Pila algebraica - Algebraic stack

En matemáticas, una pila algebraica es una vasta generalización de espacios algebraicos , o esquemas , que son fundamentales para estudiar la teoría de módulos . Muchos espacios de módulos se construyen utilizando técnicas específicas de pilas algebraicas, como el teorema de representabilidad de Artin , que se utiliza para construir el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas y la pila de módulos de curvas elípticas . Originalmente, fueron introducidos por Grothendieck para realizar un seguimiento de los automorfismos en los espacios de módulos, una técnica que permite tratar estos espacios de módulos como si sus esquemas subyacentes o espacios algebraicos fueran suaves . Pero, a través de muchas generalizaciones, Michael Artin finalmente descubrió la noción de pilas algebraicas . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definición

Motivación

Uno de los ejemplos motivadores de una pila algebraica es considerar un esquema grupoide sobre un esquema fijo . Por ejemplo, si (donde es el esquema de grupo de raíces de la unidad), , es el mapa de proyección, es la acción de grupo${\ Displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$${\ Displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

y es el mapa de multiplicación${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}} (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ to \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$

en . Entonces, dado un esquema- , el esquema grouppoide forma un groupoide (donde están sus functores asociados). Además, esta construcción es funcional en la formación de un 2-functor contravariante${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ pi: X \ to S}$${\ Displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ Displaystyle R, U}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$

${\ Displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

donde es el 2-categoría de las categorías pequeñas . Otra forma de ver esto es como una categoría de fibras a través de la construcción de Grothendieck . Conseguir las condiciones técnicas correctas, tales como la topología de Grothendieck en , da la definición de una pila algebraica. Por ejemplo, en el grupo de puntos asociado de un campo , sobre el objeto de origen se encuentra el grupo de automorfismos . Tenga en cuenta que para obtener una pila algebraica de , y no solo una pila, se requieren hipótesis técnicas adicionales para . ${\ displaystyle {\ text {gato}}}$ ${\ Displaystyle [U / R] \ to (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} (k)}$${\ Displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ Displaystyle [U / R]}$${\ Displaystyle [U / R]}$

Pilas algebraicas

Resulta que el uso de la topología fppf (fielmente plana y localmente de presentación finita) en , denotado , forma la base para definir pilas algebraicas. Entonces, una pila algebraica es una categoría con fibras${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

${\ Displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

tal que

1. ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$es una categoría con fibras en groupoids , lo que significa que la sobrecategoría para algunos es un groupoid${\ Displaystyle \ pi: X \ to S}$
2. El mapa diagonal de categorías con fibras se puede representar como espacios algebraicos.${\ Displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Existe un esquema y un 1-morfismo asociado de categorías fibradas que es sobreyectivo y suave llamado atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ Displaystyle U \ a S}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Explicación de condiciones técnicas

Usando la topología fppf

En primer lugar, se utiliza la topología fppf porque se comporta bien con respecto al descenso . Por ejemplo, si hay esquemas y se puede refinar a una cubierta fppf de , si es plano, de tipo localmente finito o localmente de presentación finita, entonces tiene esta propiedad. este tipo de idea puede extenderse aún más considerando propiedades locales, ya sea en el objetivo o en la fuente de un morfismo . Para una portada , decimos que una propiedad es local en la fuente si${\ Displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} / S)}$${\ Displaystyle X \ a Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ {X_ {i} \ to X \} _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle f: X \ to Y}$tiene si y solo si cada uno tiene .${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle X_ {i} \ to Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Existe una noción análoga sobre el objetivo llamada local sobre el objetivo . Esto significa que se le da una portada${\ Displaystyle \ {Y_ {i} \ to Y \} _ {i \ in I}}$

${\ Displaystyle f: X \ to Y}$tiene si y solo si cada uno tiene .${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ to Y_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Para la topología fppf, tener una inmersión es local en el destino. Además de las propiedades anteriores locales en la fuente para la topología fppf, ser universalmente abierto también es local en la fuente. Además, ser localmente Noetherian y Jacobson son locales en el origen y el destino de la topología fppf. Esto no se cumple en la topología fpqc, por lo que no es tan "agradable" en términos de propiedades técnicas. Aunque esto es cierto, el uso de pilas algebraicas sobre la topología fpqc todavía tiene su uso, como en la teoría de homotopía cromática . Esto se debe a que la pila de Moduli de leyes de grupo formales es una pila fpqc-algebraica ^{pg 40} . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Diagonal representable

