Algebraisk stabel - Algebraic stack

I matematikk er en algebraisk stabel en omfattende generalisering av algebraiske mellomrom eller ordninger som er grunnleggende for å studere moduli -teori . Mange moduli -rom er konstruert ved hjelp av teknikker som er spesifikke for algebraiske stabler, for eksempel Artins representabilitetsteorem , som brukes til å konstruere modulrommet for spisse algebraiske kurver og moduli -bunken med elliptiske kurver . Opprinnelig ble de introdusert av Grothendieck for å holde oversikt over automorfismer på moduli -rom, en teknikk som gjør det mulig å behandle disse moduli -rommene som om deres underliggende ordninger eller algebraiske mellomrom er glatte . Men gjennom mange generaliseringer ble ideen om algebraiske stabler til slutt oppdaget av Michael Artin . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definisjon

Motivasjon

Et av de motiverende eksemplene på en algebraisk stabel er å vurdere et groupoid -skjema fremfor et fast skjema . For eksempel, hvis (hvor er gruppeskjemaet med enhetens røtter) , er projeksjonskartet, gruppeaksjonen${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ ganger _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

og er multiplikasjonskartet${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}} (\ mu _ {n} \ ganger _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ til \ mu _ {n} \ ganger _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$

på . Så, gitt et -skjema , danner groupoid -opplegget et groupoid (hvor er deres tilhørende funksjoner). Dessuten er denne konstruksjonen funksjonell for å danne en kontravariant 2-funksjoner${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ til S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} /S)^{\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

hvor er 2-kategorien med små kategorier . En annen måte å se dette på er som en fiberartet kategori gjennom Grothendieck -konstruksjonen . Å få den riktige tekniske forhold, slik som Grothendieck topologien på , gir definisjonen av en algebraisk stabel. For eksempel, i den tilknyttede gruppen av punkter for et felt , over opprinnelsesobjektet er det gruppen av automorfismer . Vær oppmerksom på at for å få en algebraisk stabel fra , og ikke bare en stabel, er det ytterligere tekniske hypoteser nødvendig for . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U /R] \ to (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S}^{n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U/R]}$${\ displaystyle [U/R]}$

Algebraiske stabler

Det viser seg å bruke fppf-topologien (trofast flat og lokalt med endelig presentasjon) på , betegnet , danner grunnlaget for å definere algebraiske stabler. Deretter er en algebraisk stabel en fiberkategori${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

slik at

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$er en kategori fibered i groupoids , noe som betyr at overkategorien for noen er en groupoid${\ displaystyle \ pi: X \ til S}$
2. Det diagonale kartet over kategorier med fiber er representert som algebraiske mellomrom${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Det eksisterer et opplegg og en tilhørende 1-morfi av fiberkategorier som er subjektiv og glatt kalt et atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Forklaring av tekniske forhold

Bruke fppf topologi

Først og fremst brukes fppf-topologi fordi den oppfører seg godt med hensyn til nedstigning . For eksempel, hvis det er ordninger og kan finpusses til et fppf-deksel av , hvis det er flat, lokalt endelig type, eller lokalt med endelig presentasjon, så har denne egenskapen. denne typen ideer kan utvides ytterligere ved å vurdere eiendommer lokale enten på målet eller kilden til en morfisme . For et deksel sier vi at en eiendom er lokal på kilden if${\ displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ til X \} _ {i \ i I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ til Y}$har hvis og bare hvis hver har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ til Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Det er en analog forestilling om målet som kalles lokal på målet . Dette betyr gitt et deksel${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ til Y \} _ {i \ i I}}$

${\ displaystyle f: X \ til Y}$har hvis og bare hvis hver har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ ganger _ {Y} Y_ {i} \ til Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

For fppf -topologien er det å ha en nedsenking lokal på målet. I tillegg til de tidligere egenskapene lokalt på kilden for fppf -topologien, er det å være universelt åpent også lokalt på kilden. Også lokalt er Noetherian og Jacobson lokale på kilden og målet for fppf -topologien. Dette holder ikke i fpqc -topologien, noe som gjør det ikke så "fint" når det gjelder tekniske egenskaper. Selv om dette er sant, har bruk av algebraiske stabler over fpqc -topologien fortsatt sin bruk, for eksempel i kromatisk homotopiteori . Dette er fordi Moduli-bunken med formelle gruppelover er en fpqc-algebraisk stabel ^{s 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Representativ diagonal

