Stivă algebrică - Algebraic stack

În matematică, o stivă algebrică este o vastă generalizare a spațiilor sau schemelor algebrice , care sunt fundamentale pentru studierea teoriei modulelor . Multe spații modulare sunt construite folosind tehnici specifice stivelor algebrice, cum ar fi teorema reprezentabilității lui Artin , care este utilizată pentru a construi spațiul modulelor curbelor algebrice ascuțite și stiva modulelor de curbe eliptice . Inițial, au fost introduse de Grothendieck pentru a ține evidența automorfismelor pe spațiile modulelor, o tehnică care permite tratarea acestor spații modulare ca și cum schemele lor subiacente sau spațiile algebrice ar fi netede . Dar, prin multe generalizări, noțiunea de stive algebrice a fost descoperită în cele din urmă de Michael Artin . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definiție

Motivație

Unul dintre exemplele motivante ale unei stive algebrice este de a lua în considerare o schemă grupoidă peste o schemă fixă . De exemplu, dacă (unde este schema de grup a rădăcinilor unității) ,, este harta de proiecție, este acțiunea de grup${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

și este harta multiplicării${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}} (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ to \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$

pe . Apoi, având în vedere un -scheme , schema grupoid formează un grupoid (unde sunt functorii lor asociați). Mai mult decât atât, această construcție este funcțională la formarea unui 2-functor contravariant${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

în cazul în care este 2-categoria de categorii mici . Un alt mod de a vedea acest lucru este ca o categorie fibroasă prin construcția Grothendieck . Obținerea condițiilor tehnice corecte, cum ar fi topologia Grothendieck pe , dă definiția unei stive algebrice. De exemplu, în grupoidul asociat punctelor pentru un câmp , peste obiectul de origine se află grupul de automorfisme . Rețineți că, pentru a obține o stivă algebrică și nu doar o stivă, există ipoteze tehnice suplimentare necesare . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U / R] \ to (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U / R]}$${\ displaystyle [U / R]}$

Stive algebrice

Se dovedește că folosind topologia fppf (fidelă, plană și locală a prezentării finite) , pe , notată , formează baza definirii stivelor algebrice. Apoi, o stivă algebrică este o categorie cu fibre${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

astfel încât

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$este o categorie fibroasă în grupoizi , ceea ce înseamnă că supracategoria pentru unii este un grupoid${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$
2. Harta diagonală a categoriilor cu fibre este reprezentabilă ca spații algebrice${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Există o schemă și un 1-morfism asociat de categorii fibroase, care este surjectiv și neted numit atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Explicarea condițiilor tehnice

Folosind topologia fppf

În primul rând, topologia fppf este utilizată deoarece se comportă bine în ceea ce privește coborârea . De exemplu, dacă există scheme și pot fi rafinate la o acoperire fppf de , dacă este plat, de tip finit local sau local de prezentare finită, atunci are această proprietate. acest tip de idee poate fi extins și mai mult prin luarea în considerare a proprietăților locale fie pe țintă, fie sursa unui morfism . Pentru o acoperire spunem că o proprietate este locală la sursă dacă${\ displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ displaystyle X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ to X \} _ {i \ în I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ to Y}$are dacă și numai dacă fiecare are .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Există o noțiune analogă pe țintă numită locală pe țintă . Acest lucru înseamnă o acoperire${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ to Y \} _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle f: X \ to Y}$are dacă și numai dacă fiecare are .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ to Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Pentru topologia fppf, imersiunea este locală pe țintă. În plus față de proprietățile anterioare locale pe sursă pentru topologia fppf, a fi universal deschis este și local pentru sursă. De asemenea, fiind local Noetherian și Jacobson sunt locale pe sursă și țintă pentru topologia fppf. Acest lucru nu este valabil în topologia fpqc, făcându-l nu la fel de „frumos” în ceea ce privește proprietățile tehnice. Chiar dacă acest lucru este adevărat, utilizarea stivelor algebrice peste topologia fpqc are încă utilizarea sa, cum ar fi în teoria homotopiei cromatice . Acest lucru se datorează faptului că stiva Moduli de legi formale de grup este o stivă fpqc-algebrică ^{pg 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Diagonală reprezentabilă

