Řetězový komplex - Chain complex

V matematiky , je komplexní řetězec je algebraická struktura , která se skládá ze sekvence abelovských skupin (nebo modulů ) a sekvence homomorfismů mezi po sobě následujícími skupinami tak, aby se obraz každé homomorfismu je obsažen v jádře následujícího. S řetězovým komplexem je spojena jeho homologie , která popisuje, jak jsou obrázky obsaženy v jádrech.

Cochain komplex je podobný komplexu řetězce, s výjimkou, že jeho homomorfizmy sledovat jiné konvence. Homologie komplexu cochain se nazývá jeho cohomologie.

V algebraické topologii je komplex singulárního řetězce topologického prostoru X konstruován pomocí spojitých map od simplexu po X a homomorfismy řetězového komplexu zachycují, jak se tyto mapy omezují na hranici simplexu. Homologie tohoto řetězového komplexu se nazývá singulární homologie X a je běžně používaným invariantem topologického prostoru.

Řetězové komplexy jsou studovány v homologické algebře , ale používají se v několika oblastech matematiky, včetně abstraktní algebry , Galoisovy teorie , diferenciální geometrie a algebraické geometrie . Mohou být definovány obecněji v abelianských kategoriích .

Definice

Komplexní řetězec je sekvence abelian skupin nebo modulů ..., ₀ , ₁ , ₂ , ₃ , ₄ , ... spojeny homomorfismů (tzv hraniční operátoři nebo diferenciály ) d _n : _n → _n₋₁ , takže složení libovolných dvou po sobě jdoucích map je nulová mapa. Explicitně diferenciály splňují d _n ∘ d _n₊₁ = 0 , nebo s potlačenými indexy, d ² = 0 . Komplex lze vypsat následujícím způsobem. ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} {\ xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} {\ xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} {\ xleftarrow {d_ {3}}} A_ {3} {\ xleftarrow {d_ {4}}} A_ {4} {\ xleftarrow {d_ {5}}} \ cdots}

Cochain Komplex je dvojí pojem do komplexu řetězu. Skládá se ze sledu abelianských skupin nebo modulů ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... spojených homomorfismy d ⁿ : A ⁿ → A ⁿ⁺¹ uspokojující d ⁿ⁺¹ ∘ d ⁿ = 0 . Komplex řetězců může být zapsán podobným způsobem jako řetězový komplex. ${\ displaystyle (A ^ {\ bullet}, d ^ {\ bullet})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {d ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {d ^ {1}}} A ^ {2} {\ xrightarrow {d ^ {2}}} A ^ {3} {\ xrightarrow {d ^ {3}}} A ^ {4} {\ xrightarrow {d ^ {4}}} \ cdots}

Index n v A _n nebo A ⁿ se označuje jako stupeň (nebo rozměr ). Rozdíl mezi řetězovými a kochainovými komplexy spočívá v tom, že v řetězových komplexech diferenciály zmenšují dimenzi, zatímco v komplexech cochain zvětšují dimenzi. Všechny koncepty a definice pro řetězové komplexy se vztahují na komplexy řetězců, kromě toho, že se budou řídit touto odlišnou konvencí dimenze a často budou termíny označeny předponou co- . V tomto článku budou uvedeny definice řetězových komplexů, když rozdíl není vyžadován.

Komplex ohraničené řetězce je taková, ve které téměř všechny _n jsou 0; tj. konečný komplex rozšířený doleva a doprava o 0. Příkladem je řetězový komplex definující zjednodušenou homologii konečného zjednodušeného komplexu . Řetězový komplex je ohraničen nahoře, pokud jsou všechny moduly nad nějakým pevným stupněm N 0, a je ohraničen níže, pokud jsou všechny moduly pod nějakým pevným stupněm 0. Je zřejmé, že komplex je ohraničen jak nad, tak i pod tehdy a jen tehdy, když je komplex omezený.

Prvky jednotlivých skupin komplexu (ko) řetězce se nazývají (ko) řetězce . Prvky v jádře d se nazývají (ko) cykly (nebo uzavřené prvky) a prvky v obraze d se nazývají (ko) hranice (nebo přesné prvky). Od definice diferenciálu jsou všechny hranice cykly. N -tý (ko) homologie skupina H _n ( H ⁿ ), je skupina (CO) cykly modulo (ko) hranic v studia n , to znamená,

{\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {\ ker d_ {n}} {{\ mbox {im}} d_ {n + 1}}} \ quad \ left (H ^ {n} = {\ frac { \ ker d ^ {n}} {{\ mbox {im}} d ^ {n-1}}} \ right)}

Přesné sekvence

Přesná sekvence (nebo přesné komplex) je komplexní řetězec, jehož homologie skupiny jsou všechny nulové. To znamená, že všechny uzavřené prvky v komplexu jsou přesné. Krátká přesná sekvence je omezená přesné sekvence, ve které pouze skupiny _k , _k₁ , _k₂ může být nenulová. Například následující řetězový komplex je krátká přesná sekvence.

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \; \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {\ times p}} \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \ cdots}

Ve střední skupině jsou uzavřenými prvky prvky p Z ; jedná se jednoznačně o přesné prvky v této skupině.

Řetězové mapy

Mapa řetěz f mezi dvěma řetězovými komplexy a je sekvence z homomorfismů pro každé n , které dojíždí s okrajovými provozovateli na dvou komplexů řetězu, tak . To je zapsáno v následujícím komutativním diagramu . ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet})}$ ${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A_ {n} \ rightarrow B_ {n}}$ ${\ displaystyle d_ {B, n} \ circ f_ {n} = f_ {n-1} \ circ d_ {A, n}}$

Řetězová mapa odesílá cykly do cyklů a hranice k hranicím, a tím indukuje mapu homologie . ${\ displaystyle (f _ {\ bullet}) _ {*}: H _ {\ bullet} (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet}) \ rightarrow H _ {\ bullet} (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$

Kontinuální mapa f mezi topologické prostory X a Y indukuje mapu řetězce mezi komplexů singulární řetězce X a Y , a tím indukuje mapy f _* mezi singulární homologie X a Y , jakož. Když jsou X a Y stejné jako n- koule , mapa indukovaná na homologii definuje stupeň mapy f .

