Funcție aditivă - Additive function

În teoria numerelor , unfuncția aditivă este o funcție aritmetică f ( n ) a variabilei întregi pozitive n astfel încât ori de câte ori a și b sunt coprimă , funcția aplicată produsului ab este suma valorilor funcției aplicate lui a și b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Complet aditiv

O funcție aditivă f ( n ) se spune că este complet aditivă dacă f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) este valabilă pentru toate numerele întregi pozitive a și b , chiar și atunci când acestea nu sunt coprimă. Aditivul total este, de asemenea, utilizat în acest sens prin analogie cu funcții total multiplicative . Dacă f este o funcție complet aditivă, atunci f (1) = 0.

Fiecare funcție complet aditivă este aditivă, dar nu invers.

Exemple

Exemple de funcții aritmetice care sunt complet aditive sunt:

• Restricția funcției logaritmice a N .
• Multiplicitate unui prim factor p în n , care este cel mai mare exponent m pentru care p ^m divide n .
• a ₀ ( n ) - suma primilor care împart n multiplicarea numărării, uneori numită sopfr ( n ), potența lui n sau logaritmul întreg al lui n (secvența A001414 din OEIS ). De exemplu:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• Funcția Ω ( n ), definită ca numărul total de factori primi ai lui n , numărând mai mulți factori de mai multe ori, numită uneori „funcția Big Omega” (secvența A001222 din OEIS ). De exemplu;

Ω (1) = 0, deoarece 1 nu are factori primi

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2001) = 3

Ω (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ω (54.032.858.972.279) = 3

Ω (54.032.858.972.302) = 6

Ω (20.802.650.704.327.415) = 7

Exemple de funcții aritmetice care sunt aditive, dar nu complet aditive sunt:

• ω ( n ), definit ca numărul total de factori primi diferiți ai lui n (secvența A001221 din OEIS ). De exemplu:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54.032.858.972.279) = 3

ω (54.032.858.972.302) = 5

ω (20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) - suma primelor distincte care împart n , uneori numită sopf ( n ) (secvența A008472 în OEIS ). De exemplu:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Funcții multiplicative

Din orice funcție aditivă f ( n ) este ușor să creăm o funcție multiplicativă legată g ( n ), adică cu proprietatea că ori de câte ori a și b sunt coprimi avem:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Un astfel de exemplu este g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Funcții rezumative

Având în vedere o funcție aditivă , să fie definită funcția sa rezumativă prin . Media de este dată exact la fel ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha}}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

Funcțiile rezumative pot fi extinse ca și unde ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ displaystyle {\ begin {align} E (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) p ^ {- \ alpha} (1-p ^ {-1}) \\ D ^ {2} (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} | f (p ^ {\ alpha}) | ^ {2} p ^ {- \ alpha}. \ end {align}}}$

Media funcției este exprimată și de aceste funcții ca ${\ displaystyle f ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Există întotdeauna o constantă absolută astfel încât pentru toate numerele naturale , ${\ displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} \ leq C_ {f} \ cdot xD ^ {2} (x).}$

Lăsa

${\ displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \ # \! \ left \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Să presupunem că aceasta este o funcție aditivă astfel încât , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -1 \ leq f (p ^ {\ alpha}) = f (p) \ leq 1}$${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f ^ {2} (p) / p \ rightarrow \ infty.}$

Atunci unde este funcția de distribuție gaussiană${\ displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ displaystyle G (z)}$

${\ displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt. }$

Exemplele acestui rezultat legate de funcția primă omega și de numerele divizorilor primi ai primelor deplasate includ următoarele pentru fix unde relațiile sunt valabile pentru : ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ gg 1}$

${\ displaystyle \ # \ {n \ leq x: \ omega (n) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ displaystyle \ # \ {p \ leq x: \ omega (p + 1) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Vezi si

• Aditivitatea Sigma
• Funcția omega primă
• Funcția multiplicativă
• Funcția aritmetică

Referințe

Lecturi suplimentare