Prin definiție, un 1-morfism al categoriilor fibrate în grupoizi este reprezentabil prin spații algebrice, ceea ce înseamnă că există un spațiu algebric.${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf} ^ {\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

astfel încât categoria de fibre asociate să fie echivalentă cu . Există o serie de condiții echivalente pentru reprezentabilitatea diagonalei care ajută la intuiția acestei condiții tehnice, dar una dintre motivațiile principale este următoarea: pentru o schemă și obiecte , snopul este reprezentabil ca un spațiu algebric. În special, grupul stabilizator pentru orice punct de pe stivă este reprezentabil ca un spațiu algebric. O altă echivalență importantă de a avea o diagonală reprezentabilă este condiția tehnică conform căreia intersecția oricăror două spații algebrice dintr-o stivă algebrică este un spațiu algebric. Reformulat folosind produse din fibre${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ to & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

reprezentabilitatea diagonalei este echivalentă cu a fi reprezentabilă pentru un spațiu algebric . Acest lucru se datorează faptului că date morfisme din spații algebrice, acestea se extind la hărți de pe harta diagonală. Există o afirmație analogă pentru spațiile algebrice care oferă reprezentabilitatea unui snop ca spațiu algebric. ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F / S) _ {fppf}}$

Rețineți că o condiție analogă de reprezentabilitate a diagonalei este valabilă pentru unele formulări de stive superioare în care produsul din fibră este o stivă pentru o stivă . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Atlas surjectiv și neted

2-Lemă Yoneda

Existența unei scheme și a unui 1-morfism al categoriilor fibroase care este surjectivă și netedă depinde de definirea unui morfism neted și surjectiv al categoriilor fibroase. Aici este stiva algebrică de functorul reprezentabile pe modernizate la o categorie fibered în grupoizilor în cazul în care categoriile au doar morfisme triviale. Aceasta înseamnă setul${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch / S) _ {fppf}} (T, U)}$

este considerat ca o categorie, notată , cu obiecte în ca morfisme${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

iar morfismele sunt morfismul identitar. Prin urmare

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Groupoids}$

este un 2-functor al grupoidilor. Afișarea acestui 2-funcțional este un snop este conținutul lemei 2-Yoneda . Folosind construcția Grothendieck, există o categorie asociată fibrată în grupoizi denotați . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Morfisme reprezentabile ale categoriilor fibroase în grupoizi

Pentru a spune că acest morfism este neted sau surjectiv, trebuie să introducem morfisme reprezentabile. Un morfism categoriilor fibered în grupoizilor peste este declarat a fi reprezentabile în cazul dat un obiect în și un obiect produsului 2-fibered${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

este reprezentabil printr-o schemă. Apoi, putem spune că morfismul categoriilor fibrate în grupoizi este neted și surjectiv dacă morfismul asociat${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch / T) _ {fppf}}$

schemelor este netedă și surjectivă.

Deligne-Mumford stive

Stivele algebrice, cunoscute și sub numele de stive Artin , sunt, prin definiție, echipate cu un atlas surjectiv neted , unde este stiva asociată unei scheme . Dacă atlasul este de altfel etal, atunci se spune că este o stivă Deligne-Mumford . Subclasa stivelor Deligne-Mumford este utilă deoarece oferă setarea corectă pentru multe stive naturale luate în considerare, cum ar fi stiva de module de curbe algebrice . În plus, sunt suficient de stricți încât obiectul reprezentat de puncte în stive Deligne-Mumford să nu aibă automorfisme infinitesimale . Acest lucru este foarte important, deoarece automorfismele infinitezimale fac foarte dificilă studierea teoriei deformării stivelor Artin. De exemplu, teoria deformării stivei Artin , stiva de module a pachetelor de vectori de rang , are automorfisme infinitesimale controlate parțial de algebra Lie . Acest lucru duce la o secvență infinită de deformări și obstrucții în general, care este una dintre motivațiile pentru studierea modulelor de pachete stabile . Numai în cazul special al teoriei deformării fasciculelor de linii este tratabilă teoria deformării, deoarece algebra Lie asociată este abeliană . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [* / GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [* / GL_ {1}] = [* / \ mathbb {G} _ {m}]}$

