Funcția aritmetică - Arithmetic function

În teoria numerelor , o funcție aritmetică , aritmetică sau teoretică a numărului este pentru majoritatea autorilor orice funcție f ( n ) al cărei domeniu este numărul întreg pozitiv și a cărui gamă este un subset al numerelor complexe . Hardy & Wright includ în definiția lor cerința că o funcție aritmetică „exprimă o anumită proprietate aritmetică a lui n ”.

Un exemplu de funcție aritmetică este funcția divizor a cărei valoare la un întreg pozitiv n este egală cu numărul divizorilor lui n .

Există o clasă mai mare de funcții teoretice ale numărului care nu se potrivesc definiției de mai sus, de exemplu, funcțiile de numărare primă . Acest articol oferă legături către funcțiile ambelor clase.

Funcțiile aritmetice sunt adesea extrem de neregulate (vezi tabelul ), dar unele dintre ele au expansiuni seriale în ceea ce privește suma lui Ramanujan .

Funcții multiplicative și aditive

O funcție aritmetică a este

• complet aditiv dacă a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) pentru toate numerele naturale m și n ;
• complet multiplicativ dacă a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) pentru toate numerele naturale m și n ;

Două numere întregi m și n se numesc coprimă dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1, adică dacă nu există un număr prim care să le împartă pe amândouă.

Atunci o funcție aritmetică a este

• aditiv dacă a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) pentru toate numerele naturale coprimă m și n ;
• multiplicativ dacă a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) pentru toate numerele naturale coprimă m și n .

Notaţie

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p)}$   și     înseamnă că suma sau produsul este peste toate numerele prime : ${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p) = f (2) + f (3) + f (5) + \ cdots}$

${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

În mod similar,     și     înseamnă că suma sau produsul este peste toate puterile prime cu exponent strict pozitiv (deci k = 0 nu este inclus): ${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$

${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k}) = \ sum _ {p} \ sum _ {k> 0} f (p ^ {k}) = f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (7) + f (8) + f (9) + \ cdots}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} f (d)}$   și     înseamnă că suma sau produsul este peste toți divizorii pozitivi ai lui n , inclusiv 1 și n . De exemplu, dacă n = 12, ${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). \}$

Notațiile pot fi combinate:     și     înseamnă că suma sau produsul este peste toți divizorii primi ai lui n . De exemplu, dacă n = 18, ${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid n} f (p)}$${\ displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid 18} f (p) = f (2) + f (3), \}$

și în mod similar     și     înseamnă că suma sau produsul este peste toate puterile prime care împart n . De exemplu, dacă n = 24, ${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid 24} f (p ^ {k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - descompunerea puterii prime

Teorema fundamentală a aritmetice prevede că orice număr întreg pozitiv n poate fi reprezentat în mod unic ca produs de puteri de amorse:     unde p ₁ < p ₂ <... < p _k sunt numere prime și un _j sunt numere întregi pozitive. (1 este dat de produsul gol.) ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$

Este adesea convenabil să scrieți acest lucru ca un produs infinit peste toate primele, unde toate, cu excepția unui număr finit, au un exponent zero. Definiți evaluarea p -adic ν _p ( n ) pentru a fi exponentul celei mai mari puteri a primului p care împarte n . Adică, dacă p este unul dintre p _i atunci ν _p ( n ) = a _i , altfel este zero. Atunci

${\ displaystyle n = \ prod _ {p} p ^ {\ nu _ {p} (n)}.}$

În termeni de mai sus, funcțiile omega prime ω și Ω sunt definite de

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Pentru a evita repetarea, ori de câte ori este posibilă formulele pentru funcțiile enumerate în acest articol sunt date în termeni de n și p _i , a _i , ω și Ω corespunzătoare.

Funcții multiplicative

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - sume divizor

σ _k ( n ) este sumaputerilor k ale divizorilor pozitivi ai lui n , inclusiv 1 și n , unde k este un număr complex.

σ ₁ ( n ) , suma divizorilor (pozitivi) a lui n , este de obicei notată cu σ ( n ) .

Deoarece un număr pozitiv la puterea zero este unul, σ ₀ ( n ) este deci numărul divizorilor (pozitivi) ai lui n ; este de obicei notat cu d ( n ) sau τ ( n ) (pentru Teiler german = divizori).

