Extra funktioner - Ext functor

I matematik är Ext -funktionerna de härledda funktionerna för Hom -funktionen . Tillsammans med Tor functor är Ext ett av kärnbegreppen för homologisk algebra , där idéer från algebraisk topologi används för att definiera invarianter av algebraiska strukturer. Den Snittkohomologi grupper , Liealgebror och associativa algebror kan alla definieras i termer av Ext. Namnet kommer från det faktum att den första Ext -gruppen Ext ¹ klassificerar tillägg för en modul av en annan.

I specialfallet abeliska grupper introducerades Ext av Reinhold Baer (1934). Det namngavs av Samuel Eilenberg och Saunders MacLane (1942) och tillämpades på topologi ( universell koefficientteorem för kohomologi ). För moduler över vilken ring som helst definierades Ext av Henri Cartan och Eilenberg i sin bok 1956 Homological Algebra .

Definition

Låt R vara en ring och låt R -Mod vara kategorin av moduler över R . (Man kan anta att detta betyder antingen vänster R -moduler eller höger R -moduler.) För en fast R -modul A , låt T ( B ) = Hom _R ( A , B ) för B i R -Mod. (Här Hom _R ( A , B ) är den abeliska gruppen av R -linjära kartor från A till B ; detta är en R -modul om R är kommutativ .) Detta är en vänster exakt funktion från R -Mod till kategorin abelisk grupperna Ab, och så det har rätt härledda funktorer R ⁱ T . Ext -grupperna är de abeliska grupper som definieras av

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} T) (B),}$

för ett heltal i . Per definition betyder detta: ta vilken injektionsupplösning som helst

${\ displaystyle 0 \ to B \ to I^{0} \ to I^{1} \ to \ cdots,}$

ta bort termen B och bilda cochain -komplexet :

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I^{1}) \ to \ cdots.}$

För varje heltal i , Extⁱ
_R( A , B ) är kohomologin för detta komplex vid position i . Det är noll för jag negativ. Till exempel Ext⁰
_R( A , B ) är kärnan på kartan Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), som är isomorf för Hom _R ( A , B ).

En alternativ definition använder funktor G ( A ) = Hom _R ( A , B ), för en fast R -modul B . Detta är en kontravariant funktor, som kan ses som en vänster exakt funktion från den motsatta kategorin ( R -Mod) ^op till Ab. Ext -grupperna definieras som de rätt härledda funktionerna R ⁱ G :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) = (R^{i} G) (A).}$

Det vill säga välja vilken projektiv upplösning som helst

${\ displaystyle \ cdots \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to A \ to 0,}$

ta bort termen A och bilda cochain -komplexet:

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ to \ cdots.}$

Nästaⁱ
_R( A , B ) är kohomologin för detta komplex vid position i .

Cartan och Eilenberg visade att dessa konstruktioner är oberoende av valet av projektiv eller injektiv upplösning, och att båda konstruktionerna ger samma Ext -grupper. För en fast ring R är Ext dessutom en funktor i varje variabel (kontravariant i A , kovariant i B ).

För en kommutativ ring R och R -modulerna A och B , Extⁱ
_R( A , B ) är en R -modul (med den Hom _R ( A , B ) är en R -modul i detta fall). För en icke-kommutativ ring R , Extⁱ
_R( A , B ) är i allmänhet bara en abelsk grupp. Om R är en algebra över en ring S (vilket i synnerhet betyder att S är kommutativ), kommer Extⁱ
_R( A , B ) är åtminstone en S -modul.

Egenskaper för Ext

Här är några av de grundläggande egenskaperna och beräkningarna för Ext -grupper.

• Ext⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) för varje R -Moduler A och B .

• Extⁱ
  _R( A , B ) = 0 för alla i > 0 om R -modulen A är projektiv (till exempel ledig ) eller om B är injektiv .

• Konversationerna innehåller också:
  • Om Ext¹
    _R( A , B ) = 0 för alla B , då är A projektivt (och därmed Extⁱ
    _R( A , B ) = 0 för alla i > 0).
  • Om Ext¹
    _R( A , B ) = 0 för alla A , då är B injektiv (och därmed Extⁱ
    _R( A , B ) = 0 för alla i > 0).

• ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{i} (A, B) = 0}$för alla i ≥ 2 och alla Abelsk Grupp A och B .

• Om R är en kommutativ ring och u i R inte är en nollavdelare , då

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (R/(u), B) \ cong {\ begin {cases} B [u] & i = 0 \\ B/uB & i = 1 \\ 0 & {\ text {annars,}} \ slut {fall}}}$

för någon R -modul B . Här betecknar B [ u ] u -läkarundergruppen för B , { x ∈ B : ux = 0}. Ta R att vara i ringen av heltal, kan denna beräkning användas för att beräkna för varje ändligt genererade abelsk grupp A .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}}^{1} (A, B)}$

• Genom att generalisera det föregående exemplet kan man beräkna Ext -grupper när den första modulen är kvoten för en kommutativ ring med valfri vanlig sekvens med Koszul -komplexet . Om R till exempel är polynomringen k [ x ₁ , ..., x _n ] över ett fält k , då Ext^*
  _R( k , k ) är den yttre algebra S över k on n generatorer i Ext ¹ . Dessutom har Ext^*
  _S( k , k ) är polynomringen R ; detta är ett exempel på Koszul -dualitet .

