Additivfunktion - Additive function

In der Zahlentheorie ist einadditive Funktion eine arithmetische Funktion f ( n ) der positiv ganzzahligen Variable n , so dass , wenn a und b sind coprime , die Funktion auf das Produkt aufgebracht ab die Summe der Werte der Funktion angewandt wird a und b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Komplett additiv

Eine additive Funktion f ( n ) heißt vollständig additiv, wenn f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) für alle positiven ganzen Zahlen a und b gilt , auch wenn sie nicht teilerfremd sind. Total additiv wird in diesem Sinne auch in Analogie zu total multiplikativen Funktionen verwendet. Wenn f eine vollständig additive Funktion ist, dann ist f (1) = 0.

Jede vollständig additive Funktion ist additiv, aber nicht umgekehrt.

Beispiele

Beispiele für arithmetische Funktionen, die vollständig additiv sind, sind:

• Die Beschränkung der logarithmischen Funktion auf N .
• Die Vielzahl von Anfangs Faktor p in N , das heißt der größte Exponent m , für die p ^m dividieren n .
• a ₀ ( n ) – die Summe der Primzahlen, die n teilen, die Multiplizität zählen, manchmal als sopfr ( n ) bezeichnet, die Potenz von n oder der ganzzahlige Logarithmus von n (Sequenz A001414 im OEIS ). Zum Beispiel:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• Die Funktion Ω( n ), definiert als die Gesamtzahl der Primfaktoren von n , wobei mehrere Faktoren mehrfach gezählt werden, wird manchmal als "Große Omega-Funktion" bezeichnet (Sequenz A001222 im OEIS ). Zum Beispiel;

Ω(1) = 0, da 1 keine Primfaktoren hat

(4) = 2

(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

(20) = Ω(2·2,5) = 3

(27) = Ω(3,3·3) = 3

(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

(2001) = 3

(2002) = 4

(2003) = 1

(54.032.858.972.279) = 3

(54.032.858.972.302) = 6

(20.802.650.704.327.415) = 7

Beispiele für arithmetische Funktionen, die additiv, aber nicht vollständig additiv sind, sind:

• ω( n ), definiert als die Gesamtzahl der verschiedenen Primfaktoren von n (Sequenz A001221 im OEIS ). Zum Beispiel:

(4) = 1

(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

(20) = ω(2 ² · 5) = 2

(27) = ω(3 ³ ) = 1

(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

(2001) = 3

(2002) = 4

(2003) = 1

(54.032.858.972.279) = 3

(54.032.858.972.302) = 5

(20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) – die Summe der verschiedenen Primzahlen, die n teilen , manchmal als sopf( n ) bezeichnet (Sequenz A008472 im OEIS ). Zum Beispiel:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Multiplikative Funktionen

Aus jeder additiven Funktion f ( n ) lässt sich leicht eine zugehörige multiplikative Funktion g ( n ) erzeugen, dh mit der Eigenschaft, dass immer dann, wenn a und b teilerfremd sind, gilt:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Ein solches Beispiel ist g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Zusammenfassende Funktionen

Bei einer gegebenen additiven Funktion sei ihre Summenfunktion definiert durch . Der Durchschnitt von ist genau so gegeben wie ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal{M}}_{f}(x):=\sum_{n\leq x}f(n)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha}\leq x}f(p^{\alpha})\left(\left\lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha}}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$

Die summativen Funktionen über können erweitert werden als wobei ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal{M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}E(x)&=\sum _{p^{\alpha}\leq x}f(p^{\alpha})p^{-\alpha}(1-p^ {-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha}\leq x}|f(p^{\alpha})|^{2}p^{- \alpha}.\end{ausgerichtet}}}$

Der Mittelwert der Funktion wird auch durch diese Funktionen ausgedrückt als ${\displaystyle f^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$

Es gibt immer eine absolute Konstante , so dass für alle natürlichen Zahlen , ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum_{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$

Lassen

${\displaystyle \nu(x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{ B(x)}}\leq z\right\}\!.}$

Angenommen, dies ist eine additive Funktion mit so, dass , ${\displaystyle f}$${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha})=f(p)\leq 1}$${\displaystyle x\rightarrow\infty}$

${\displaystyle B(x)=\sum_{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow\infty.}$

Dann wo ist die Gauß - Verteilungsfunktion${\displaystyle \nu(x;z)\sim G(z)}$${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle G(z)={\frac{1}{\sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty}^{z}e^{-t^{2}/2}dt. }$

Beispiele für dieses Ergebnis, das sich auf die Prim-Omega-Funktion und die Anzahl der Primteiler von verschobenen Primzahlen bezieht, umfassen Folgendes für fest, wobei die Beziehungen für gelten : ${\displaystyle z\in\mathbb{R}}$${\displaystyle x\gg 1}$

${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega(n)-\log\log x\leq z(\log\log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$

${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log\log x\leq z(\log\log x)^{1/2}\}\sim \pi (x) G(z).}$

Siehe auch

• Sigma-Additivität
• Prime Omega-Funktion
• Multiplikative Funktion
• Arithmetische Funktion

Verweise

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