Katkı işlevi - Additive function

Gelen sayılar teorisi , birtoplama işlevi , pozitif tamsayı değişkeni n'nin f ( n ) aritmetik bir işlevidir , öyle ki, a ve b iki asal olduğunda , ab ürününe uygulanan işlev, a ve b'ye uygulanan işlevin değerlerinin toplamıdır :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Tamamen katkı maddesi

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) tüm pozitif tamsayılar a ve b için , aralarında asal olmadıklarında bile geçerliyse , bir f ( n ) toplama fonksiyonunun tamamen toplamalı olduğu söylenir . Tamamen toplamsal da bu anlamda, tamamen çarpımsal fonksiyonlara benzetilerek kullanılır . Eğer f tamamen katkı maddesi işlevi daha sonra f (1) = 0.

Tamamen toplamsal olan her işlev, toplamsaldır, ancak tersi değildir.

Örnekler

Tamamen toplamsal olan aritmetik fonksiyonlara örnekler:

• Kısıtlanması logaritmik fonksiyonu için N .
• Çokluğu a asal faktörü p de n , o en üssüdür, m için p ^m böler n .
• bir ₀ ( n ) - bölünmesi asal toplamı n sayma çokluğu da adlandırılan sopfr ( n ), gücü , n ya da tam sayı logaritması N (dizi A001414 olarak OEIS ). Örneğin:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

bir ₀ (2003) 2003 =

bir ₀ (54,032,858,972,279) 1240658 =

a ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

bir ₀ (20,802,650,704,327,415) 1240681 =

• İşlev Ω ( n sayısı olarak tanımlanır), ana faktörler arasında n birden faktörlerinin birden çok kez sayma, bazen "Büyük Omega fonksiyonu" (dizi adı A001222 olarak OEIS ). Örneğin;

Ω(1) = 0, çünkü 1'in asal çarpanı yoktur

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = 3

Ω(54.032.858.972.302) = 6

Ω(20,802,650,704,327.415) = 7

Toplamsal olan ancak tamamen toplamsal olmayan aritmetik fonksiyonlara örnekler:

• ω ( n ), farklı toplam sayısı olarak tanımlanan ana faktörler arasında n (dizi A001221 olarak OEIS ). Örneğin:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20,802,650,704,327.415) = 5

• Bir ₁ ( n ) - bölünmesi farklı asal toplamı , n , de denir ÇTB'dedir ( n ) (sekans A008472 olarak OEIS ). Örneğin:

Bir ₁ (1) = 0

Bir ₁ (4) = 2

Bir ₁ (20) = 2 + 5 = 7

Bir ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

Bir ₁ (2001) = 55

Bir ₁ (2002) = 33

Bir ₁ (2003) 2003 =

Bir ₁ (54,032,858,972,279) 1238665 =

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20,802,650,704,327.415) = 1238677

çarpımsal fonksiyonlar

Herhangi bir toplama fonksiyonundan f ( n ) ilgili bir g ( n ) çarpımsal fonksiyonu oluşturmak kolaydır, yani, a ve b ne zaman asal olduklarında sahip olduğumuz özelliği ile:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Böyle bir örnek g ( n )= ^{2f ( n )'dir} .

özet fonksiyonlar

Toplamsal bir işlev verildiğinde , özet işlevinin tarafından tanımlanmasına izin verin . Ortalaması tam olarak şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$

Summatory fonksiyonları üzerinde olarak genişletilebilir nerede ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^ {-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{- \alpha }.\end{hizalanmış}}}$

Fonksiyonun ortalaması da bu fonksiyonlar tarafından şu şekilde ifade edilir: ${\görüntüleme stili f^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$

Her zaman öyle bir mutlak sabit vardır ki, tüm doğal sayılar için , ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$

İzin vermek

${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{\ B(x)}}\leq z\sağ\}\!.}$

Varsayalım ki bir katkı maddesi işlevi olduğu gibi , ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$${\displaystyle x\sağ ok \infty }$

${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$

Sonra nerede olduğunu Gauss dağılımı işlevi${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$${\görüntüleme stili G(z)}$

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt. }$

Asal omega fonksiyonu ve kaydırılmış asal sayıların asal bölenlerinin sayıları ile ilgili bu sonucun örnekleri , ilişkilerin geçerli olduğu yerlerde sabit için aşağıdakileri içerir : ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili x\gg 1}$

${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$

${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x) G(z).}$

Ayrıca bakınız

• Sigma eklenebilirliği
• Asal omega işlevi
• çarpımsal işlev
• aritmetik fonksiyon

Referanslar

daha fazla okuma