Rețineți că multe stive nu pot fi reprezentate în mod natural ca stive Deligne-Mumford, deoarece permite numai acoperiri finite sau stive algebrice cu învelișuri finite. Rețineți că, deoarece fiecare copertă Etale este plană și locală cu prezentare finită, stive algebrice definite cu topologia fppf subsumează această teorie; dar, este încă util, deoarece multe stive găsite în natură sunt de această formă, cum ar fi modulele curbelor . De asemenea, analogul diferențial-geometric al unor astfel de stive se numește orbifolds . Condiția Etale implică funcția 2${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

trimiterea unei scheme către gruporul său de - torsori este reprezentabilă ca o stivă peste topologia Etale, dar stiva Picard de -tori (echivalent categoria pachetelor de linii) nu este reprezentabilă. Stivele de această formă sunt reprezentabile ca stive peste topologia fppf. Un alt motiv pentru a considera fppf-topologia față de topologia etale este de peste caracteristică secvența Kummer${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

este exact doar ca o secvență de snopi fppf, dar nu ca o secvență de snopi etale.

Definirea stivelor algebrice peste alte topologii

Folosirea altor topologii Grothendieck oferă teorii alternative ale stivelor algebrice care fie nu sunt suficient de generale, fie nu se comportă bine în ceea ce privește schimbul de proprietăți de la baza unui capac la spațiul total al unui capac. Este util să ne amintim că există următoarea ierarhie de generalizare${\ displaystyle (F / S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

de topologii mari pe . ${\ displaystyle (F / S)}$

Garnitura de structură

Stratul de structură al unui teanc algebric este un obiect tras înapoi dintr-un snop de structură universal de pe amplasament . Acest snop de structură universală este definit ca${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Rings, {\ text {where}} U / X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

și structura asociată de pe o categorie fibrată în grupoizi

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch / S) _ {fppf}}$

este definit ca

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p ^ {- 1} {\ mathcal {O}}}$

unde vine de pe harta topologiilor Grothendieck. În special, acest lucru înseamnă că se află minciuni , deci , atunci . Ca o verificare a sănătății, merită să o comparați cu o categorie fibroasă în grupoizi provenind dintr-un -scheme pentru diferite topologii. De exemplu, dacă${\ displaystyle p ^ {- 1}}$${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch / X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} }_{X})}$

este o categorie fibroasă în grupuri , structura pentru un subschem deschis oferă${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ to X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

deci această definiție recuperează structura clasică a unui schemă. Mai mult decât atât, pentru o stivă de coeficient , structura din foaie oferă doar secțiuni -invariante${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X / G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G}}$

pentru în . ${\ displaystyle u: U \ to X}$${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

Exemple

Clasificarea stivelor

Multe stive de clasificare pentru grupuri algebrice sunt stive algebrice. De fapt, pentru un spațiu de grup algebric peste o schemă care este plată de prezentare finită, stiva este ^teorema algebrică ^6.1 . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Vezi si

• Gerbe
• Chow grupul unui teanc
• Cohomologia unui teanc
• Stiva cotient
• Garnitură pe un teanc algebric
• Stiva torică
• Criteriul lui Artin
• Urmărind stive
• Geometrie algebrică derivată

Referințe

linkuri externe

Axiomele lui Artin

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Uită-te la „Axiome” și „Stive algebrice”
• Artin Algebraization and Quotient Stacks - Jarod Alper

Hârtii

• Alper, Jarod (2009). „Un ghid pentru literatura despre stive algebrice” (PDF) . S2CID  51803452 . Arhivat din original (PDF) pe 2020-02-13. Citați jurnalul necesită |journal=( ajutor )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). „Stiva Hilbert” . Progrese în matematică . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016 / j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). „Categorii derivate ℓ-Adic pentru stive algebrice” (PDF) . Memoriile Societății Americane de Matematică . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090 / memo / 0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Aplicații

• Lafforgue, Vincent (2014). „Introducere în chtoucas pentru grupuri reductive și în parametrizarea globală Langlands”. arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). „Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques”. Funcțiile modulare ale unei variabile II . Note de curs în matematică. 349 . pp. 143-316. doi : 10.1007 / 978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). „Proiectivitatea spațiului modulelor de curbe stabile, II: Stivele ”${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146 / math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). „Cu privire la construcția de stive de module de pachete Higgs proiective peste suprafețe”. arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Firele Mathoverflow

• Stivele algebrice satisfac descendența fpqc?
• Stive în topologia fpqc
• fpqc capace de stive

Alte

• Exemple de stive
• Note despre topologiile Grothendieck, categoriile de fibre și teoria descendenței
• Note despre stive algebrice