Dış işlev - Ext functor

Gelen matematik , Dahili fanktorlar olan türetilmiş fanktorlar arasında Hom funktor . Tor functor ile birlikte Ext, cebirsel yapıların değişmezlerini tanımlamak için cebirsel topolojiden gelen fikirlerin kullanıldığı homolojik cebirin temel kavramlarından biridir . Grupların kohomolojisi , Lie cebirleri ve ilişkisel cebirlerin tüm Dahili açısından tanımlanabilir. Adı, ilk Ext grubu Ext ^1'in bir modülün uzantılarını diğerine göre sınıflandırmasından gelir .

Değişken grupların özel durumunda , Ext, Reinhold Baer (1934) tarafından tanıtıldı . Samuel Eilenberg ve Saunders MacLane (1942) tarafından adlandırılmış ve topolojiye ( kohomoloji için evrensel katsayı teoremi ) uygulanmıştır. Herhangi bir halka üzerindeki modüller için , Ext, Henri Cartan ve Eilenberg tarafından 1956 tarihli Homological Algebra kitaplarında tanımlanmıştır .

Tanım

Let R bir halka olması ve izin R -Mod olmak kategori üzerinde modüllerin Ar . (Bir ya da sol anlamına bu alabilir R -modüller veya sağ R -modüller.) Sabit için R Modül A , izin T ( B ) = Hom _R ( A , B için) B olarak R -Mod. (Burada Hom _R ( A , B ) arasında değişmeli grubu olduğu R kadar haritalar -linear A için B , bu bir bir R ' ise Modül R, bir değişmeli ). Bu bir sol tam funktor gelen R' için -Mod Değişmeli kategorisinde Ab grupları ve dolayısıyla sağdan türetilmiş fonktörlere sahip R ⁱ T . Ext grupları, tarafından tanımlanan değişmeli gruplardır.

${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

bir tamsayı için i . Tanım olarak, bu şu anlama gelir: herhangi bir dolaylı çözünürlük al

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots,}$

terimi kaldırmak B ve meydana COCHAIN kompleksi :

${\displaystyle 0\to \operatöradı {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatöradı {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Her i tamsayı için , Ext^ben
_R( A , B ) i konumundaki bu kompleksin kohomolojisidir . i negatif için sıfırdır . Örneğin, Uzm.⁰
_R( A , B ) Hom _R ( A , B ) ile izomorf olan Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ) haritasının çekirdeğidir .

Alternatif bir tanım, sabit bir R- modülü B için G ( A )=Hom _R ( A , B ) işlevini kullanır . Bu bir tersine de bir sol tam funktor olarak görülebilir funktoru, ters kategori ( R -Mod) ^op Ab. Ext grupları, doğru türetilmiş işlevler olarak tanımlanır R ⁱ G :

${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

Yani, herhangi bir projektif çözünürlüğü seçin

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

A terimini kaldırın ve ortak zincir kompleksini oluşturun:

${\displaystyle 0\to \operatöradı {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatöradı {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Sonraki^ben
_R( A , B ) i konumundaki bu kompleksin kohomolojisidir .

Cartan ve Eilenberg, bu yapıların projektif veya injektif çözünürlük seçiminden bağımsız olduğunu ve her iki yapının da aynı Ext gruplarını verdiğini gösterdi. Ayrıca, sabit bir R halkası için Ext, her değişkende bir işlevdir ( A'da karşı değişken , B'de kovaryant ).

Bir değişmeli halka için R ve R modülleri A ve B , Ext^ben
_R( A , B ) bir R modülüdür (bu durumda Hom _R ( A , B ) bir R modülüdür). Değişmeli olmayan bir halka için R , Ext^ben
_R( A , B ) genel olarak sadece bir değişmeli gruptur. Eğer R, bir olan bir halka üzerinde cebir S (yani, özellikle araçlar S değişmeli), ardından Dahili^ben
_R( A , B ) en azından bir S- modülüdür.

Ext'in Özellikleri

İşte Ext gruplarının bazı temel özellikleri ve hesaplamaları.

• Dahili⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) herhangi bir R- modül A ve B için .

• Dahili^ben
  _R( A , B ) = 0, tüm için i > 0 ise R ' Modül A olduğu yansıtmalı (örneğin, serbest ) ya da, eğer B bir birebir .

• Sohbetler ayrıca şunları da içerir:
  • Dahili ise¹
    _R( A , B ) = 0 tüm B için , o zaman A projektiftir (ve dolayısıyla Ext^ben
    _R( A , B ) = 0 tüm i > 0 için).
  • Dahili ise¹
    _R( A , B ) = 0 tüm A için , o zaman B injektiftir (ve dolayısıyla Ext^ben
    _R( A , B ) = 0 tüm i > 0 için).

• ${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$tüm i ≥ 2 ve tüm değişmeli A ve B grupları için .