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) k} - 1} {p_ {i} ^ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ left (1 + p_ {i} ^ {k} + p_ {i} ^ {2k} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} k} \ right).}$

Setarea k = 0 în al doilea produs dă

${\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) \ cdots (1 + a _ {\ omega (n)}).}$

φ ( n ) - funcția Euler totient

φ ( n ) , funcția totient Euler, este numărul de numere întregi pozitive care nu este mai mare decât n care sunt coprimă la n .

${\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} - 1} {p _ {\ omega (n)}}} \ right).}$

J _k ( n ) - funcția totient Jordan

J _k ( n ) , funcția Jordan totient, este numărul de k- tuple ale unor numere întregi pozitive, toate mai mici sau egale cu n, care formează o coprimă ( k + 1) -tuple împreună cu n . Este o generalizare a totientului lui Euler, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} \ prod _ {p \ mid n} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {k}}} \ right) = n ^ {k} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {k} -1} {p_ {1} ^ {k}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} ^ {k} -1} {p_ {2} ^ {k}}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} ^ {k} -1} {p _ {\ omega (n)} ^ {k}}} \ right).}$

μ ( n ) - funcția Möbius

μ ( n ) , funcția Möbius, este importantă datorităformulei de inversare Möbius . A se vedea convoluția Dirichlet , mai jos.

${\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {cases} (- 1) ^ {\ omega (n)} = (- 1) ^ {\ Omega (n)} & {\ text {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ text {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {cases}}}$

Aceasta implică faptul că μ (1) = 1. (Deoarece Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - funcția Ramanujan tau

τ ( n ) , funcția Ramanujan tau, este definită deidentitatea funcției sale generatoare :

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ {n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24}.}$

Deși este greu de spus exact ce „proprietate aritmetică a lui n ” exprimă „, ( τ ( n ) este (2π) ⁻¹² ori coeficientul n Fourier în expansiunea q a funcției discriminante modulare ) este inclus printre funcțiile aritmetice deoarece este multiplicativă și apare în identități care implică anumite funcții σ _k ( n ) și r _k ( n ) (deoarece acestea sunt și coeficienți în expansiunea formelor modulare ).

c _q ( n ) - suma lui Ramanujan

c _q ( n ) , suma lui Ramanujan, este sumanlea puterile primitiveqlearădăcini de unitate:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e ^ {2 \ pi i {\ tfrac {a } {q}} n}.}$

Chiar dacă este definit ca o sumă de numere complexe (irațional pentru majoritatea valorilor lui q ), este un număr întreg. Pentru o valoare fixă ​​de n este multiplicativă în q :

Dacă q și r sunt coprimă , atunci${\ displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - Funcția psi Dedekind

Funcția psi Dedekind , utilizată în teoria funcțiilor modulare , este definită prin formula

${\ displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} \ right).}$

Funcții complet multiplicative

λ ( n ) - funcția Liouville

λ ( n ) , funcția Liouville, este definită de

${\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) - caractere

Toate caracterele Dirichlet χ ( n ) sunt complet multiplicative. Două personaje au notații speciale:

Caracterul principal (mod n ) este notat cu χ ₀ ( a ) (sau χ ₁ ( a )). Este definit ca

${\ displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1, \\ 0 & {\ text {if}} \ gcd ( a, n) \ neq 1. \ end {cases}}}$

Caracterul pătratic (mod n ) este notat cu simbolul Jacobi pentru n impar (nu este definit pentru n par ):

${\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {a_ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ right) ^ {a_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ right ) ^ {a _ {\ omega (n)}}.}$

În această formulă este simbolul Legendre , definit pentru toate numerele întregi a și toate primele impare p prin ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} }, \\ + 1 & {\ text {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {și pentru un număr întreg}} x, \; a \ equiv x ^ {2} {\ pmod {p}} \\ - 1 & {\ text {dacă nu există astfel}} x. \ end {cases}}}$

Urmând convenția normală pentru produsul gol, ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Funcții aditive

ω ( n ) - divizori primi distincti

ω ( n ) , definit mai sus ca numărul de numere prime distincte care împart n , este aditiv (a se vedea funcția Prime omega ).

Funcții complet aditive

Ω ( n ) - divizori primi

Ω ( n ) , definit mai sus ca număr de factori primi ai lui n, numărați cu multiplicități, este complet aditiv (a se vedea funcția omega primă).

ν _p ( n ) - evaluarea p -adică a unui număr întreg n

Pentru un p prim fix , ν _p ( n ) , definit mai sus ca exponent al celei mai mari puteri a p care împarte n , este complet aditiv.

