Función aditiva - Additive function

En teoría de números , unfunción de aditivo es una función aritmética f ( n ) de la positivo número entero variable de n de tal manera que cada vez que un y b son primos entre sí , la función de aplicar al producto ab es la suma de los valores de la función aplicada a una y b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Completamente aditivo

Una función aditiva f ( n ) se dice que es completamente aditivo si f ( ab ) = f ( un ) + f ( b ) se cumple para todos los números enteros positivos a y b , incluso cuando no son primos entre sí. Totalmente aditivo también se usa en este sentido por analogía con funciones totalmente multiplicativas . Si f es una función completamente aditiva, entonces f (1) = 0.

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no al revés.

Ejemplos de

Ejemplos de funciones aritméticas que son completamente aditivas son:

• La restricción de la función logarítmica a N .
• La multiplicidad de un primer factor de p en n , que es el mayor exponente m para la que p ^m divide n .
• a ₀ ( n ) - la suma de los números primos que dividen n contando multiplicidad, a veces llamado sopfr ( n ), la potencia de n o el logaritmo entero de n (secuencia A001414 en el OEIS ). Por ejemplo:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

una ₀ (20) = una ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

una ₀ (144) = una ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = una ₀ (2 ⁴ ) + una ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

una ₀ (2000) = una ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = una ₀ (2 ⁴ ) + una ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54,032,858,972,279) = 1240658

a ₀ (54,032,858,972,302) = 1780417

a ₀ (20.802.650.704.327.415) = 1240681

• La función Ω ( n ), definida como el número total de factores primos de n , contando múltiples factores varias veces, a veces se denomina "función Gran Omega" (secuencia A001222 en la OEIS ). Por ejemplo;

Ω (1) = 0, ya que 1 no tiene factores primos

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2001) = 3

Ω (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ω (54,032,858,972,279) = 3

Ω (54.032.858.972.302) = 6

Ω (20.802.650.704.327.415) = 7

Ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas pero no completamente aditivas son:

• ω ( n ), definido como el número total de factores primos distintos de n (secuencia A001221 en la OEIS ). Por ejemplo:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54.032.858.972.279) = 3

ω (54.032.858.972.302) = 5

ω (20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ): la suma de los primos distintos que dividen n , a veces llamado sopf ( n ) (secuencia A008472 en la OEIS ). Por ejemplo:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

una ₁ (144) = una ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = una ₁ (2 ⁴ ) + una ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

una ₁ (2000) = una ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = una ₁ (2 ⁴ ) + una ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Funciones multiplicativas

Desde cualquier función aditiva f ( n ) es fácil crear una relacionada función multiplicativa g ( n ) es decir, con la propiedad de que cada vez que un y b son primos entre sí tenemos:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Un ejemplo de ello es g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Funciones sumatorias

Dada una función aditiva , deje que su función sumatoria sea definida por . El promedio de se da exactamente como ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha}}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {x} {p ^ {\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

Las funciones sumatorias sobre se pueden expandir como donde ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x) + O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} E (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} f (p ^ {\ alpha}) p ^ {- \ alpha} (1-p ^ {-1}) \\ D ^ {2} (x) & = \ sum _ {p ^ {\ alpha} \ leq x} | f (p ^ {\ alpha}) | ^ {2} p ^ {- \ alpha}. \ end {alineado}}}$

El promedio de la función también se expresa mediante estas funciones como ${\ Displaystyle f ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f ^ {2}} (x) = xE ^ {2} (x) + O (xD ^ {2} (x)).}$

Siempre hay una constante absoluta tal que para todos los números naturales , ${\ Displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ Displaystyle x \ geq 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) | ^ {2} \ leq C_ {f} \ cdot xD ^ {2} (x).}$

Dejar

${\ Displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \ # \! \ left \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Supongamos que es una función aditiva con tal que , ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle -1 \ leq f (p ^ {\ alpha}) = f (p) \ leq 1}$${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f ^ {2} (p) / p \ rightarrow \ infty.}$

Entonces, ¿ dónde está la función de distribución gaussiana?${\ Displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ Displaystyle G (z)}$

${\ Displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt. }$

Ejemplos de este resultado relacionado con la función omega prima y el número de divisores primos de primos desplazados incluyen lo siguiente para fijo donde las relaciones son válidas para : ${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x \ gg 1}$

${\ Displaystyle \ # \ {n \ leq x: \ omega (n) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ Displaystyle \ # \ {p \ leq x: \ omega (p + 1) - \ log \ log x \ leq z (\ log \ log x) ^ {1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Ver también

• Aditividad Sigma
• Función omega principal
• Función multiplicativa
• Función aritmética

Referencias

Otras lecturas