \ to C_ {k} \ to A_ {k} \ to C_ {k+1} \ to 0}$

Naopak, vzhledem k jakémukoli seznamu překrývajících se krátkých přesných sekvencí, jejich středové členy tvoří přesnou sekvenci stejným způsobem.

Aplikace přesných sekvencí

V teorii abelianských kategorií jsou krátké přesné sekvence často používány jako vhodný jazyk pro mluvení o sub- a faktorových objektech.

Problém rozšíření je v podstatě otázka „Vzhledem k tomu, že koncové podmínky A a C z krátkého přesně v pořadí, jaké možnosti pro střední termín existují B ?“ V kategorii skupin je to ekvivalentní otázce, jaké skupiny B mají A jako normální podskupinu a C jako odpovídající skupinu faktorů? Tento problém je důležitý při klasifikaci skupin . Viz také skupina Outer automorphism .

Všimněte si, že v přesné sekvenci kompozice f _{i +1} ∘ f _i mapuje A _i na 0 v A _{i +2} , takže každá přesná sekvence je řetězový komplex . Kromě toho jsou pouze f _i -obrazy prvků A _i mapovány na 0 pomocí f _{i +1} , takže homologie tohoto řetězce je triviální. Stručněji:

Přesné sekvence jsou přesně ty řetězce řetězců, které jsou acyklické .

Vzhledem k jakémukoli řetězovému komplexu lze jeho homologii považovat za měřítko míry, do jaké není přesný.

Pokud vezmeme řadu krátkých přesných sekvencí spojených řetězovými komplexy (to znamená krátkou přesnou sekvenci řetězcových komplexů nebo z jiného hlediska řetězcový komplex krátkých přesných sekvencí), pak z toho můžeme odvodit dlouhý přesný sekvence (tj. přesná sekvence indexovaná přirozenými čísly) na homologii aplikací klikatého lemmatu . Objevuje se v algebraické topologii při studiu relativní homologie ; sekvence Mayer-Vietoris je dalším příkladem. Dlouhé přesné sekvence indukované krátkými přesnými sekvencemi jsou také charakteristické pro odvozené funktory .

Přesné funktory jsou funktory, které transformují přesné sekvence na přesné sekvence.

Reference

Citace

Prameny

• Spanier, Edwin Henry (1995). Algebraická topologie . Berlín: Springer. p. 179 . ISBN 0-387-94426-5.
• Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra: s pohledem na algebraickou geometrii . Springer-Verlag New York. p. 785 . ISBN 0-387-94269-6.