Nici multiplicativ, nici aditiv

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x ) - funcții de numărare primă

Aceste funcții importante (care nu sunt funcții aritmetice) sunt definite pentru argumente reale non-negative și sunt utilizate în diferitele enunțuri și dovezi ale teoremei numărului prim . Acestea sunt funcții de însumare (a se vedea secțiunea principală de mai jos) ale funcțiilor aritmetice care nu sunt nici multiplicative, nici aditive.

π ( x ) , funcția de numărare primă, este numărul primilor care nu depășescx. Este funcția de însumare a funcțieicaracteristicea numerelor prime.

${\ displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {p \ leq x} 1}$

O funcție înrudită contează puteri prime cu greutatea 1 pentru primele, 1/2 pentru pătratele lor, 1/3 pentru cuburi, ... Este funcția de însumare a funcției aritmetice care ia valoarea 1 / k pe numerele întregi care sunt k -a puterea unui număr prim și valoarea 0 pe alte numere întregi.

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} {\ frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) și ψ ( x ), funcțiile Chebyshev, sunt definite ca sume ale logaritmilor naturali ai primilor care nu depășescx.

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p,}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p.}$

Funcția Chebyshev ψ ( x ) este funcția de însumare a funcției von Mangoldt chiar mai jos.

Λ ( n ) - funcția von Mangoldt

Λ ( n ) , funcția von Mangoldt, este 0, cu excepția cazului în care argumentul n este o putere primă p ^k , caz în care este jurnalul natural al primei p :

${\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ log p & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ ldots = p ^ {k} {\ text {este o putere principală}} \\ 0 & {\ text {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, \ dots \; \ ; \; \; {\ text {nu este o putere principală}}. \ end {cases}}}$

p ( n ) - funcție de partiție

p ( n ) , funcția de partiție, este numărul de moduri de a reprezentanca o sumă de numere întregi pozitive, unde două reprezentări cu aceleași sumandi într-o ordine diferită nu sunt considerate ca fiind diferite:

${\ displaystyle p (n) = | \ left \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {k} \ right \} |.}$

λ ( n ) - funcția Carmichael

λ ( n ) , funcția Carmichael, este cel mai mic număr pozitiv astfel încât   pentru toateocoprimă lan. În mod echivalent, este cel maimic multiplu comunal ordinilor elementelorgrupului multiplicativ de numere întregi modulo n . ${\ displaystyle a ^ {\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

Pentru puterile primelor impare și pentru 2 și 4, λ ( n ) este egal cu funcția totient Euler a lui n ; pentru puteri de 2 mai mari decât 4 este egal cu o jumătate din funcția totient Euler a lui n :

${\ displaystyle \ lambda (n) = {\ begin {cases} \; \; \ phi (n) & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27, \ dots \\ {\ tfrac {1} {2}} \ phi (n) & {\ text {if}} n = 8,16,32,64, \ dots \ sfârșit {cazuri}}}$

iar pentru generalul n este cel mai mic multiplu comun al lui λ din fiecare dintre factorii primi de putere ai lui n :

${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} \ dots p _ {\ omega (n)} ^ {a _ {\ omega (n)}}) = \ operatorname {lcm} [\ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}}), \; \ lambda (p_ {2} ^ {a_ {2}}), \ dots, \ lambda (p _ {\ omega (n)} ^ {a _ {\ omega (n)}})].}$

h ( n ) - numărul clasei

h ( n ) , funcția numărului clasei, este ordineagrupului de clase idealal unei extensii algebrice a raționalelor cundiscriminant . Notarea este ambiguă, deoarece există în general multe extensii cu același discriminant. A se vedeacâmpul pătraticșicâmpulciclotomicpentru exemple clasice.

r _k ( n ) - Suma de k pătrate

r _k ( n ) este numărul de moduri în carenpoate fi reprezentat ca suma akpătrate, unde reprezentările care diferă numai în ordinea sumandurilor sau în semnele rădăcinilor pătrate sunt considerate diferite.