Koncept řetězové mapy se redukuje na hranici hranice konstrukcí kužele řetězové mapy.

Řetězová homotopy

Řetězová homotopy nabízí způsob, jak spojit dvě řetězové mapy, které indukují stejnou mapu na homologických skupinách, i když se mapy mohou lišit. Vzhledem ke dvěma řetězovým komplexům A a B a dvěma řetězovým mapám f , g : A → B je homotopie řetězce posloupností homomorfismů h _n : A _n → B _{n +1} taková, že hd _A + d _B h = f - g . Mapy mohou být zapsány do diagramu následovně, ale tento diagram není komutativní.

Mapu hd _A + d _B h lze snadno ověřit, aby byla na libovolné h vyvolána nulová mapa v homologii . Okamžitě z toho vyplývá, že f a g indukují stejnou mapu na homologii. Jeden říká, že f a g jsou homotopické řetězce (nebo jednoduše homotopické ) a tato vlastnost definuje vztah ekvivalence mezi řetězovými mapami.

Nechť X a Y jsou topologické prostory. V případě singulární homologie homotopie mezi spojitými mapami f , g : X → Y indukuje řetězovou homotopii mezi řetězovými mapami odpovídajícími f a g . To ukazuje, že dvě homotopické mapy indukují stejnou mapu na singulární homologii. Název „homotopy řetězu“ je motivován tímto příkladem.

Příklady

Singulární homologie

Nechť X je topologický prostor. Definujte C _n ( X ) pro přirozené n jako volnou abelianskou skupinu formálně generovanou singulárními n-jednoduchostmi v X a definujte hraniční mapu, která má být ${\ displaystyle \ částečné _ {n}: C_ {n} (X) \ až C_ {n-1} (X)}$

{\ displaystyle \ částečné _ {n}: \, (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, v_ {n}] \ až X) \ mapsto \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, {\ hat {v}} _ {i}, \ ldots, v_ {n}] \ až X)}

kde klobouk označuje vynechání vrcholu . To znamená, že hranice singulárního simplexu je střídavý součet omezení jeho tváří. Lze ukázat, že ∂ ² = 0, tedy i řetězový komplex; singulární homologie je homologie tohoto komplexu. ${\ displaystyle (C _ {\ odrážka}, \ částečná _ {\ odrážka})}$ ${\ displaystyle H _ {\ bullet} (X)}$

Singulární homologie je užitečný invariant topologických prostorů až po homotopickou ekvivalenci . Homologie skupina stupeň nula je volná skupina abelian na cesty komponent z X .

de Rhamova kohomologie

Rozdíl k -formy na jakékoli hladké potrubí M vytváří skupinu v reálném vektorovém prostoru tzv Ω ^k ( M ) za přidání. Vnější derivát d mapuje Ohmů ^K ( M ), aby w ^{k + 1} ( M ), a d ² = 0 vyplývá v podstatě ze symetrie druhých derivací , takže vektor prostory k- -formy spolu s vnějším derivátem jsou cochain složité.

{\ displaystyle \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ k \ Omega ^ {2} (M) \ k \ Omega ^ {3} (M) \ do \ cdots}

Kohomologie tohoto komplexu se nazývá de Rham cohomology z X . Homologie skupina rozměr nuly je izomorfní vektorového prostoru lokálně konstantní funkcí od M až R . Proto je pro kompaktní potrubí, to je reálný vektorový prostor, jehož rozměr je počet připojených komponent M .

Hladké mapy mezi potrubími indukují řetězové mapy a hladké homotopy mezi mapami indukují řetězové homotopy.

Kategorie řetězových komplexů

Řetězové komplexy K- modulů s řetězovými mapami tvoří kategorii Ch _K , kde K je komutativní kruh.

Pokud V = V a W = W jsou řetězové komplexy, jejich tenzorovým produktem je řetězový komplex s prvky stupně n danými vztahem ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle V \ otimes W}$

{\ displaystyle (V \ otimes W) _ {n} = \ bigoplus _ {\ {i, j | i + j = n \}} V_ {i} \ otimes W_ {j}}

a diferenciál daný

{\ displaystyle \ částečné (a \ otimes b) = \ částečné a \ otimes b + (- 1) ^ {\ left | a \ right |} a \ otimes \ částečné b}

kde a b jsou kterékoliv dvě homogenní vektory v V a W v tomto pořadí, a označuje stupeň . ${\ displaystyle \ left | a \ right |}$

Tento tenzorový produkt řadí kategorii Ch _K do symetrické monoidní kategorie . Objekt identity s ohledem na tento monoidní produkt je základní prstenec K, který je považován za řetězový komplex ve stupni 0. Opletení je dáno na jednoduchých tenzorech homogenních prvků pomocí

{\ displaystyle a \ otimes b \ mapsto (-1) ^ {\ left | a \ right | \ left | b \ right |} b \ otimes a}

Značka je nutná, aby opletení bylo řetězovou mapou.

Kromě toho má kategorie řetězových komplexů K- modulů také vnitřní Hom : dané řetězové komplexy V a W , vnitřní Hom z V a W , označené Hom ( V , W ), je řetězový komplex s prvky stupně n danými a rozdíl daný ${\ displaystyle \ Pi _ {i} {\ text {Hom}} _ {K} (V_ {i}, W_ {i + n})}$