• Eğer R, bir değişmeli halka ve u olarak R , bir değil, sıfır bölen sonra,

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0& {\text{aksi halde,}}\end{durumlar}}}$

herhangi bir R- modülü B için . Burada B [ u ], B , { x ∈ B : ux = 0}' ın u -burulma alt grubunu belirtir . Alarak Ar halkası olduğu tamsayılar, bu hesaplama hesaplamak için kullanılabilir herhangi sonlu üretilmiş değişmeli grup A .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• Önceki örneği genelleştirirsek, ilk modül herhangi bir düzenli diziyle değişmeli bir halkanın bölümü olduğunda , Koszul kompleksi kullanılarak Ext grupları hesaplanabilir . Örneğin, R, bir polinom halka k [ x ₁ , ..., x _{, n} , bir alan üzerine] k sonra, Dahili^*
  _R( k , k ) Ext ^1'deki k on n üreteçleri üzerinde S dış cebiridir . Ayrıca, Dahili^*
  _S( k , k ) polinom halkası R'dir ; bu Koszul ikiliğinin bir örneğidir .

• Türetilmiş functorların genel özelliklerine göre, Ext için iki temel tam dizi vardır . İlk olarak, kısa bir tam dizi 0 → K → L → M → 0 R modüllerinin uzun bir tam dizisini indükler

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A, M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

herhangi bir R- modülü A için . Ayrıca, kısa bir tam dizi 0 → K → L → M → 0, formun uzun bir tam dizisini indükler

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K, B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

herhangi bir R- modülü B için .

• Dahili alır doğrudan miktarda birinci değişken (muhtemelen sonsuz) ve ürün ürünlere ikinci değişkende. Yani:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\operatöradı {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\sağ)&\cong \prod _{\ alpha }\operatöradı {Dahili} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatöradı {Dahili} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha) }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{hizalı}}}$

• A , değişmeli bir Noetherian halkası R üzerinde sonlu olarak oluşturulmuş bir modül olsun . Sonra ile Dahili yolculukları lokalizasyonu anlamda, her için çarpımsal kapalı bir set S olarak R , her R, Modül B ve her tamsayı i ,

${\displaystyle S^{-1}\operatöradı {Dahili} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatöradı {Dahili} _{S^{-1}R}^{i}\sol (S^{-1}A,S^{-1}B\sağ).}$

Dahili ve uzantılar

Uzantıların denkliği

Ext grupları, adlarını modüllerin uzantılarıyla olan ilişkilerinden alır. Verilen R -modüller A ve B , bir uzantısı A ile B , kısa bir tam dizisidir R -modüller

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

iki uzantı

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

olduğu söylenen eş (uzantıları olarak A ile B bir eğer varsa) değişmeli şeması :

Beş lemmanın orta okun bir izomorfizm olduğunu ima ettiğini unutmayın . A'nın B'ye göre bir uzantısı , önemsiz uzantıya eşdeğerse split olarak adlandırılır.

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Arasında bire bir karşılık bulunmaktadır denklik sınıfları uzantılarının A ile B ve Dahili unsurları¹
_R( A , B ). Önemsiz uzantı, Ext öğesinin sıfır öğesine karşılık gelir.¹
_R( A , B ).

Uzantıların Baer toplamı

Baer toplamı Dahili ile değişmeli grubu yapısının bir açıklaması¹
_R( A , B ), uzantılarının denklik sınıfları kümesi olarak A ile B . Yani, verilen iki uzantı

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

ve

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

İlk oluşturan geri çekilme üzerine , ${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \Gamma =\sol\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\sağ\}.}$

Ardından bölüm modülünü oluşturun

${\displaystyle Y=\Gama /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\B\}.}$

Baer toplamı E ve E ' uzantısıdır

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

ilk haritanın ve ikincinin nerede olduğu . ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

Kadar uzantıların denklik, Baer toplamı değişmelidir ve kimlik unsuru olarak önemsiz bir uzantıya sahip. 0 → B → E → A → 0 uzantısının negatifi , aynı E modülünü içeren uzantıdır , ancak B → E homomorfizmi negatifiyle değiştirilir.

Değişken kategorilerde Ext inşaatı

Nobuo Yoneda , Ext değişmeli gruplarını tanımladıⁿ
_C( A , B ) herhangi bir değişmeli C kategorisindeki A ve B nesneleri için ; bu çözünürlük açısından tanımıyla uyumlu Cı sahip yeterli projektifler veya yeterli injectives . İlk, Dahili ⁰
_C( A , B ) = Ev _C ( A , B ). Sonraki, Dahili¹
_C( A , B ) uzantısı denklik sınıfları dizi A ile B Baer toplamı altında değişmeli grubu meydana getirmektedir,. Son olarak, daha yüksek Ext grupları Extⁿ
_C( A , B ) tam diziler olan n-uzantılarının denklik sınıfları olarak tanımlanır

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

iki uzantıyı tanımlayan ilişki tarafından üretilen eşdeğerlik ilişkisi altında

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{hizalı}}}$

haritalar varsa hepsi için m içinde {1, 2, ..., n } böylece her çıkan kare sırabağımsızdır bir varsa vardır, zincir haritası ξ → ξ' üzerinde kimlik olan A ve B . ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$

