Aditivní funkce - Additive function

V teorii čísel , anaditivní funkce je aritmetická funkce f ( n ) kladné celočíselné proměnné n taková, že kdykoli a a b jsou coprime , funkce aplikovaná na součin ab je součtem hodnot funkce aplikované na a a b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Zcela aditivní

Aditivní funkce f ( n ) je považována za zcela aditivní, pokud platí f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) pro všechna kladná celá čísla a a b , i když nejsou coprime. V tomto smyslu se také používá totálně aditivum analogicky se zcela multiplikativními funkcemi. Pokud f je zcela aditivní funkce, pak f (1) = 0.

Každá zcela aditivní funkce je aditivní, ale ne naopak.

Příklady

Příklady aritmetických funkcí, které jsou zcela aditivní, jsou:

• Omezení na logaritmické funkce na N .
• Multiplicity z primární faktor p v n , která je největší exponent m , pro něž p ^m dělí n .
• a ₀ ( n ) - součet prvočísel dělících n počítající multiplicitu, někdy nazývanou sopfr ( n ), účinnost n nebo celočíselný logaritmus n (sekvence A001414 v OEIS ). Například:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54,032,858,972,279) = 1240658

a ₀ (54,032,858,972,302) = 1780417

a ₀ (20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Funkce Ω ( n ), je definován jako celkový počet primárních faktorů z n , počítání mnoha faktorech vícekrát, někdy nazývá „funkce Velký omega“ (sekvence A001222 v OEIS ). Například;

Ω (1) = 0, protože 1 nemá žádné hlavní faktory

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2001) = 3

Ω (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ω (54 032 858 972 279) = 3

Ω (54 032 858 972 302) = 6

Ω (20 802 650 50 704 327 415) = 7

Příklady aritmetických funkcí, které jsou aditivní, ale nejsou zcela aditivní, jsou:

• ω ( n ), je definován jako celkový počet zřetelných primárních faktorů z n (sekvence A001221 v OEIS ). Například:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54,032,858,972,279) = 3

ω (54 032 858 972 302) = 5

ω (20,802,650,704,327,415) = 5

• a ₁ ( n ) - součet odlišných prvočísel dělících n , někdy nazývaných sopf ( n ) (sekvence A008472 v OEIS ). Například:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54,032,858,972,279) = 1238665

a ₁ (54,032,858,972,302) = 1780410

a ₁ (20,802,650,704,327,415) = 1238677

Multiplikativní funkce

Z jakékoli aditivní funkce f ( n ) je snadné vytvořit související multiplikativní funkci g ( n ), tj. S vlastností, že kdykoli a a b jsou coprime, máme:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Jedním z takových příkladů je g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Souhrnné funkce

Je -li dána aditivní funkce , nechme její součtovou funkci definovat . Průměr je uveden přesně jako ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha}}} \ right \ rfloor -\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

Tyto summatory funkce přes lze rozšířit tak , pokud ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x)+O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} E (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) p^{-\ alpha} (1-p^ {-1}) \\ D^{2} (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} | f (p^{\ alpha}) |^{2} p^{- \ alpha}. \ end {aligned}}}$

Průměr funkce je také vyjádřen těmito funkcemi jako ${\ displaystyle f^{2}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f^{2}} (x) = xE^{2} (x)+O (xD^{2} (x)).}$

Vždy existuje absolutní konstanta taková, že pro všechna přirozená čísla platí , ${\ displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ Displaystyle x \ geq 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) |^{2} \ leq C_ {f} \ cdot xD^{2} (x).}$

Nechat

${\ Displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \#\! \ left \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Předpokládejme, že je přísada funkce se tak, že jako , ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle -1 \ leq f (p^{\ alpha}) = f (p) \ leq 1}$${\ Displaystyle x \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f^{2} (p)/p \ rightarrow \ infty.}$

Poté , kdy je distribuční funkce Gaussian${\ Displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ Displaystyle G (z)}$

${\ Displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{z} e^{-t^{2}/2} dt. }$

Příklady tohoto výsledku souvisejícího s funkcí prime omega a počty hlavních dělitelů posunutých prvočísel zahrnují následující pro pevné, kde vztahy platí pro : ${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x \ gg 1}$

${\ Displaystyle \#\ {n \ leq x: \ omega (n)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ Displaystyle \#\ {p \ leq x: \ omega (p+1)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Viz také

• Aditivita Sigma
• Prime omega funkce
• Multiplikativní funkce
• Aritmetická funkce

Reference

Další čtení