${\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {k} ^ {2} \} |}$

D ( n ) - Derivată aritmetică

Folosind notația Heaviside pentru derivată, D ( n ) este o funcție astfel încât

${\ displaystyle D (n) = 1}$dacă n prime și

${\ displaystyle D (mn) = mD (n) + D (m) n}$( Regula produsului )

Funcții de însumare

Având în vedere o funcție aritmetică a ( n ), funcția sa de însumare A ( x ) este definită de

${\ displaystyle A (x): = \ sum _ {n \ leq x} a (n).}$

A poate fi privită ca o funcție a unei variabile reale. Dat fiind un număr întreg pozitiv m , A este constant de-a lungul intervalelor deschise m < x < m + 1 și are o discontinuitate de salt la fiecare număr întreg pentru care a ( m ) ≠ 0.

Deoarece astfel de funcții sunt adesea reprezentate de serii și integrale, pentru a obține convergența punctuală, este obișnuit să se definească valoarea la discontinuități ca medie a valorilor la stânga și la dreapta:

${\ displaystyle A_ {0} (m): = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n <m} a (n) + \ sum _ {n \ leq m} a (n ) \ right) = A (m) - {\ frac {1} {2}} a (m).}$

Valorile individuale ale funcțiilor aritmetice pot fluctua enorm - ca în majoritatea exemplelor de mai sus. Funcțiile de însumare „netezesc” aceste fluctuații. În unele cazuri, este posibil să se găsească un comportament asimptotic pentru funcția de însumare pentru x mare .

Un exemplu clasic al acestui fenomen este dat de funcția de însumare a divizorului , funcția de însumare a lui d ( n ), numărul de divizori ai lui n :

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ log 2}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d (1) + d (2) + \ cdots + d (n)} {\ log (1) + \ log (2) + \ cdots + \ log (n)}} = 1.}$

O ordine medie a unei funcții aritmetice este o funcție mai simplă sau mai bine înțeleasă, care are aceeași funcție de însumare asimptotic și, prin urmare, ia aceleași valori „în medie”. Spunem că g este o ordine medie de f dacă

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} f (n) \ sim \ sum _ {n \ leq x} g (n)}$

pe măsură ce x tinde spre infinit. Exemplul de mai sus arată că d ( n ) are jurnalul mediu de ordine ( n ).

Convoluție Dirichlet

Având o funcție aritmetică a ( n ), fie F _a ( s ), pentru complexul s , funcția definită de seria Dirichlet corespunzătoare (unde converge ):

${\ displaystyle F_ {a} (s): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}.}$

F _a ( i ) se numește o funcție de generare a unui ( n ). Cea mai simplă astfel de serie, care corespunde funcției constante a ( n ) = 1 pentru toate n , este ς ( s ) funcția Riemann zeta .

Funcția generatoare a funcției Möbius este inversa funcției zeta:

${\ displaystyle \ zeta (s) \, \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = 1, \; \; {\ mathfrak {R}} \, s> 0.}$

Luați în considerare două funcții aritmetice a și b și funcțiile lor de generare respective F _a ( s ) și F _b ( s ). Produsul F _a ( s ) F _b ( s ) poate fi calculat după cum urmează:

${\ displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (m)} {m ^ {s}} } \ right) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {b (n)} {n ^ {s}}} \ right).}$

Este un exercițiu simplu pentru a arăta că dacă c ( n ) este definit de

${\ displaystyle c (n): = \ sum _ {ij = n} a (i) b (j) = \ sum _ {i \ mid n} a (i) b \ left ({\ frac {n} { i}} \ dreapta),}$

atunci

${\ displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (s).}$

Această funcție c este numită convoluției Dirichlet a unei și b , și se notează cu . ${\ displaystyle a * b}$

Un caz deosebit de important este convoluția cu funcția constantă a ( n ) = 1 pentru toate n , corespunzătoare înmulțirii funcției generatoare cu funcția zeta:

${\ displaystyle g (n) = \ sum _ {d \ mid n} f (d).}$

Înmulțirea cu inversul funcției zeta dă formula de inversare Möbius :

${\ displaystyle f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Dacă f este multiplicativ, atunci și g . Dacă f este complet multiplicativ, atunci g este multiplicativ, dar poate fi sau nu complet multiplicativ.

Relațiile dintre funcții

Există o mulțime de formule care leagă funcțiile aritmetice între ele și cu funcțiile de analiză, în special puterile, rădăcinile și funcțiile exponențiale și log. Identitatea sumelor divizorului de pagină conține multe exemple mai generalizate și conexe de identități care implică funcții aritmetice.

Iată câteva exemple:

Convoluții Dirichlet

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) | \ mu (\ delta) | = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 1 \\ 0 & {\ text {if}} n \ neq 1 \ end {cases}}}$     unde λ este funcția Liouville.

