Ext functor - Ext functor

Em matemática , os functores Ext são os functores derivados do functor Hom . Junto com o functor Tor , Ext é um dos conceitos centrais da álgebra homológica , em que idéias da topologia algébrica são usadas para definir invariantes de estruturas algébricas. A cohomologia de grupos , álgebras de Lie e álgebras associativas podem ser definidas em termos de Ext. O nome vem do fato de que o primeiro grupo Ext, Ext ^1, classifica as extensões de um módulo por outro.

No caso especial de grupos abelianos , Ext foi introduzido por Reinhold Baer (1934). Foi nomeado por Samuel Eilenberg e Saunders MacLane (1942) e aplicado à topologia (o teorema do coeficiente universal para cohomologia ). Para módulos sobre qualquer anel , Ext foi definido por Henri Cartan e Eilenberg em seu livro de 1956, Homological Algebra .

Definição

Deixe R ser um anel e deixe R -Mod ser a categoria de módulos de mais de R . (Pode-se levar isto para dizer, quer deixados R -modules ou para a direita R -modules.) Para um fixo R -module Um , deixar T ( B ) = Hom _R ( A , B ) para B em R -Mod. (Aqui Hom _R ( A , B ) é o grupo abelian de R -linear mapas de A para B ; este é um R -module se R é comutativo .) Este é um functor exato esquerda de R -Mod à categoria de abelian grupos Ab, e por isso tem direito functors derivados R ⁱ T . Os grupos Ext são os grupos abelianos definidos por

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B),}$

para um inteiro i . Por definição, isso significa: tomar qualquer resolução injetiva

${\ displaystyle 0 \ a B \ a I ^ {0} \ a I ^ {1} \ a \ cdots,}$

remova o termo B e forme o complexo de cochain :

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) \ to \ cdots.}$

Para cada inteiro i , Ext^eu
_R( A , B ) é a cohomologia desse complexo na posição i . É zero para i negativo. Por exemplo, Ext⁰
_R( A , B ) é o núcleo do mapa Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), que é isomorfo a Hom _R ( A , B ).

Uma definição alternativa usa o functor G ( A ) = Hom _R ( A , B ), para um R- módulo B fixo . Este é um functor contravariante , que pode ser visto como um functor exato à esquerda da categoria oposta ( R -Mod) ^op para Ab. Os grupos Ext são definidos como os functores derivados corretos R ⁱ G :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}$

Ou seja, escolha qualquer resolução projetiva

${\ displaystyle \ cdots \ a P_ {1} \ a P_ {0} \ a A \ a 0,}$

remova o termo A e forme o complexo de cochain:

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ to \ cdots.}$

Nas próximas^eu
_R( A , B ) é a cohomologia desse complexo na posição i .

Cartan e Eilenberg mostraram que essas construções são independentes da escolha da resolução projetiva ou injetiva, e que ambas as construções geram os mesmos grupos Ext. Além disso, para um anel fixo R , Ext é um functor em cada variável (contravariante em A , covariante em B ).

Para um anel comutativo R e R - módulos A e B , Ext^eu
_R( A , B ) é um módulo R (usando que Hom _R ( A , B ) é um módulo R neste caso). Para um anel não comutativo R , Ext^eu
_R( A , B ) é apenas um grupo abeliano, em geral. Se R é uma álgebra sobre um anel S (o que significa em particular que S é comutativo), então Ext^eu
_R( A , B ) é pelo menos um módulo S.

Propriedades de Ext

Aqui estão algumas das propriedades básicas e cálculos de grupos Ext.

• Ext⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) para qualquer R -modules A e B .

• Ext^eu
  _R( A , B ) = 0 para todo i > 0 se o módulo R A é projetivo (por exemplo, livre ) ou se B é injetivo .

• As conversas também contêm:
  • If Ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo B , então A é projetivo (e, portanto, Ext^eu
    _R( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • If Ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo A , então B é injetivo (e, portanto, Ext^eu
    _R( A , B ) = 0 para todo i > 0).

• ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$para todos os i ≥ 2 e todos os grupos abelianos A e B .

• Se R é um anel comutativo e u em R não é um divisor zero , então

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / (u), B) \ cong {\ begin {cases} B [u] & i = 0 \\ B / uB & i = 1 \\ 0 & {\ text {caso contrário,}} \ end {casos}}}$

para qualquer R -module B . Aqui, B [ u ] denota o subgrupo de torção u de B , { x ∈ B : ux = 0}. Tomando R como o anel de inteiros, este cálculo pode ser usado para calcular qualquer grupo abeliano A finitamente gerado .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (A, B)}$

• Generalizando o exemplo anterior, pode-se calcular grupos Ext quando o primeiro módulo é o quociente de um anel comutativo por qualquer sequência regular , usando o complexo de Koszul . Por exemplo, se R é o anel polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] sobre um campo k , então Ext^*
  _R( k , k ) é a álgebra externa S sobre k em n geradores em Ext ¹ . Além disso, Ext^*
  _S( k , k ) é o anel polinomial R ; este é um exemplo da dualidade Koszul .