Por definición, un 1-morfismo de categorías con fibras en groupoids es representable por espacios algebraicos, lo que significa que existe un espacio algebraico.${\ Displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf} ^ {\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

tal que la categoría de fibras asociada sea ​​equivalente a . Hay una serie de condiciones equivalentes para la representabilidad de la diagonal que ayudan a dar intuición para esta condición técnica, pero una de las principales motivaciones es la siguiente: para un esquema y objetos, la gavilla se puede representar como un espacio algebraico. En particular, el grupo estabilizador para cualquier punto de la pila se puede representar como un espacio algebraico. Otra equivalencia importante de tener una diagonal representable es la condición técnica de que la intersección de dos espacios algebraicos cualesquiera en una pila algebraica es un espacio algebraico. Reformulado con productos de fibra${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F / S) _ {fppf}}$${\ Displaystyle (F / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ Displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ to & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

la representabilidad de la diagonal es equivalente a ser representable para un espacio algebraico . Esto se debe a que, dados los morfismos de los espacios algebraicos, se extienden a los mapas del mapa diagonal. Existe una declaración análoga para los espacios algebraicos que da la representabilidad de un haz como un espacio algebraico. ${\ Displaystyle Y \ a {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y \ a {\ mathcal {X}}, Z \ a {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle (F / S) _ {fppf}}$

Tenga en cuenta que una condición análoga de representabilidad de la diagonal se cumple para algunas formulaciones de pilas más altas en las que el producto de fibra es una pila para una pila . ${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Atlas superviviente y suave

2-lema de Yoneda

La existencia de un esquema y un 1-morfismo de categorías con fibras que es sobreyectivo y suave depende de la definición de morfismos suaves y sobreyectivos de categorías con fibras. Aquí está la pila algebraica del functor representable en actualizado a una categoría con fibras en groupoids donde las categorías solo tienen morfismos triviales. Esto significa el conjunto${\ displaystyle fppf}$${\ Displaystyle U \ a S}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle h_ {U}}$${\ Displaystyle h_ {U} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Sets}$

${\ Displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch / S) _ {fppf}} (T, U)}$

se considera como una categoría, denotado , con objetos como morfismos${\ Displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ Displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ Displaystyle f: T \ to U}$

y los morfismos son el morfismo de identidad. Por eso

${\ Displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Groupoids}$

es un 2-functor de groupoids. Mostrar este 2-functor es una gavilla es el contenido del lema 2-Yoneda . Utilizando la construcción de Grothendieck, se indica una categoría asociada con fibras en groupoids . ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Morfismos representables de categorías con fibras en groupoids

Para decir que este morfismo es suave o sobreyectivo, tenemos que introducir morfismos representables. Se dice que un morfismo de categorías con fibras en agrupaciones sobre es representable si se le da un objeto en y un objeto en el producto de 2 fibras.${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ Displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ Displaystyle T \ a S}$${\ Displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ Displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ Displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

es representable por un esquema. Entonces, podemos decir que el morfismo de las categorías fibradas en groupoids es suave y sobreyectivo si el morfismo asociado${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch / T) _ {fppf}}$

de esquemas es suave y sobreyectiva.

Pilas de Deligne-Mumford

Las pilas algebraicas, también conocidas como pilas de Artin , están por definición equipadas con un atlas sobreyectivo suave , donde está la pila asociada a algún esquema . Si el atlas es además étale, entonces se dice que es una pila Deligne-Mumford . La subclase de pilas de Deligne-Mumford es útil porque proporciona la configuración correcta para muchas pilas naturales consideradas, como la pila de módulos de curvas algebraicas . Además, son lo suficientemente estrictos como para que el objeto representado por puntos en las pilas de Deligne-Mumford no tenga automorfismos infinitesimales . Esto es muy importante porque los automorfismos infinitesimales dificultan mucho el estudio de la teoría de la deformación de las pilas de Artin. Por ejemplo, la teoría de la deformación de la pila de Artin , la pila de módulos de paquetes de vectores de rango , tiene automorfismos infinitesimales controlados parcialmente por el álgebra de Lie . Esto conduce a una secuencia infinita de deformaciones y obstrucciones en general, que es una de las motivaciones para estudiar módulos de haces estables . Sólo en el caso especial de la teoría de la deformación de los haces de líneas es manejable la teoría de la deformación, ya que el álgebra de Lie asociada es abeliana . ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle U \ a S}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle BGL_ {n} = [* / GL_ {n}]}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle [* / GL_ {1}] = [* / \ mathbb {G} _ {m}]}$

