Funktor zewnętrzny - Ext functor

W matematyce , że Funktory Ext są pochodne Funktory z funktora Hom . Ext, obok funktora Tora , jest jednym z podstawowych pojęć algebry homologicznej , w której idee z topologii algebraicznej są używane do definiowania niezmienników struktur algebraicznych. Cohomology grup , algebr Liego i asocjacyjnych algebr można wszystko definiowane Ext. Nazwa wzięła się stąd, że pierwsza grupa Ext Ext ¹ klasyfikuje rozszerzenia jednego modułu przez inny.

W szczególnym przypadku grup abelowych Ext został wprowadzony przez Reinholda Baera (1934). Został nazwany przez Samuela Eilenberga i Saunders MacLane (1942) i zastosowany do topologii ( twierdzenie o uniwersalnych współczynnikach dla kohomologii ). Dla modułów nad dowolnym pierścieniem , Ext zostało zdefiniowane przez Henri Cartana i Eilenberga w ich książce Homological Algebra z 1956 roku .

Definicja

Niech R będzie pierścieniem, a R -Mod będzie kategorią modułów nad R . (Można przyjąć, że oznacza to lewe moduły R lub prawe moduły R. ) Dla stałego modułu R A , niech T ( B ) = Hom _R ( A , B ) dla B w R -Mod. (Tutaj hom _R ( , B ) jest abelowa grupa R -linear odwzorowuje od A do B , to jest R -module jeśli R jest przemienne .) Jest to lewa dokładny funktor z R -mod do kategorii abelowa grup Ab, a więc ma prawo pochodne funktory R ⁱ T . Grupy Ext to grupy abelowe zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B)}$

dla liczby całkowitej i . Z definicji oznacza to: podejmij dowolne rozwiązanie iniektywne

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do ja ^ {0} \ do ja ^ {1} \ do \ cdots ,}$

usuń termin B i utwórz kompleks kołańcuchowy :

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) \ do \ cdots.}$

Dla każdej liczby całkowitej i , Ext^ja
_R( A , B ) to kohomologia tego kompleksu w pozycji i . To zero dla i ujemnego. Na przykład Ext⁰
_R( A , B ) jest jądrem odwzorowania Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), które jest izomorficzne z Hom _R ( A , B ).

Alternatywna definicja wykorzystuje funktor G ( A ) = Hom _R ( A , B ) dla stałego modułu R B . Jest to funktor kontrawariantny , który można traktować jako funktor lewostronny z przeciwnej kategorii ( R -Mod) ^op do Ab. Grupy Ext definiuje się jako prawostronnie pochodne funktory R ⁱ G :

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}$

Oznacza to, że wybierz dowolną rozdzielczość projekcyjną

${\ Displaystyle \ cdots \ do P_ {1} \ do P_ {0} \ do A \ do 0,}$

usuń termin A i utwórz kompleks kołańcuchowy:

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ do \ cdots.}$

Następny^ja
_R( A , B ) to kohomologia tego kompleksu w pozycji i .

Cartan i Eilenberg wykazali, że konstrukcje te są niezależne od wyboru rozdzielczości projekcyjnej lub iniekcyjnej i że obie konstrukcje dają te same grupy Ext. Ponadto, dla pierścienia stałego R , Ext jest funktorem w każdej zmiennej (kontrawariant w A , kowariant w B ).

Dla pierścienia przemiennego R i R -moduły A i B , Ext^ja
_R( , B ) jest R -module (przy użyciu tego hom _R ( , B ) jest R -module w tym przypadku). Dla nieprzemiennego pierścienia R , Ext^ja
_R( A , B ) jest ogólnie tylko grupą abelową. Jeśli R jest algebrą nad pierścieniem S (co oznacza w szczególności, że S jest przemienne), to Ext^ja
_R( A , B ) jest co najmniej modułem S.

Właściwości Ext

Oto niektóre z podstawowych właściwości i obliczeń grup Ext.

• Zewn⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) dla dowolnych modułów R A i B .

• Zewn^ja
  _R( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0 , jeśli moduł R A jest rzutowy ( na przykład free ) lub jeśli B jest injektywny .

