Additieve functie - Additive function

In de getaltheorie is eenfunctie als een rekenkundige functie f ( n ) van de positieve integer variabele n zodanig dat wanneer a en b zijn coprime de functie toegepast op het product ab de som van de waarden van de functie toegepast op a en b :

f ( ab ) = f ( een ) + f ( b ).

volledig additief

Van een additieve functie f ( n ) wordt gezegd dat deze volledig additief is als f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) geldt voor alle positieve gehele getallen a en b , zelfs als ze niet coprime zijn. Totaal additief wordt in deze zin ook gebruikt naar analogie met totaal multiplicatieve functies. Als f een volledig additieve functie is, dan is f (1) = 0.

Elke volledig additieve functie is additief, maar niet omgekeerd.

Voorbeelden

Voorbeelden van rekenkundige functies die volledig additief zijn, zijn:

• De beperking van de logaritmische functie tot N .
• De veelheid van een eerste factor p in n , dat is de grootste exponent m waarvoor p ^m verdeelt n .
• a ₀ ( n ) – de som van priemgetallen die n delen door de multipliciteit te tellen, ook wel sopfr( n ), de potentie van n of de gehele logaritme van n (reeks A001414 in de OEIS ). Bijvoorbeeld:

een ₀ (4) = 2 + 2 = 4

een ₀ (20) = een ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

een ₀ (144) = een ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = een ₀ (2 ⁴ ) + een ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

een ₀ (2000) = een ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = een ₀ (2 ⁴ ) + een ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

een ₀ (2003) = 2003

een ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

een ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

een ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• De functie Ω( n ), gedefinieerd als het totale aantal priemfactoren van n , waarbij meerdere factoren meerdere keren worden geteld, soms de "Big Omega-functie" genoemd (reeks A001222 in de OEIS ). Bijvoorbeeld;

Ω(1) = 0, aangezien 1 geen priemfactoren heeft

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = 3

Ω(54.032.858.972.302) = 6

Ω(20.802.650.704.327.415) = 7

Voorbeelden van rekenkundige functies die additief zijn maar niet volledig additief zijn:

• ω( n ), gedefinieerd als het totale aantal onderscheiden priemfactoren van n (reeks A001221 in de OEIS ). Bijvoorbeeld:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) – de som van de onderscheiden priemgetallen die n delen , soms sopf ( n ) genoemd (reeks A008472 in de OEIS ). Bijvoorbeeld:

een ₁ (1) = 0

een ₁ (4) = 2

een ₁ (20) = 2 + 5 = 7

een ₁ (27) = 3

een ₁ (144) = een ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = een ₁ (2 ⁴ ) + een ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

een ₁ (2000) = een ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = een ₁ (2 ⁴ ) + een ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

een ₁ (2001) = 55

een ₁ (2002) = 33

een ₁ (2003) = 2003

een ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

een ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

een ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Multiplicatieve functies

Van elke additieve functie f ( n ) is het gemakkelijk om een ​​gerelateerde multiplicatieve functie g ( n ) te creëren , dwz met de eigenschap dat wanneer a en b coprime zijn, we hebben:

g ( ab ) = g ( een ) × g ( b ).

Een voorbeeld hiervan is g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Samenvattende functies

Gegeven een additieve functie , laat de summatory functie worden gedefinieerd door . Het gemiddelde van wordt precies gegeven als ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha})\left(\left\lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$

De summatory-functies kunnen worden uitgebreid als waar: ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^ {-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{- \alpha }.\end{uitgelijnd}}}$

Het gemiddelde van de functie wordt ook door deze functies uitgedrukt als ${\displaystyle f^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$

Er is altijd een absolute constante zodat voor alle natuurlijke getallen , ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$

Laten

${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{ B(x)}}\leq z\right\}\!.}$

Stel dat is een additieve functie met zodanig dat als , ${\displaystyle f}$${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha})=f(p)\leq 1}$${\displaystyle x\rightarrow \infty}$

${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty.}$

Dan , waar is de Gauss-verdeling functie${\ Displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt. }$

Voorbeelden van dit resultaat gerelateerd aan de priemgetalfunctie en het aantal priemdelers van verschoven priemgetallen zijn de volgende voor vast waar de relaties gelden voor : ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\gg 1}$

${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$

${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x) G(z).}$

Zie ook

• Sigma additief
• Prime omega-functie
• Multiplicatieve functie
• rekenkundige functie

Referenties

Verder lezen