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ displaystyle \ varphi (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta = n \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta}}.}$       Inversia Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n ^ {k}.}$      

${\ displaystyle J_ {k} (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta ^ {k} = n ^ { k} \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta ^ {k}}}.}$       Inversia Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ delta ^ {s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = J_ {r + s} (n)}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = \ sigma (n).}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2 ^ {\ omega (n)}.}$      

${\ displaystyle | \ mu (n) | = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2 ^ {\ omega (\ delta)} .}$       Inversia Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d (n ^ {2}).}$      

${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d (\ delta ^ {2} ).}$       Inversia Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^ {2}) = d ^ {2} (n).}$      

${\ displaystyle d (n ^ {2}) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d ^ {2} (\ delta) .}$       Inversia Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d ^ {2} (n) .}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta) = {\ begin {cases} & 1 {\ text {if}} n {\ text {is a square}} \\ & 0 {\ text {if}} n {\ text {nu este pătrat.}} \ end {cases}}}$     unde λ este funcția Liouville .

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ displaystyle \ Lambda (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ log (\ delta).}$       Inversia Möbius

Sume de pătrate

Pentru toate     ( teorema celor patru pătrate a lui Lagrange ). ${\ displaystyle k \ geq 4, \; \; \; r_ {k} (n)> 0.}$

${\ displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ sum _ {d \ mid n} \ left ({\ frac {-4} {d}} \ right),}$

unde simbolul Kronecker are valorile

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right) = {\ begin {cases} +1 și {\ text {if}} n \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\ - 1 & {\ text {if}} n \ equiv 3 {\ pmod {4}} \\\; \; \; 0 & {\ text {if}} n {\ text {is even}}. \\\ end { cazuri}}}$

Există o formulă pentru r ₃ în secțiunea privind numerele clasei de mai jos.

${\ displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2 + (- 1) ^ {n}) \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d = {\ begin {cases} 8 \ sigma (n) & {\ text {if}} n {\ text { este ciudat}} \\ 24 \ sigma \ left ({\ frac {n} {2 ^ {\ nu}}} \ right) și {\ text {if}} n {\ text {is even}} \ end { cazuri}},}$    

unde ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ displaystyle r_ {6} (n) = 16 \ sum _ {d \ mid n} \ chi \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) d ^ {2} -4 \ sum _ { d \ mid n} \ chi (d) d ^ {2},}$

Unde ${\ displaystyle \ chi (n) = \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right).}$

Definiți funcția σ _k ^* ( n ) ca

${\ displaystyle \ sigma _ {k} ^ {*} (n) = (- 1) ^ {n} \ sum _ {d \ mid n} (- 1) ^ {d} d ^ {k} = {\ begin {cases} \ sum _ {d \ mid n} d ^ {k} = \ sigma _ {k} (n) & {\ text {if}} n {\ text {is odd}} \\\ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ mid \, d}} d ^ {k} - \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d ^ {k} & {\ text {if}} n {\ text {este chiar}}. \ end {cases}}}$

Adică, dacă n este impar, σ _k ^* ( n ) este suma puterilor k a divizorilor lui n , adică σ _k ( n ), iar dacă n este egal este suma lui k th puterile divizorilor pari ai lui n minus suma puterilor k ale divizorilor impari ai lui n .

${\ displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3} ^ {*} (n).}$    

Adoptați convenția că τ ( x ) lui Ramanujan = 0 dacă x nu este un număr întreg.

${\ displaystyle r_ {24} (n) = {\ frac {16} {691}} \ sigma _ {11} ^ {*} (n) + {\ frac {128} {691}} \ left \ {( -1) ^ {n-1} 259 \ tau (n) -512 \ tau \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) \ right \}}$    

Convoluții sumelor divizoare

Aici "convoluție" nu înseamnă "convoluție Dirichlet", ci se referă la formula pentru coeficienții produsului a două serii de putere :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n } x ^ {n} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {i} b_ {j} x ^ {i + j } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n}.}$

Secvența se numește convoluție sau produsul Cauchy al secvențelor a _n și b _n . Aceste formule pot fi dovedite analitic (vezi seria Eisenstein ) sau prin metode elementare. ${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ frac {1} {5}} \ left \ {6n \ sigma _ {1} (n) - \ sigma _ {1} (n) +12 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {1} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ frac {1} {21}} \ left \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n) + \ sigma _ {1} ( n) +240 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {3} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {7} (n) & = {\ frac {1} {20}} \ left \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n) - \ sigma _ {1} (n) +504 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \} \\ & = \ sigma _ {3} (n) +120 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {3} (nk). \ End {align}}}$    