• Wersety zawierają również:
  • Jeśli zewn¹
    _R( A , B ) = 0 dla wszystkich B , to A jest rzutowe (a więc Ext^ja
    _R( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0).
  • Jeśli zewn¹
    _R( A , B ) = 0 dla wszystkich A , wtedy B jest injektywny (a więc Ext^ja
    _R( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0).

• ${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$dla wszystkich i ≥ 2 i wszystkich grup abelowych A i B .

• Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, a u w R nie jest dzielnikiem zera , wtedy

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / (u), B) \ cong {\ rozpocząć {przypadki} B [u] i i = 0 \ \ B / uB i i = 1 \ \ 0 i {\text{w przeciwnym razie}}\end{przypadki}}}$

dla dowolnego modułu R B . Tutaj B [ u ] oznacza podgrupę u- skręcania B , { x ∈ B : ux = 0}. Biorąc R jako pierścień liczb całkowitych, to obliczenie może być użyte do obliczenia dla dowolnej skończenie wygenerowanej grupy abelowej A .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1}(A, B)}$

• Uogólniając poprzedni przykład, można obliczyć grupy Ext, gdy pierwszy moduł jest ilorazem pierścienia przemiennego przez dowolny regularny ciąg , używając kompleksu Koszula . Na przykład, jeśli R jest pierścieniem wielomianowym k [ x ₁ ,..., x _n ] nad ciałem k , to Ext^*
  _R( k , k ) jest zewnętrzną algebrą S nad k na n generatorach w Ext ¹ . Ponadto Ext^*
  _S( k , k ) jest pierścieniem wielomianowym R ; jest to przykład dwoistości Koszula .

• Z ogólnych własności funktorów pochodnych, istnieją dwie podstawowe dokładne sekwencje dla Ext. Po pierwsze, krótka dokładna sekwencja 0 → K → L → M → 0 modułów R indukuje długą dokładną sekwencję postaci

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (A, K) \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (A, L) \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (A, M)\do \mathrm {wew} _{R}^{1}(A,K)\do \mathrm {wew} _{R}^{1}(A,L)\do \cdots ,}$

dla dowolnego modułu R A . Również krótka dokładna sekwencja 0 → K → L → M → 0 indukuje długą dokładną sekwencję postaci

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (M, B) \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (L, B) \ do \ operatorka {Hom} _ {R} (K, B)\do \mathrm {wew} _{R}^{1}(M,B)\do \mathrm {wew} _{R}^{1}(L,B)\do \cdots ,}$

dla dowolnego modułu R B .

• Ext przyjmuje sumy bezpośrednie (prawdopodobnie nieskończone) w pierwszej zmiennej i produkty w drugiej zmiennej na produkty. To jest:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} \ lewo (\ bigoplus _ {\ alfa} M_ {\ alfa}, N \ po prawej) i \ cong \ prod _ {\ alpha }\nazwa operatora {wew} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\nazwa operatora {wew} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Niech A będzie skończenie generowanym modułem nad przemiennym pierścieniem Noetherian R . Następnie Ext komutuje z lokalizacją , w tym sensie, że dla każdego multiplikatywnie domkniętego zbioru S w R , każdego modułu R B i każdej liczby całkowitej i ,

${\ Displaystyle S ^ {-1} \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) \ cong \ Operatorname {Ext} _ {S ^ {-1} R} ^ {i} \ lewo (S^{-1}A,S^{-1}B\prawo).}$

Ext i rozszerzenia

Równoważność rozszerzeń

Grupy Ext wywodzą swoją nazwę od ich stosunku do rozszerzeń modułów. Biorąc pod uwagę moduły R A i B , rozszerzenie A o B jest krótką dokładną sekwencją modułów R

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do E \ do A \ do 0.}$

Dwa rozszerzenia

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do E \ do A \ do 0}$

${\ Displaystyle 0\ do B\ do E'\ do A\ do 0}$

mówi się, że są równoważne (jako rozszerzenia A o B ), jeśli istnieje diagram przemienny :

Zauważ, że lemat Five sugeruje, że środkowa strzałka jest izomorfizmem. Rozszerzenie A o B nazywa się split, jeśli jest równoważne rozszerzeniu trywialnemu

${\displaystyle 0\do B\do A\oplus B\do A\do 0.}$

Istnieje zależność jeden do jednego między klasami równoważności rozszerzeń A przez B i elementami Ext¹
_R( A , B ). Trywialne rozszerzenie odpowiada elementowi zerowemu Ext¹
_R( A , B ).