Tenga en cuenta que muchas pilas no se pueden representar naturalmente como pilas Deligne-Mumford porque solo permite cubiertas finitas o pilas algebraicas con cubiertas finitas. Tenga en cuenta que debido a que cada cubierta de Etale es plana y localmente de presentación finita, las pilas algebraicas definidas con la topología fppf subsumen esta teoría; pero sigue siendo útil ya que muchas pilas que se encuentran en la naturaleza tienen esta forma, como los módulos de curvas . Además, el análogo diferencial-geométrico de tales pilas se llama orbifolds . La condición Etale implica el 2-functor${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ Displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

El envío de un esquema a su grupo de - torsores se puede representar como una pila sobre la topología de Etale, pero la pila de Picard de -torsores (de forma equivalente, la categoría de paquetes de líneas) no es representable. Las pilas de esta forma se pueden representar como pilas sobre la topología fppf. Otra razón para considerar la topología fppf frente a la topología etale es la característica excesiva de la secuencia de Kummer${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

es exacta solo como una secuencia de gavillas fppf, pero no como una secuencia de gavillas etale.

Definición de pilas algebraicas sobre otras topologías

El uso de otras topologías de Grothendieck proporciona teorías alternativas de pilas algebraicas que no son lo suficientemente generales o no se comportan bien con respecto al intercambio de propiedades desde la base de una cubierta al espacio total de una cubierta. Es útil recordar que existe la siguiente jerarquía de generalización${\ Displaystyle (F / S)}$

${\ Displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {suave}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

de grandes topologías en . ${\ Displaystyle (F / S)}$

Gavilla de estructura

El haz de estructura de una pila algebraica es un objeto retirado de un haz de estructura universal en el sitio . Esta gavilla de estructura universal se define como${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Rings, {\ text {where}} U / X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

y la estructura asociada gavilla en una categoría fibrada en groupoids

${\ Displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch / S) _ {fppf}}$

Se define como

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p ^ {- 1} {\ mathcal {O}}}$

de dónde viene el mapa de topologías de Grothendieck. En particular, este medio se acabó , entonces , entonces . Como prueba de cordura, vale la pena comparar esto con una categoría con fibras en grupos provenientes de un esquema para varias topologías. Por ejemplo, si${\ Displaystyle p ^ {- 1}}$${\ Displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p (x) = U}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch / X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} }_{X})}$

es una categoría con fibras en grupos sobre , la gavilla de estructura para un subesquema abierto da${\ Displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$${\ Displaystyle U \ a X}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

por lo que esta definición recupera la estructura clásica de la gavilla en un esquema. Además, para una pila de cociente , la estructura gavilla esto solo da las secciones -invariantes${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} = [X / G]}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G}}$

para en . ${\ Displaystyle u: U \ a X}$${\ Displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

Ejemplos de

Clasificación de pilas

Muchas pilas de clasificación para grupos algebraicos son pilas algebraicas. De hecho, para un espacio de grupo algebraico sobre un esquema que es plano de presentación finita, la pila es el ^teorema algebraico ^6.1 . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Ver también

• Gerbe
• Chow grupo de una pila
• Cohomología de una pila
• Pila de cociente
• Gavilla en una pila algebraica
• Pila tórica
• El criterio de Artin
• Persiguiendo pilas
• Geometría algebraica derivada

Referencias

enlaces externos

Axiomas de Artin

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Mira "Axiomas" y "Pilas algebraicas"
• Algebraización de Artin y pilas de cocientes - Jarod Alper

Documentos

• Alper, Jarod (2009). "Una guía de la literatura sobre pilas algebraicas" (PDF) . S2CID  51803452 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de febrero de 2020. Cite journal requiere |journal=( ayuda )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "La pila de Hilbert" . Avances en Matemáticas . 253 : 194-233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016 / j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Categorías derivadas de ℓ-Adic para pilas algebraicas" (PDF) . Memorias de la American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090 / memo / 0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Aplicaciones

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introducción a las chtoucas para grupos reductivos ya la parametrización global de Langlands". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Funciones modulares de una variable II . Apuntes de clase en matemáticas. 349 . págs. 143–316. doi : 10.1007 / 978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, II: Las pilas "${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146 / math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Sobre la construcción de módulos de pila de paquetes proyectivos de Higgs sobre superficies". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Hilos de Mathoverflow

• ¿Las pilas algebraicas satisfacen el descenso fpqc?
• Pilas en la topología fpqc
• cubiertas fpqc de pilas

Otro

• Ejemplos de pilas
• Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías de fibras y teoría de la descendencia
• Notas sobre pilas algebraicas