• Pelas propriedades gerais dos functores derivados, existem duas sequências exatas básicas para Ext. Primeiro, uma seqüência exata curta 0 → K → L → M → 0 de módulos R induz uma seqüência exata longa da forma

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, K) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, L) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, M) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, K) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, L) \ to \ cdots,}$

para qualquer R -module Uma . Além disso, uma sequência exata curta 0 → K → L → M → 0 induz uma sequência exata longa da forma

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (M, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (L, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (K, B) \ para \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (M, B) \ para \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (L, B) \ para \ cdots,}$

para qualquer R -module B .

• Ext leva somas diretas (possivelmente infinitas) na primeira variável e produtos na segunda variável para produtos. Isso é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} \ left (M, \ prod _ {\ alpha } N _ {\ alpha} \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M, N _ {\ alpha}) \ end {alinhado}}}$

• Deixe Um ser um módulo finita gerado ao longo de um conmutativo anel Noetheriano R . Então Ext comuta com a localização , no sentido de que para cada conjunto multiplicativamente fechado S em R , cada R- módulo B e cada inteiro i ,

${\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S ^ {- 1} R} ^ {i} \ left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B \ direita).}$

Ext e extensões

Equivalência de extensões

Os grupos Ext derivam seus nomes de sua relação com as extensões dos módulos. Dados os módulos R A e B , uma extensão de A por B é uma sequência curta e exata de módulos R

${\ displaystyle 0 \ a B \ a E \ a A \ a 0.}$

Duas extensões

${\ displaystyle 0 \ a B \ a E \ a A \ a 0}$

${\ displaystyle 0 \ a B \ a E '\ a A \ a 0}$

são considerados equivalentes (como extensões de A por B ) se houver um diagrama comutativo :

Observe que o lema Cinco implica que a seta do meio é um isomorfismo. Uma extensão de A por B é chamada de divisão se for equivalente à extensão trivial

${\ displaystyle 0 \ a B \ a A \ oplus B \ a A \ a 0.}$

Há uma correspondência um-para-um entre classes de equivalência de extensões de A por B e elementos de Ext¹
_R( A , B ). A extensão trivial corresponde ao elemento zero de Ext¹
_R( A , B ).

A soma das extensões de Baer

A soma de Baer é uma descrição explícita da estrutura do grupo abeliano em Ext¹
_R( A , B ), visto que o conjunto de classes de equivalência de extensões de A por B . Ou seja, dadas duas extensões

${\ displaystyle 0 \ para B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ para 0}$

e

${\ displaystyle 0 \ para B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E' {\ xrightarrow [{g '}] {}} A \ para 0,}$

primeiro formam o recuo ao longo , ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ left \ {(e, e ') \ in E \ oplus E' \; | \; g (e) = g '(e') \ right \}.}$

Em seguida, forme o módulo quociente

${\ displaystyle Y = \ Gamma / \ {(f (b), - f '(b)) \; | \; b \ in B \}.}$

A soma de Baer de E e E ′ é a extensão

${\ displaystyle 0 \ a B \ a Y \ a A \ a 0,}$

onde está o primeiro mapa e o segundo . ${\ displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$${\ displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e ')}$

Até a equivalência de extensões, a soma de Baer é comutativa e tem a extensão trivial como elemento de identidade. O negativo de uma extensão 0 → B → E → A → 0 é a extensão envolvendo o mesmo módulo E , mas com o homomorfismo B → E substituído pelo seu negativo.

Construção de Ext em categorias abelianas

Nobuo Yoneda definiu os grupos abelianos Extⁿ
_C( A , B ) para objetos A e B em qualquer categoria abeliana C ; isso está de acordo com a definição em termos de resolução se C tem projetivos ou injetivos suficientes . Primeiro, Ext⁰
_C( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Próximo, Ext¹
_C( A , B ) é o conjunto de classes de equivalência de extensões de A por B , formando um grupo abeliano sob a soma de Baer. Finalmente, os grupos Ext superiores Extⁿ
_C( A , B ) são definidos como classes de equivalência de extensões n , que são sequências exatas