İki Baer toplamı n yukarıda -extensions izin oluşturulur olmak geri çekilme arasında ve üzerinde A ve olmak dışarı ittirme arasında ve altında B . O zaman uzantıların Baer toplamı ${\displaystyle X''_{1}}$${\görüntüleme stili X_{1}}$${\displaystyle X'_{1}}$${\displaystyle X''_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{ 2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Türetilmiş kategori ve Yoneda ürünü

Önemli bir nokta, bir değişmeli kategori C'deki Dış grupların , türetilmiş D ( C ) kategorisi olan C ile ilişkili bir kategorideki morfizm kümeleri olarak görülebilmesidir . Türetilmiş kategorinin nesneleri, C'deki nesnelerin kompleksleridir . Spesifik olarak, birinin sahip olduğu

${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatöradı {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i ]),}$

burada C'nin bir nesnesi, sıfır derecesinde konsantre bir kompleks olarak görülür ve [ i ], bir i kompleksini sola kaydırmak anlamına gelir . Bu yorumdan yola çıkarak, bazen Yoneda ürünü olarak adlandırılan bilineer bir harita vardır :

${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatöradı {Dahili} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\ \ operatöradı {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

türetilmiş kategorideki morfizmlerin basitçe bileşimidir.

Yoneda ürünü daha basit terimlerle de tanımlanabilir. İçin i = j = 0 olduğunda, ürün kategorisi haritaların bileşimdir C . Genel olarak ürün, iki Yoneda uzantısının birleştirilmesiyle tanımlanabilir.

Alternatif olarak, Yoneda ürünü çözünürlük açısından tanımlanabilir. (Bu yakın türetilmiş kategori tanımına etmektir.) Örneğin, izin R ' ile, bir halka meydana R -modüller bir , B , C , ve izin P , Q ve T izdüşümsel çözünürlükte olduğu bir , B , C . Sonraki^ben
_R( A , B ) zincir haritalarının zincir homotopi sınıfları grubu P → Q [ i ] ile tanımlanabilir. Yoneda ürünü, zincir haritaları oluşturularak verilir:

${\displaystyle P\to Q[i]\toT[i+j].}$

Bu yorumlardan herhangi biri ile Yoneda ürünü birleştiricidir. Bunun bir sonucu olarak, a, kademeli bir halka herhangi, R, Modül A . Örneğin, bu grup kohomolojisi üzerindeki halka yapısını verir, çünkü bu . Ayrıca Yoneda ürününün ilişkilendirilebilirliği ile: herhangi bir R- modül A ve B için , üzerinde bir modüldür . ${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\ Displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$${\ Displaystyle \ operatör adı {Dahili} _{R}^{*}(A,B)}$${\displaystyle \operatöradı {Dahili} _{R}^{*}(A,A)}$

Önemli özel durumlar

• Grup kohomolojisi ile tanımlanmaktadır burada, G, bir grup olduğu, M a, temsili bir G tamsayılar üzerinde ve bir grubu, halkanın bir G .${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatör adı {Dahili} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Bir k alanı ve bir A - bimodül M üzerindeki bir A cebiri için , Hochschild kohomolojisi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatör adı {Dahili} _{A\otimes _{k}A^{\metin{op}}}^{*}(A,M).}$

• Lie cebri kohomolojisi ile tanımlanır nerede, bir olan Lie cebiri değişmeli bir halka üzerinde k , M bir olduğunu Modül ve bir evrensel zarflama cebir .${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatöradı {Dahili} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• Bir İçin topolojik uzay X , demet kohomolojisi olarak tanımlanabilir Dahili ait değişmeli kategorisinde alınır Burada kasnaklar üzerine abel grup X ve demeti olan lokal sabit -valued fonksiyonlar.${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatöradı {Dahili} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Değişmeli Notherian için yerel halka R Tortu alanı ile k , bir evrensel saran cebir kademeli Lie cebri π * ( R ) üzerinden k olarak bilinen eşyerellik Lie cebir arasında R . (Kesin olmak gerekirse, k karakteristik 2'ye sahip olduğunda , π*( R ) bir "düzeltilmiş Lie cebiri" olarak görülmelidir.) André–Quillen kohomolojisinden D *( k / R) dereceli Lie cebirlerinin doğal bir homomorfizmi vardır. , k ) ila π*( R ), ki bu k karakteristik sıfıra sahipse bir izomorfizmadır .${\ Displaystyle \ operatör adı {Dahili} _{R}^{*}(k,k)}$

Ayrıca bakınız

• küresel boyut
• çubuk çözünürlüğü
• Grothendieck grubu
• Grothendieck yerel ikiliği

Notlar

Referanslar

• Avramov, Luchezar (2010), "Sonsuz serbest çözünürlükler", Değişmeli cebir üzerine altı ders , Birkhäuser , s. 1–108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homolojik cebir , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, MR  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), "Grup uzantıları ve homoloji", Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR  1968966 , MR  0007108
• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Homolojik cebir yöntemleri , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf cebirleri ve türevleri", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Homolojik cebire giriş . İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları. 38 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .
• Weibel, Charles A. (1999), "Homolojik cebir tarihi" (PDF) , Topoloji Tarihi , Amsterdam: North-Holland, s. 797-836, ISBN 9780444823755, MR  1721123