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {9} (n) & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n) + \ sigma _ {1} (n) +480 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {7} (nk) \ right \} \\ & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {21 \ sigma _ {5} (n) -10 \ sigma _ {3} (n) +5040 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \}. \ end {align}}}$    

${\ displaystyle \ tau (n) = {\ frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n) + {\ frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n) - { \ frac {691} {3}} \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {5} (k) \ sigma _ {5} (nk),}$     unde τ ( n ) este funcția lui Ramanujan.    

Deoarece σ _k ( n ) (pentru numărul natural k ) și τ ( n ) sunt numere întregi, formulele de mai sus pot fi folosite pentru a demonstra congruențe pentru funcții. A se vedea funcția Ramanujan tau pentru câteva exemple.

Extindeți domeniul funcției de partiție setând p (0) = 1.

${\ displaystyle p (n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ sigma (k) p (nk).}$       Această recurență poate fi utilizată pentru a calcula p ( n ).

Numărul clasei aferent

Peter Gustav Lejeune Dirichlet a descoperit formule care leagă numărul clasei h de câmpuri de număr pătratic cu simbolul Jacobi.

Un număr întreg D se numește discriminant fundamental dacă este discriminantul unui câmp de număr pătratic. Acest lucru este echivalent cu D ≠ 1 și fie a) D este fără pătrat și D ≡ 1 (mod 4) sau b) D ≡ 0 (mod 4), D / 4 este fără pătrat și D / 4 ≡ 2 sau 3 (mod 4 ).

Extindeți simbolul Jacobi pentru a accepta numere pare în „numitor” definind simbolul Kronecker :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a {\ text {is even}} \ \ (- 1) ^ {\ frac {a ^ {2} -1} {8}} și {\ text {if}} a {\ text {este ciudat. }} \ end {cases}}}$

Atunci dacă D <−4 este un discriminant fundamental

${\ displaystyle {\ begin {align} h (D) & = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {r = 1} ^ {| D |} r \ left ({\ frac {D} { r}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2- \ left ({\ tfrac {D} {2}} \ right)}} \ sum _ {r = 1} ^ {| D | / 2} \ left ({\ frac {D} {r}} \ right). \ End {align}}}$

Există, de asemenea, o formulă referitoare la r ₃ și h . Din nou, să fie D un discriminant fundamental, D <−4. Atunci

${\ displaystyle r_ {3} (| D |) = 12 \ left (1- \ left ({\ frac {D} {2}} \ right) \ right) h (D).}$

Prim-count legate

Fie   cel de-al n- lea număr armonic . Atunci ${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n} + e ^ {H_ {n}} \ log H_ {n}}$   este adevărat pentru fiecare număr natural n dacă și numai dacă ipoteza Riemann este adevărată.    

Ipoteza Riemann este, de asemenea, echivalentă cu afirmația că, pentru toate n > 5040,

${\ displaystyle \ sigma (n) <e ^ {\ gamma} n \ log \ log n}$     (unde γ este constanta Euler – Mascheroni ). Aceasta este teorema lui Robin .

${\ displaystyle \ sum _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ displaystyle e ^ {\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} p.}$    

${\ displaystyle e ^ {\ psi (x)} = \ operatorname {lcm} [1,2, \ dots, \ lfloor x \ rfloor].}$    

Identitatea lui Menon

În 1965 P Kesava Menon a dovedit

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Acest lucru a fost generalizat de un număr de matematicieni. De exemplu,

B. Sury

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, \ dots, k_ {s}, n) = \ varphi (n) \ sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ dots , k_ {s}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, \ dots, k_ {s} -a_ {s}, n) ^ {s} = J_ {s} (n) d (n),}$

unde a ₁ , a ₂ , ..., a _s sunt numere întregi, mcd ( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq m} {\ gcd (k, m) = 1}} \ gcd (k ^ {2} -1, m_ {1}) \ gcd (k ^ {2} -1, m_ {2}) = \ varphi (n) \ sum _ {\ stackrel {d_ {1} \ mid m_ {1}} {d_ {2} \ mid m_ {2}}} \ varphi (\ gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2 ^ {\ omega (\ operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))},}$

unde m ₁ și m ₂ sunt impare, m = mcm ( m ₁ , m ₂ ).

