Additiv funktion - Additive function

I talteori , entilsætningsstoffunktion er en matematisk funktion f ( n ) af den positive heltal variabel n sådan, at når en og b er indbyrdes primiske , den funktion anvendt på produktet ab er summen af værdierne af funktionen påføres et og b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Helt additiv

En additiv funktion f ( n ) siges at være fuldstændig additiv, hvis f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) holder for alle positive heltal a og b , selv når de ikke er coprime. Helt additiv bruges også i denne forstand analogt med totalt multiplikative funktioner. Hvis f er en fuldstændig additiv funktion, er f (1) = 0.

Hver helt additiv funktion er additiv, men ikke omvendt.

Eksempler

Eksempler på aritmetiske funktioner, der er fuldstændigt additive, er:

• Begrænsningen af den logaritmisk funktion til N .
• Den mangfoldighed af et prime faktor p i n , der er den største eksponent m , for hvilken p ^m kløfter n .
• a ₀ ( n ) - summen af ​​primtal, der deler n tæller mangfoldighed, undertiden kaldet sopfr ( n ), styrken af n eller heltalslogaritmen for n (sekvens A001414 i OEIS ). For eksempel:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

en ₀ (54.032.858.972.279) = 1240658

en ₀ (54.032.858.972.302) = 1780417

en ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• Funktionen Ω ( n ), defineret som det samlede antal primfaktorer for n , der tæller flere faktorer flere gange, undertiden kaldet "Big Omega -funktionen" (sekvens A001222 i OEIS ). For eksempel;

Ω (1) = 0, da 1 ikke har nogen primfaktorer

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2001) = 3

Ω (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ω (54.032.858.972.279) = 3

Ω (54.032.858.972.302) = 6

Ω (20.802.650.704.327.415) = 7

Eksempler på aritmetiske funktioner, der er additive, men ikke helt additive, er:

• ω ( n ), defineret som det samlede antal adskilte primfaktorer for n (sekvens A001221 i OEIS ). For eksempel:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54.032.858.972.279) = 3

ω (54.032.858.972.302) = 5

ω (20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) - summen af ​​de forskellige primtal, der deler n , undertiden kaldet sopf ( n ) (sekvens A008472 i OEIS ). For eksempel:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Multiplikative funktioner

Fra enhver additiv funktion f ( n ) er det let at oprette en relateret multiplikativ funktion g ( n ) dvs. med den egenskab, at når a og b er coprime, har vi:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Et sådant eksempel er g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Summatoriske funktioner

I betragtning af en additiv funktion , lad dens opsummerende funktion defineres af . Gennemsnittet af er givet nøjagtigt som ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha}}} \ right \ rfloor -\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

De summatoriske funktioner over kan udvides som hvor ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x)+O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ displaystyle {\ begin {justeret} E (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) p^{-\ alpha} (1-p^ {-1}) \\ D^{2} (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} | f (p^{\ alpha}) |^{2} p^{- \ alpha}. \ end {align}}}$

Gennemsnittet af funktionen udtrykkes også af disse funktioner som ${\ displaystyle f^{2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f^{2}} (x) = xE^{2} (x)+O (xD^{2} (x)).}$

Der er altid en absolut konstant, så for alle naturlige tal , ${\ displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) |^{2} \ leq C_ {f} \ cdot xD^{2} (x).}$

Lade

${\ displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \#\! \ venstre \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Antag, at det er en additiv funktion med sådan, at som , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -1 \ leq f (p^{\ alpha}) = f (p) \ leq 1}$${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f^{2} (p)/p \ rightarrow \ infty.}$

Så hvor er den gaussiske fordelingsfunktion${\ displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ displaystyle G (z)}$

${\ displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{z} e^{-t^{2}/2} dt. }$

Eksempler på dette resultat relateret til prima -omega -funktionen og antallet af primaldivisorer for forskudte primtal inkluderer følgende for faste, hvor relationerne gælder for : ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ gg 1}$

${\ displaystyle \#\ {n \ leq x: \ omega (n)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ displaystyle \#\ {p \ leq x: \ omega (p+1)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Se også

• Sigma additivitet
• Prime omega -funktion
• Multiplikativ funktion
• Aritmetisk funktion

Referencer

Yderligere læsning