Suma rozszerzeń Baera

Suma Baer jest wyraźny opis struktury grupy Abelowych na Ext¹
_R( A , B ) postrzegane jako zbiór klas równoważności rozszerzeń A przez B . Mianowicie, biorąc pod uwagę dwa rozszerzenia

${\ Displaystyle 0 \ do B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ do 0}$

oraz

${\ Displaystyle 0 \ do B {\ xrightarrow [{f'}] {}} E '{\ xrightarrow [{g'}] {}} A \ do 0,}$

Pierwszy tworzą pullback powyżej , ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ lewo \ {(e, e') \ w e \ oplus e '\; | \; g (e) = g '(e') \ prawo \}.}$

Następnie utwórz moduł ilorazu

${\ Displaystyle Y = \ Gamma / \ {(f (b), -f '(b)) \; | \; b \ w B \}.}$

Suma Baera E i E′ jest rozszerzeniem

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do Y \ do A \ do 0,}$

gdzie jest pierwsza mapa, a druga to . ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\ Displaystyle (e, e') \ mapsto g (e) = g '(e')}$

Do równoważności rozszerzeń suma Baera jest przemienna i ma trywialne rozszerzenie jako element tożsamości. Negatyw rozszerzenia 0 → B → E → A → 0 jest rozszerzeniem obejmującym ten sam moduł E , ale z homomorfizmem B → E zastąpionym jego ujemnym.

Konstrukcja Ext w kategoriach abelowych

Nobuo Yoneda zdefiniował grupy abelowe Extⁿ
_C( A , B ) dla obiektów A i B w dowolnej kategorii abelowej C ; zgadza się to z definicją pod względem rozdzielczości, jeśli C ma wystarczającą liczbę rzutów lub wystarczającą liczbę iniekcji . Po pierwsze, zewn⁰
_stopni( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Dalej, Ext¹
_°C( A , B ) jest zbiorem klas równoważności rozszerzeń A przez B , tworzących grupę abelową pod sumą Baera. Wreszcie wyższe grupy Ext Extⁿ
_C( A , B ) są zdefiniowane jako klasy równoważności n-rozszerzeń , które są dokładnymi ciągami

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do X_ {n} \ do \ cdots \ do X_ {1} \ do A \ do 0,}$

pod relacją równoważności wygenerowaną przez relację identyfikującą dwa rozszerzenia

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ xi : 0 i \ do B \ do X_ {n} \ do \ cdots \ do X_ {1} \ do A \ do 0 \ \ \ xi ': 0 i \ do B \ do X'_{n}\do \cdots \do X'_{1}\do A\do 0\end{wyrównane}}}$

jeśli istnieją odwzorowania dla wszystkich m w {1, 2, ..., n } tak, że każdy wynikowy kwadrat komutuje , to znaczy, jeśli istnieje odwzorowanie łańcuchowe ξ → ξ', które jest identycznością na A i B . ${\ Displaystyle X_ {m} \ do X'_ {m}}$

Suma Baer dwóch n -extensions jak wyżej uformowany pozwalając BE pullback z i nad A i BE wypychania na i pod B . Wtedy suma Baera rozszerzeń wynosi ${\ Displaystyle X''_ {1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\ Displaystyle X'_ {1}}$${\ Displaystyle X''_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle X'_ {n}}$

${\ Displaystyle 0 \ do B \ do X''_ {n} \ do X_ {n-1} \ oplus X'_ {n-1} \ do \ cdots \ do X_ {2} \ oplus X '_ { 2}\do X''_{1}\do A\do 0.}$

Kategoria pochodna i produkt Yoneda

Ważnym punktem jest to, że grupy Ext w abelowej kategorii C mogą być postrzegane jako zbiory morfizmów w kategorii związanej z C , pochodną kategorii D ( C ). Obiekty kategorii pochodnej są zespołami obiektów w C . W szczególności jeden ma

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C} } ^ {i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

gdzie obiekt C jest postrzegany jako kompleks skoncentrowany w stopniu zero, a [ i ] oznacza przesunięcie kompleksu i kroków w lewo. Z tej interpretacji powstaje dwuliniowa mapa , czasami nazywana produktem Yoneda :

${\ Displaystyle \ operatorname {wew.} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) \ razy \ operatorname {wew.} _ {\ mathbf {C}} ^ {j} (B, C) \ do \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

co jest po prostu złożeniem morfizmów w kategorii pochodnej.

