Funkcja addytywna - Additive function

W teorii liczb , anFunkcja dodatek jest arytmetyka funkcja f ( n ) z dodatnią liczbą całkowitą zmiennej n , takich, że gdy i b są względnie pierwsze , funkcję w odniesieniu do produktu AB jest sumą wartości funkcji stosowane do i B :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Całkowicie dodatek

Funkcja addytywna f ( n ) jest uważana za całkowicie addytywną, jeśli f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) obowiązuje dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych a i b , nawet jeśli nie są względnie pierwsze. Całkowicie addytywny jest również używany w tym sensie przez analogię do funkcji całkowicie multiplikatywnych . Jeśli f jest funkcją całkowicie addytywną, to f (1) = 0.

Każda funkcja całkowicie addytywna jest addytywna, ale nie odwrotnie.

Przykłady

Przykładami całkowicie addytywnych funkcji arytmetycznych są:

• Ograniczenie funkcji logarytmicznej do N .
• Wielość z głównego czynnika p w n , które jest największym Wykładnik m , dla których p ^m dzieli n .
• a ₀ ( n ) – suma liczb pierwszych dzieląca krotność zliczania n , czasami nazywana sopfr( n ), potencja n lub logarytm całkowity n (ciąg A001414 w OEIS ). Na przykład:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54 032 858 972 279) = 1240658

a ₀ (54 032 858 972 302) = 1780417

a ₀ (20 802 650 704 327 415) = 1240681

• Funkcja Ω ( n ), określone jako całkowita ilość czynników pierwszych z N , licząc wielu czynników wiele razy, czasami zwana funkcja „Big omega” (sekwencja A001222 w OEIS ). Na przykład;

Ω(1) = 0, ponieważ 1 nie ma czynników pierwszych

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2.2.5) = 3

Ω(27) = Ω(3.3.3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54 032 858 972 279) = 3

Ω(54 032 858 972 302) = 6

Ω(20 802 650 704 327 415) = 7

Przykłady funkcji arytmetycznych, które są addytywne, ale nie całkowicie addytywne, to:

• ω ( n ), określone jako całkowita ilość różnych czynników pierwszych z N (sekwencja A001221 w OEIS ). Na przykład:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54 032 858 972 279) = 3

ω(54 032 858 972 302) = 5

ω(20 802 650 704 327 415) = 5

• a ₁ ( n ) – suma różnych liczb pierwszych dzielących n , czasami nazywanych sopf( n ) (sekwencja A008472 w OEIS ). Na przykład:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54 032 858 972 279) = 1238665

a ₁ (54 032 858 972 302) = 1780410

a ₁ (20 802 650 704 327 415) = 1238677

Funkcje multiplikatywne

Z dowolnej funkcji addytywnej f ( n ) łatwo jest utworzyć powiązaną funkcję multiplikatywną g ( n ) , tj. z taką właściwością, że ilekroć a i b są względnie pierwsze, mamy:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Jednym z takich przykładów jest g ( n ) = ^{2f ( n )} .

Funkcje podsumowujące

Mając funkcję addytywną , niech jej funkcja sumująca będzie zdefiniowana przez . Średnia z jest podana dokładnie jako ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ suma _ {n \ leq x} f (n)}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ suma _ {p ^ {\ alfa} \ leq x} f (p ^ {\ alfa}) \ lewo (\ lewo \ lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$

Funkcje podsumowujące powyżej można rozszerzyć jako gdzie ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E (x) i = \ suma _ {p ^ {\ alfa} \ leq x} f (p ^ {\ alfa}) p ^ {- \ alfa} (1-p ^ {-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha}\leq x}|f(p^{\alpha})|^{2}p^{- \alfa }.\end{wyrównany}}}$

Średnia funkcji jest również wyrażona przez te funkcje jako ${\ Displaystyle f ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Zawsze istnieje stała absolutna taka, że ​​dla wszystkich liczb naturalnych , ${\ Displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} \ leq C_ {f} \ cdot xD ^ {2} (x).}$

Pozwolić

${\ Displaystyle \ nu (x; z): = {\ Frac {1} {x}} \ # \! \ lewo \ {n \ leq x: {\ Frac {f (n)-A (x)} { B(x)}}\leq z\prawo\}\!.}$

Załóżmy, że jest to funkcja addytywna z taką, że , ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle -1 \ leq f (p ^ {\ alfa}) = f (p) \ leq 1}$${\displaystyle x\rightarrow \infty}$

${\ Displaystyle B (x) = \ suma _ {p \ leq x} f ^ {2} (p) / p \ rightarrow \ infty.}$

Wtedy gdzie jest funkcja rozkładu Gaussa${\ Displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ Displaystyle G (z)}$

${\ Displaystyle G (z) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {-t ^ {2}/2} dt. }$

Przykłady tego wyniku związanego z pierwszą funkcją omega i liczbami dzielników pierwszych przesuniętych liczb pierwszych obejmują następujące dla fixed gdzie relacje są dla : ${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {R}}$${\displaystyle x\gg 1}$

${\ Displaystyle \ # \ {n \ leq x: \ omega (n) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim xG (z)}$

${\ Displaystyle \ # \ {p \ leq x: \ omega (p + 1) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim \ pi (x) G(z).}$

Zobacz też

• Addytywność Sigma
• Pierwsza funkcja omega
• Funkcja multiplikatywna
• Funkcja arytmetyczna

Bibliografia

Dalsza lektura