${\ displaystyle 0 \ a B \ a X_ {n} \ a \ cdots \ a X_ {1} \ a A \ a 0,}$

sob a relação de equivalência gerada pela relação que identifica duas extensões

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ xi: 0 & \ a B \ a X_ {n} \ a \ cdots \ a X_ {1} \ a A \ a 0 \\\ xi ': 0 & \ a B \ a X '_ {n} \ a \ cdots \ a X' _ {1} \ a A \ a 0 \ end {alinhado}}}$

se existem mapas para todos m em {1, 2, ..., n } para que cada resultantes trajetos quadrados , ou seja, se há um mapa da cadeia ξ → ξ', que é a identidade em A e B . ${\ displaystyle X_ {m} \ a X '_ {m}}$

A soma de dois Baer n -extensions como acima é formada, deixando ficar o recuo de e sobre um , e ser o pushout de e sob B . Então, a soma Baer das extensões é ${\ displaystyle X '' _ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X '_ {1}}$${\ displaystyle X '' _ {n}}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X '_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ a B \ a X '' _ {n} \ a X_ {n-1} \ oplus X '_ {n-1} \ a \ cdots \ a X_ {2} \ oplus X' _ { 2} \ para X '' _ {1} \ para A \ para 0.}$

A categoria derivada e o produto Yoneda

Um ponto importante é que os grupos Ext em uma categoria abeliana C podem ser vistos como conjuntos de morfismos em uma categoria associada a C , a categoria derivada D ( C ). Os objectos da categoria derivada são complexos de objectos em C . Especificamente, um tem

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

onde um objeto de C é visto como um complexo concentrado no grau zero, e [ i ] significa deslocar um complexo i passos para a esquerda. A partir dessa interpretação, há um mapa bilinear , às vezes chamado de produto Yoneda :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) \ times \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {j} (B, C) \ para \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i + j} (A, C),}$

que é simplesmente a composição de morfismos na categoria derivada.

O produto Yoneda também pode ser descrito em termos mais elementares. Para i = j = 0, o produto é a composição de mapas na categoria C . Em geral, o produto pode ser definido unindo duas extensões Yoneda.

Como alternativa, o produto Yoneda pode ser definido em termos de resoluções. (Este é próxima da definição da categoria derivada.) Por exemplo, deixar que R ser um anel, com R -modules A , B , C , e deixá- P , Q , e T ser resoluções projectiva de A , B , C . Nas próximas^eu
_R( A , B ) podem ser identificados com o grupo de classes de homotopia de cadeia de mapas de cadeia P → Q [ i ]. O produto Yoneda é dado pela composição de mapas de cadeias:

${\ displaystyle P \ a Q [i] \ a T [i + j].}$

Por qualquer uma dessas interpretações, o produto Yoneda é associativo. Como resultado, é um anel gradual , para qualquer R -module Uma . Por exemplo, isso dá a estrutura do anel na cohomologia de grupo, uma vez que pode ser vista como . Também por associatividade do produto Yoneda: para quaisquer R- módulos A e B , é um módulo terminado . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ ${\ displaystyle H ^ {*} (G, \ mathbb {Z}),}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$

Casos especiais importantes

• Cohomología grupo é definido por , onde L é um grupo, M é uma representação de L ao longo dos números inteiros, e é o grupo anel de L .${\ displaystyle H ^ {*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• Para uma álgebra A sobre um campo ke um A - bimódulo M , a cohomologia de Hochschild é definida por

${\ displaystyle HH ^ {*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ text {op}}} ^ {*} (A, M).}$

• A cohomologia da álgebra de Lie é definida por , onde é uma álgebra de Lie sobre um anel comutativo k , M é um -módulo e é a álgebra universal envolvente .${\ displaystyle H ^ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• Para um espaço topológico X , cohomologia de feixe pode ser definida como Here Ext é considerada na categoria abeliana de feixes de grupos abelianos em X , e é o feixe de funções localmente constantes- avaliadas.${\ displaystyle H ^ {*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^ {*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Para um conmutativo Noetheriano anel local R com campo resíduo k , é o álgebra envelopante de uma álgebra de Lie graduada π * ( R ) ao longo de K , conhecida como a álgebra de Lie homotopy de R . (Para ser mais preciso, quando k tem a característica 2, π * ( R ) deve ser visto como uma "álgebra de Lie ajustada".) Há um homomorfismo natural das álgebras de Lie graduadas da cohomologia de André-Quillen D * ( k / R , k ) a π * ( R ), que é um isomorfismo se k tiver a característica zero.${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$

Veja também

• dimensão global
• resolução da barra
• Grupo Grothendieck
• Dualidade local de Grothendieck

Notas

Referências

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