De fapt, dacă f este orice funcție aritmetică

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ sum _ {d \ mid n} {\ frac {(\ mu * f) (d)} {\ varphi (d)}},}$

unde * înseamnă dirichlet convolution.

Diverse

Fie m și n distincte, impare și pozitive. Apoi, simbolul Jacobi satisface legea reciprocității pătratice :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (- 1) ^ {(m-1) (n- 1) / 4}.}$    

Fie D ( n ) derivata aritmetică. Apoi derivata logaritmică

${\ displaystyle {\ frac {D (n)} {n}} = \ sum _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} {\ frac {v_ {p} (n )} {p}}}$

Fie λ ( n ) funcția lui Liouville. Atunci

${\ displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n),}$     și

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^ {2} (n).}$    

Fie λ ( n ) funcția lui Carmichael. Atunci

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     Mai departe,

${\ displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ text {dacă și numai dacă}} n = {\ begin {cases} 1,2,4; \\ 3,5,7,9,11, \ ldots {\ text {(adică}} p ^ {k} {\ text {, unde}} p {\ text {este un prim impar)}}; \\ 6,10,14,18, \ ldots {\ text {(adică}} 2p ^ {k} {\ text {, unde}} p {\ text {este un prim ciudat)}}. \ end {cases}}}$

Vezi Grup multiplicativ de numere întregi modulo n și rădăcină primitivă modulo n .  

${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} \ leq d (n) \ leq 2 ^ {\ Omega (n)}.}$    

${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} <{\ frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^ {2}}} <1.}$    

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {q} (n) & = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ right)} {\ phi \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ right)}} phi (q) \\ & = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (q, n)} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta. \ end {align}}}$         Rețineți că  ${\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {\ delta \ mid q} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta.}$    

${\ displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d ^ {3} (\ delta) = \ left (\ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ right) ^ {2}.}$       Comparați acest lucru cu 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ displaystyle d (uv) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ left ({\ frac {u} {\ delta}} \ right) d \ stânga ({\ frac {v} {\ delta}} \ dreapta).}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {k} \ sigma _ {k} \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^ {2}}} \ right).}$    

${\ displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {11} \ tau \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^ {2}}} \ right),}$     unde τ ( n ) este funcția lui Ramanujan.    

Primele 100 de valori ale unor funcții aritmetice

n	factorizarea	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1,61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	−1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2,83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2,94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1,61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3,43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	−1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 · 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3,61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3,71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3,76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5 2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3,97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	factorizarea	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Note

Referințe

• Tom M. Apostol (1976), Introducere în teoria numerelor analitice , Springer Texte de licență în matematică , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor (ediția a doua) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Teoria analitică a numerelor, o introducere , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), Un curs de calcul al teoriei numerelor algebrice , Berlin: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). Ultima teoremă a lui Fermat . New York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Douăsprezece prelegeri despre subiecte sugerate de viața și opera sa , Providence RI: AMS / Chelsea, hdl : 10115/1436 , ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. O introducere în teoria numerelor (ed. A V-a). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Jameson, GJO (2003), The Prime Number Theorem , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Introducere în curbele eliptice și formele modulare , New York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Teoria numerelor elementare , New York: Chelsea
• William J. LeVeque (1996), Fundamentals of Number Theory , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Introducere elementară la teoria numerelor (ediția a doua), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Introducere în logica matematică , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Introducere în teoria numerelor (ediția a doua) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Ivan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), O introducere în teoria numerelor (ediția a treia) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Williams, Kenneth S. (2011), Teoria numerelor în spiritul lui Liouville , London Mathematical Society Student Texts, 76 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

Lecturi suplimentare

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Funcții aritmetice. O introducere la proprietățile elementare și analitice ale funcțiilor aritmetice și la unele dintre proprietățile lor aproape periodice , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

linkuri externe

• „Funcția aritmetică” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble O altă generalizare a funcției totientului a lui Euler
• Huard, Ou, Spearman și Williams. Evaluarea elementară a anumitor sume de convoluție care implică funcții de divizare
• Dineva, Rosica, Eientul Totient, Möbius și Funcțiile Divizor
• László Tóth, Identitatea lui Menon și sumele aritmetice reprezentând funcții ale mai multor variabile