Produkt Yoneda można też opisać w bardziej elementarny sposób. Dla i = j = 0 iloczynem jest kompozycja map w kategorii C . Ogólnie rzecz biorąc, produkt można zdefiniować, łącząc ze sobą dwa rozszerzenia Yoneda.

Alternatywnie produkt Yoneda można zdefiniować w kategoriach rozdzielczości. (Jest to zbliżone do definicji kategorii pochodnej.) Na przykład niech R będzie pierścieniem, z modułami R A , B , C , a P , Q i T będą rozdzielczościami rzutowymi A , B , C . Następny^ja
_R( A , B ) można utożsamić z grupą klas homotopii łańcuchów odwzorowań łańcuchów P → Q [ i ]. Produkt Yoneda otrzymujemy komponując mapy łańcuchowe:

${\displaystyle P\do Q[i]\do T[i+j].}$

Według każdej z tych interpretacji produkt Yoneda jest skojarzony. W rezultacie otrzymujemy pierścień stopniowany , dla dowolnego modułu R A . Na przykład daje to strukturę pierścienia w kohomologii grupowej, ponieważ można ją postrzegać jako . Również przez asocjatywność produktu Yoneda: dla dowolnych modułów R A i B , jest moduł nad . ${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ ${\ Displaystyle H ^ {*} (G \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$

Ważne przypadki specjalne

• Kohomologie grupa jest określona , w którym G jest grupą, M jest przedstawienie z G na całkowitymi i jest pierścień grupę o G .${\ Displaystyle H ^ {*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• Dla Algebra A na polu K i A - bimodule M , Hochschild kohomologie jest określona

${\ Displaystyle HH ^ {*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ tekst {op}}} ^ {*} (A, M).}$

• Kohomologia algebry Liego jest zdefiniowana przez , gdzie jest algebrą Liego nad przemiennym pierścieniem k , M jest modułem i jest uniwersalną algebrą otaczającą .${\ Displaystyle H ^ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• Dla przestrzeni topologicznej X , kohomologia snopów może być zdefiniowana jako Here Ext jest brana w abelowej kategorii snopów grup abelowych na X , i jest snopem funkcji o wartościach lokalnie stałych .${\ Displaystyle H ^ {*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^ {*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Dla przemiennego Noetherian pierścień lokalny R resztą pola k , jest uniwersalnym obwiedni Algebra o stopniowanej Lie Algebra gatunku * ( R ) w czasie k , zwany homotopii Lie Algebra z R . (Ściśle mówiąc, gdy k ma charakterystykę 2, π*( R ) musi być postrzegane jako „dostosowana algebra Liego”.) Istnieje naturalny homomorfizm stopniowanych algebr Liego z kohomologii André-Quillena D *( k / R , k ) do π*( R ), co jest izomorfizmem, jeśli k ma charakterystykę zero.${\ Displaystyle \ Operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$

Zobacz też

• wymiar globalny
• rozdzielczość paska
• Grupa Grothendiecka
• Lokalna dwoistość Grothendiecka

Uwagi

Bibliografia

• Avramov, Luchezar (2010), "Nieskończone wolne rozdzielczości", Sześć wykładów z algebry przemiennej , Birkhäuser , s. 1-108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375-416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Algebra Homologiczna , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, numer MR  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), „Rozszerzenia grupowe i homologia”, Annals of Mathematics , 43 (4): 757-931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR  1968966 , MR  0007108
• Gelfand, Siergiej I.; Manin, Jurij Iwanowicz (2003), Metody algebry homologicznej , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "algebry Hopfa i wyprowadzenia", Journal of Algebra , 64 : 218-229, doi : 10.1016/0021-8693 (80) 90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej. 38 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .
• Weibel, Charles A. (1999), "Historia algebry homologicznej" (PDF) , Historia topologii , Amsterdam: North-Holland, pp 797-836, ISBN 9780444823755, MR  1721123