Per definisjon representerer en 1-morfisme av kategorier fiberet i groupoids algebraiske mellomrom som betyr at det eksisterer et algebraisk rom${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}^{\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

slik at den tilhørende fiberkategorien tilsvarer . Det er en rekke tilsvarende betingelser for representabilitet av diagonalen som hjelper til med å gi intuisjon for denne tekniske tilstanden, men en av hovedmotivasjonene er følgende: for et opplegg og objekter er skiven representativ som et algebraisk rom. Spesielt er stabilisatorgruppen for ethvert punkt på stabelen representabel som et algebraisk mellomrom. En annen viktig ekvivalens for å ha en representabel diagonal er den tekniske tilstanden at krysset mellom to algebraiske mellomrom i en algebraisk stabel er et algebraisk mellomrom. Reformulert ved bruk av fiberprodukter${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F/U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrise} Y \ ganger _ {\ mathcal {X}} Z & \ til & Y \\\ nedoverpil && \ downarrow \\ Z & \ til & {\ mathcal {X}} \ end {matrise}} }$

representabiliteten til diagonalen tilsvarer å være representabel for et algebraisk rom . Dette er fordi gitt morfisme fra algebraiske mellomrom, strekker de seg til kart fra det diagonale kartet. Det er en analog setning for algebraiske mellomrom som gir representasjon av et skår som et algebraisk rom. ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F/S) _ {fppf}}$

Vær oppmerksom på at en analog tilstand for representabilitet for diagonalet gjelder for noen formuleringer av høyere stabler der fiberproduktet er en -stabel for en -stabel . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Surjektiv og glatt atlas

2-Yoneda lemma

Eksistensen av et opplegg og en 1-morfisme av fiberkategorier som er subjektiv og jevn avhenger av å definere en jevn og surjektiv morfisme av fiberkategorier. Her er den algebraiske stakken fra den representable functoren på oppgradert til en kategori fiberet i groupoids der kategoriene bare har trivielle morfismer. Dette betyr settet${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch/S) _ {fppf}} (T, U)}$

regnes som en kategori, betegnet , med objekter som morfisme${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ til U}$

og morfisme er identitetsmorfismen. Derfor

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Groupoids}$

er en 2-funksjoner av groupoids. Å vise denne 2-funksjonen er et skår er innholdet i 2-Yoneda-lemmaet . Ved bruk av Grothendieck -konstruksjonen er det en tilknyttet kategori som er fiberert i gruppoider betegnet . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Representative morfisme av kategorier fibered i groupoids

For å si at denne morfismen er jevn eller subjektiv, må vi introdusere representable morfismer. En morfisme av kategorier fiberet i groupoids over sies å være representabel hvis gitt et objekt i og et objekt det 2-fiberede produktet${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ i {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

representeres av en ordning. Deretter kan vi si at morfismen til kategorier som er gruppert i groupoids er jevn og subjektiv hvis den tilhørende morfismen${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch/T) _ {fppf}}$

av ordninger er glatt og subjektiv.

Deligne-Mumford stabler

Algebraiske stabler, også kjent som Artin -stabler , er per definisjon utstyrt med et jevnt surjektivt atlas , hvor er stakken knyttet til en eller annen ordning . Hvis atlaset dessuten er ekte, sies det å være en Deligne-Mumford-stabel . Underklassen til Deligne-Mumford-stabler er nyttig fordi den gir den riktige innstillingen for mange naturlige stabler som er vurdert, for eksempel modulibunken med algebraiske kurver . I tillegg er de strenge nok til at objekt representert med punkter i Deligne-Mumford-stabler ikke har uendelig minimale automorfismer . Dette er veldig viktig fordi infinitesimale automorfismer gjør det veldig vanskelig å studere deformasjonsteorien til Artin -stabler. For eksempel har deformasjonsteorien til Artin -stakken , modulibunken med rangvektorbunter, infinitesimale automorfismer som delvis kontrolleres av Lie -algebraen . Dette fører til en uendelig sekvens av deformasjoner og hindringer generelt, som er en av motivasjonene for å studere moduler av stabile bunter . Bare i det spesielle tilfellet med deformasjonsteorien for linjebunter , kan deformasjonsteorien behandles, siden den tilhørende Lie -algebraen er abelsk . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [*/GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [*/GL_ {1}] = [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$

