Additiv funksjon - Additive function

I tallteori , enadditiv funksjon er en aritmetisk funksjon f ( n ) av det positive heltallet variabelen n slik at når en , og b er coprime , den funksjon som er tilpasset produktet ab er summen av verdiene av funksjonen brukt til en og b :

f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).

Helt tilsetningsstoff

En additiv funksjon f ( n ) sies å være fullstendig additiv hvis f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) holder for alle positive heltall a og b , selv når de ikke er coprime. Helt additiv brukes også i denne forstand analogt med totalt multiplikative funksjoner. Hvis f er en helt additiv funksjon, er f (1) = 0.

Hver helt additiv funksjon er additiv, men ikke omvendt.

Eksempler

Eksempler på aritmetiske funksjoner som er fullstendig additive er:

• Begrensningen av den logaritmiske funksjon til N .
• Den mangfoldighet av et primfaktor p i n , er at den største eksponenten m hvor p ^m skille n .
• a ₀ ( n ) - summen av primtall som deler n teller multiplisitet, noen ganger kalt sopfr ( n ), styrken til n eller heltalllogaritmen til n (sekvens A001414 i OEIS ). For eksempel:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54,032,858,972,279) = 1240658

a ₀ (54,032,858,972,302) = 1780417

a ₀ (20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Funksjonen Ω ( n ), definert som det totale antallet primfaktorer for n , som teller flere faktorer flere ganger, noen ganger kalt "Big Omega -funksjonen" (sekvens A001222 i OEIS ). For eksempel;

Ω (1) = 0, siden 1 ikke har noen primfaktorer

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ω (144) = Ω (2 ⁴ · 3 ² ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω (2000) = Ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω (2 ⁴ ) + Ω (5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω (2001) = 3

Ω (2002) = 4

Ω (2003) = 1

Ω (54.032.858.972.279) = 3

Ω (54.032.858.972.302) = 6

Ω (20.802.650.704.327.415) = 7

Eksempler på aritmetiske funksjoner som er additive, men ikke helt additive, er:

• ω ( n ), definert som det totale antallet distinkte primfaktorer for n (sekvens A001221 i OEIS ). For eksempel:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2 ⁴ ) = 1

ω (20) = ω (2 ² · 5) = 2

ω (27) = ω (3 ³ ) = 1

ω (144) = ω (2 ⁴ · 3 ² ) = ω (2 ⁴ ) + ω (3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 ⁴ · 5 ³ ) = ω (2 ⁴ ) + ω (5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54.032.858.972.279) = 3

ω (54.032.858.972.302) = 5

ω (20.802.650.704.327.415) = 5

• a ₁ ( n ) - summen av de forskjellige primtalene som deler n , noen ganger kalt sopf ( n ) (sekvens A008472 i OEIS ). For eksempel:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.858.972.302) = 1780410

a ₁ (20.802.650.704.327.415) = 1238677

Multiplikative funksjoner

Fra hvilken som helst additivfunksjon f ( n ) er det enkelt å lage en relatert multiplikativ funksjon g ( n ) dvs. med egenskapen at når a og b er coprime har vi:

g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).

Et slikt eksempel er g ( n ) = 2 ^{f ( n )} .

Summatoriske funksjoner

Gitt en additiv funksjon , la den summative funksjonen være definert av . Gjennomsnittet av er gitt nøyaktig som ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x): = \ sum _ {n \ leq x} f (n)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) \ left (\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha}}} \ right \ rfloor -\ left \ lfloor {\ frac {x} {p^{\ alpha +1}}} \ right \ rfloor \ right).}$

De summative funksjonene over kan utvides som hvor ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (x) = xE (x)+O ({\ sqrt {x}} \ cdot D (x))}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} E (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} f (p^{\ alpha}) p^{-\ alpha} (1-p^ {-1}) \\ D^{2} (x) & = \ sum _ {p^{\ alpha} \ leq x} | f (p^{\ alpha}) |^{2} p^{- \ alpha}. \ end {align}}}$

Gjennomsnittet av funksjonen uttrykkes også av disse funksjonene som ${\ displaystyle f^{2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f^{2}} (x) = xE^{2} (x)+O (xD^{2} (x)).}$

Det er alltid en absolutt konstant slik at for alle naturlige tall , ${\ displaystyle C_ {f}> 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -E (x) |^{2} \ leq C_ {f} \ cdot xD^{2} (x).}$

La

${\ displaystyle \ nu (x; z): = {\ frac {1} {x}} \#\! \ venstre \ {n \ leq x: {\ frac {f (n) -A (x)} { B (x)}} \ leq z \ right \} \ !.}$

Anta at det er en additiv funksjon med slik som , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -1 \ leq f (p^{\ alpha}) = f (p) \ leq 1}$${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle B (x) = \ sum _ {p \ leq x} f^{2} (p)/p \ rightarrow \ infty.}$

Så hvor er den gaussiske fordelingsfunksjonen${\ displaystyle \ nu (x; z) \ sim G (z)}$${\ displaystyle G (z)}$

${\ displaystyle G (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{z} e^{-t^{2}/2} dt. }$

Eksempler på dette resultatet knyttet til prima -omega -funksjonen og antall prim -divisorer for skiftede primtaler inkluderer følgende for faste der relasjonene gjelder : ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ gg 1}$

${\ displaystyle \#\ {n \ leq x: \ omega (n)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim xG (z),}$

${\ displaystyle \#\ {p \ leq x: \ omega (p+1)-\ log \ log x \ leq z (\ log \ log x)^{1/2} \} \ sim \ pi (x) G (z).}$

Se også

• Sigma -additivitet
• Prime omega -funksjon
• Multiplikativ funksjon
• Aritmetisk funksjon

Referanser

Videre lesning