• Med de allmänna egenskaperna hos härledda funktorer finns det två grundläggande exakta sekvenser för Ext. Först inducerar en kort exakt sekvens 0 → K → L → M → 0 av R -moduler en lång exakt sekvens av formen

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, K) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, L) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, M) \ till \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, K) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (A, L) \ to \ cdots,}$

för någon R -modul A . En kort exakt sekvens 0 → K → L → M → 0 inducerar också en lång exakt sekvens av formen

${\ displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (M, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (L, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (K, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (M, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R}^{1} (L, B) \ to \ cdots,}$

för någon R -modul B .

• Ext tar direkta summor (möjligen oändligt) i den första variabeln och produkter i den andra variabeln till produkter. Det är:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ prod _ {\ alfa} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Ext} _ {R}^{i} \ left (M, \ prod _ {\ alpha } N _ {\ alpha} \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (M, N _ {\ alpha}) \ end {align}}}$

• Låt A vara en ändligt genererad modulen över en kommutativ noethersk ring R . Sedan pendlar Ext med lokalisering , i den meningen att för varje multiplikativt stängd uppsättning S i R , varje R -modul B och varje heltal i ,

${\ displaystyle S^{-1} \ operatorname {Ext} _ {R}^{i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S^{-1} R}^{i} \ left (S^{-1} A, S^{-1} B \ höger).}$

Ext och tillägg

Ekvivalens för tillägg

Ext -grupperna får sitt namn från deras relation till tillägg av moduler. Med tanke på R -modulerna A och B är en förlängning av A med B en kort exakt sekvens av R -moduler

${\ displaystyle 0 \ to B \ to E \ to A \ to 0.}$

Två tillägg

${\ displaystyle 0 \ to B \ to E \ to A \ to 0}$

${\ displaystyle 0 \ to B \ to E '\ to A \ to 0}$

sägs vara ekvivalenta (som tillägg av A med B ) om det finns ett kommutativt diagram :

Observera att Five lemma innebär att mittpilen är en isomorfism. En förlängning av A med B kallas split om den motsvarar den triviala förlängningen

${\ displaystyle 0 \ to B \ to A \ oplus B \ to A \ to 0.}$

Det finns en en-till-en-korrespondens mellan ekvivalensklasser för förlängningar av A med B och element i Ext¹
_R( A , B ). Den triviala förlängningen motsvarar nollelementet i Ext¹
_R( A , B ).

Baersumman av tillägg

Den Baer summan är en explicit beskrivning av abelsk grupp strukturen på Ext¹
_R( A , B ), ses som den uppsättning av ekvivalensklasser av förlängningar av A från B . Nämligen med tanke på två tillägg

${\ displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ to 0}$

och

${\ displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E' {\ xrightarrow [{g '}] {}} A \ to 0,}$

först bilda den tillbakadragande över , ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ left \ {(e, e ') \ in E \ oplus E' \; | \; g (e) = g '(e') \ right \}.}$

Sedan bilda kvoten modulen

${\ displaystyle Y = \ Gamma /\ {(f (b),-f '(b)) \; | \; b \ i B \}.}$

Baersumman av E och E ′ är förlängningen

${\ displaystyle 0 \ to B \ to Y \ to A \ to 0,}$

där den första kartan är och den andra är . ${\ displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$${\ displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e ')}$

Fram till ekvivalens av tillägg är Baersumman kommutativ och har den triviala förlängningen som identitetselement. Negativet för en förlängning 0 → B → E → A → 0 är förlängningen som involverar samma modul E , men med homomorfismen B → E ersatt av dess negativ.

Konstruktion av Ext i abeliska kategorier

Nobuo Yoneda definierade de abeliska grupperna Extⁿ
_C( A , B ) för objekt A och B i någon abelskategori C ; detta överensstämmer med definitionen när det gäller upplösningar om C har tillräckligt med projektiva eller tillräckligt med sprutmedel . Först, Ext⁰
_C( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Därefter Ext¹
_C( A , B ) är uppsättningen ekvivalensklasser för förlängningar av A med B , som bildar en abelsk grupp under Baersumman. Slutligen är de högre Ext -grupperna Extⁿ
_C( A , B ) definieras som ekvivalensklasser av n-förlängningar , som är exakta sekvenser

${\ displaystyle 0 \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0,}$

under ekvivalensrelationen som genereras av relationen som identifierar två tillägg