Vær oppmerksom på at mange stabler ikke kan representeres naturlig som Deligne-Mumford-stabler fordi de bare tillater begrensede deksler, eller algebraiske stabler med begrensede deksler. Legg merke til at fordi alle Etale-omslag er flate og lokalt med begrenset presentasjon, underbygger algebraiske stabler definert med fppf-topologien denne teorien; men det er fortsatt nyttig siden mange stabler som finnes i naturen er av denne formen, for eksempel kurvenes moduler . Dessuten kalles den differensialgeometriske analogen til slike stabler orbifolds . Etale-tilstanden innebærer 2-funksjoner${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} /S)^{\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

å sende et skjema til sin groupoid av - torsors er representeres som en stabel over Etale topologi, men den Picard-stabelen av -torsors (tilsvarende den kategori av linje bunter) er ikke representeres. Stabler av dette skjemaet kan representeres som stabler over fppf-topologien. En annen grunn til å vurdere fppf-topologi kontra etale-topologien er overkarakteristisk for Kummer-sekvensen${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

er nøyaktig bare som en sekvens av fppf -skiver, men ikke som en sekvens av etalskiver.

Definere algebraiske stabler over andre topologier

Å bruke andre Grothendieck -topologier på gir alternative teorier om algebraiske stabler som enten ikke er generelle nok, eller som ikke oppfører seg godt når det gjelder utveksling av egenskaper fra et deksels base til det totale rommet til et deksel. Det er nyttig å huske at det er følgende generaliseringshierarki${\ displaystyle (F/S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

av store topologier på . ${\ displaystyle (F/S)}$

Strukturskive

Strukturskiven til en algebraisk stabel er et objekt trukket tilbake fra en universell strukturskive på stedet . Denne universelle strukturskiven er definert som${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Rings, {\ text {where}} U/X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

og den tilhørende strukturskiven på en kategori fiberet i groupoids

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch/S) _ {fppf}}$

er definert som

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p^{-1} {\ mathcal {O}}}$

hvor kommer fra kartet over Grothendieck -topologier. Spesielt betyr dette at løgnen er over , så da . Som en sanitetskontroll er det verdt å sammenligne dette med en kategori som inneholder fibergrupper som kommer fra et program for forskjellige topologier. For eksempel hvis${\ displaystyle p^{-1}}$${\ displaystyle x \ i {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch/X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} } _ {X})}$

er en kategori fibered i groupoids enn , strukturen kornbåndet for en åpen subscheme gir${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ til X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

så denne definisjonen gjenoppretter den klassiske strukturskiven på et opplegg. Videre, for en kvotestabel , gir strukturskiven dette bare de -variante seksjonene${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X/G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u^{*} {\ mathcal {O}} _ {X})^{G}}$

for i . ${\ displaystyle u: U \ til X}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

Eksempler

Klassifisering av stabler

Mange klassifiseringsstabler for algebraiske grupper er algebraiske stabler. Faktisk, for et algebraisk gruppeareal over et opplegg som er flatt med endelig presentasjon, er stabelen algebraisk ^{setning 6.1} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Se også

• Gerbe
• Chow -gruppe av en stabel
• Cohomology of a stack
• Kvotientstabel
• Skjær på en algebraisk stabel
• Torisk stabel
• Artins kriterium
• Forfølger stabler
• Avledet algebraisk geometri

Referanser

Eksterne linker

Artins aksiomer

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Se på "aksiomer" og "algebraiske stabler"
• Artin Algebraization and Quotient Stacks - Jarod Alper

Papirer

• Alper, Jarod (2009). "En guide til litteraturen om algebraiske stabler" (PDF) . S2CID  51803452 . Arkivert fra originalen (PDF) 2020-02-13. Cite journal krever |journal=( hjelp )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbert -stakken" . Fremskritt i matematikk . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Avledede ℓ-adiske kategorier for algebraiske stabler" (PDF) . Memoarer fra American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

applikasjoner

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introduksjon til chtoucas for reduktive grupper og til den globale Langlands -parameteriseringen". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Modulære funksjoner av en variabel II . Forelesningsnotater i matematikk. 349 . s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "Projektiviteten til modulrommet for stabile kurver, II: Stablene "${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Om konstruksjonen av modulbunke med projiserende Higgs -bunter over overflater". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Mathoverflow tråder

• Tilfredsstiller algebraiske stabler fpqc -avstamning?
• Stabler i fpqc -topologien
• fpqc omslag av stabler

Annen

• Eksempler på stabler
• Notater om Grothendieck -topologier, fiberkategorier og nedstigningsteori
• Merknader om algebraiske stabler