${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi: 0 & \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0 \\\ xi ': 0 & \ to B \ to X '_ {n} \ to \ cdots \ to X' _ {1} \ to A \ to 0 \ end {align}}}$

om det finns kartor för alla m i {1, 2, ..., n } så att varje resulterande fyrkantiga pendlar , dvs, om det finns en kedja karta ξ → ξ', som är identiteten på A och B . ${\ displaystyle X_ {m} \ till X '_ {m}}$

Baer summan av två n -extensions som ovan bildas genom att låta bli den tillbakadragande av och över A , och vara pushout av och inom ramen för B . Då är Baersumman av tilläggen ${\ displaystyle X '' _ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X '_ {1}}$${\ displaystyle X '' _ {n}}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X '_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ to B \ to X '' _ {n} \ to X_ {n-1} \ oplus X '_ {n-1} \ to \ cdots \ to X_ {2} \ oplus X' _ { 2} \ till X '' _ {1} \ till A \ till 0.}$

Den härledda kategorin och Yoneda -produkten

En viktig punkt är att Ext -grupper i en abelsk kategori C kan ses som uppsättningar morfismer i en kategori associerad med C , den härledda kategorin D ( C ). Ändamålen med den härledda kategori är komplex av objekt i C . Specifikt har man

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

där ett objekt av C ses som ett komplex koncentrerat i grad noll, och [ i ] betyder att man flyttar ett komplex i steg till vänster. Från denna tolkning finns en bilinjär karta , ibland kallad Yoneda -produkten :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i} (A, B) \ times \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{j} (B, C) \ till \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}}^{i+j} (A, C),}$

som helt enkelt är morfismernas sammansättning i den härledda kategorin.

Yoneda -produkten kan också beskrivas i mer elementära termer. För i = j = 0, är produkten sammansättningen av kartor i kategori C . I allmänhet kan produkten definieras genom att skarva ihop två Yoneda -tillägg.

Alternativt kan Yoneda -produkten definieras i form av upplösningar. (Detta är nära till definitionen av den härledda kategori.) Till exempel, låt R vara en ring, med R -Moduler A , B , C , och låt P , Q , och T vara projektiva resolutioner av A , B , C . Nästaⁱ
_R( A , B ) kan identifieras med gruppen kedjahomotopiklasser av kedjekartor P → Q [ i ]. Yoneda -produkten ges genom att komponera kedjekartor:

${\ displaystyle P \ to Q [i] \ to T [i+j].}$

Genom någon av dessa tolkningar är Yoneda -produkten associerande. Som ett resultat är en graderad ring , för vilken R -modul A som helst . Till exempel ger detta ringstrukturen för gruppkohomologi eftersom detta kan ses som . Också genom associativitet för Yoneda -produkten: för alla R -moduler A och B , är en modul över . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$ ${\ displaystyle H^{*} (G, \ mathbb {Z}),}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (A, A)}$

Viktiga specialfall

• Grupp Snittkohomologi definieras av , där G är en grupp, M är en representation av G över heltalen, och är den grupp ringen av G .${\ displaystyle H^{*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]}^{*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• För en algebra A över ett fält k och en A - bimodule M , Hochschild Snittkohomologi definieras av

${\ displaystyle HH^{*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A^{\ text {op}}}^{*} (A, M).}$

• Lie algebra kohomologi definieras av , där är en Lie algebra över en kommutativ ring k , M är en -modul och är den universella omslutande algebra .${\ displaystyle H^{*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}}^{*} (k, M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• För ett topologiskt utrymme X kan skivkohomologi definieras som här Ext är taget i den abeliska kategorin av skivor av abeliska grupper på X , och är skiven av lokalt konstantvärderade funktioner.${\ displaystyle H ^{*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^{*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• För en kommutativ Noetherian lokal ring R med återstoden fält k , är den universella kuverte algebra av en graderad liealgebra π * ( R ) över k , känd som Homotopy liealgebra av R . (För att vara exakt, när k har karakteristiken 2, måste π *( R ) ses som en "justerad Lie -algebra".) Det finns en naturlig homomorfism av graderade Lie -algebra från André – Quillen -kohomologin D *( k / R , k ) till π*( R ), vilket är en isomorfism om k har karakteristisk noll.${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R}^{*} (k, k)}$

Se även

• global dimension
• bar upplösning
• Grothendieck grupp
• Grothendieck lokal dualitet

Anteckningar

Referenser

• Avramov, Luchezar (2010), "Infinite free resolutions", Sex föreläsningar om kommutativ algebra , Birkhäuser , s. 1–108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homologisk algebra , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, MR  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), "Group extensions and homology", Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR  1968966 , MR  0007108
• Gelfand, Sergei I .; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Methods of homological algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf algebras and derivations", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693 (80) 90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). En introduktion till homologisk algebra . Cambridge -studier i avancerad matematik. 38 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .
• Weibel, Charles A. (1999), "History of homological algebra" (PDF) , History of topology , Amsterdam: North-Holland, s. 797–836, ISBN 9780444823755, MR  1721123