Algebrallinen pino - Algebraic stack

Matematiikassa algebrallinen pino on laaja yleistys algebrallisista tiloista tai kaavoista , jotka ovat perustana moduli -teorian tutkimiselle . Monet moduli tilat on rakennettu käyttäen ominaisten algebrallinen pinot, kuten Artin n esitettävyys lause , jota käytetään konstruoimaan moduli tila teräviä algebrallinen käyrä ja taivutusvastukset pino elliptisten käyrien . Alunperin Grothendieck esitteli ne seuratakseen moduulitilojen automorfismeja, tekniikkaa, joka mahdollistaa näiden moduulitilojen käsittelyn ikään kuin niiden taustamallit tai algebralliset tilat ovat sileitä . Mutta monien yleistysten kautta Michael Artin löysi lopulta algebrallisten pinojen käsitteen . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Määritelmä

Motivaatio

Yksi motivoivista esimerkeistä algebrallisesta pinosta on harkita ryhmämallia kiinteän kaavan sijaan . Esimerkiksi jos (missä on ykseyden juuriryhmäkaavio) , on projektiokartta, on ryhmätoiminta${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ kertaa _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

ja se on kertolaskukartta${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ kertaa _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ kertaa _ {\ mu _ {n} \ kertaa _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}} (\ mu _ {n} \ kertaa _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ - \ mu _ {n} kertaa _ {S} \ matematiikka {A} _ {S}^{n}}$

päällä . Sitten, kun otetaan huomioon -skeemi , ryhmämuotoinen kaavio muodostaa ryhmämuodon (missä ovat niihin liittyvät funktiot). Lisäksi tämä rakenne on funktionaalinen muodostettaessa vastakkainen 2-functor${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} /S)^{\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

jossa on 2-luokan ja pieniä luokkia . Toinen tapa tarkastella tätä on niin fibred luokan kautta Grothendieck rakentamiseen . Getting oikea tekniset edellytykset, kuten Grothendieck topologia päällä , antaa määritelmä algebrallisen pinon. Esimerkiksi kentän asiaankuuluvassa -pisteiden ryhmässä alkuperäobjektin yläpuolella on automorfismien ryhmä . Huomaa, että algebrallisen pinon saamiseksi , ei vain pinoksi, tarvitaan muita teknisiä hypoteeseja . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U /R] \ - (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S}^{n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U/R]}$${\ displaystyle [U/R]}$

Algebralliset pinot

Osoittautuu, että käyttämällä fppf-topologiaa (uskollisesti tasainen ja paikallisesti rajallinen esitys) , merkitty , muodostaa perustan algebrallisten pinojen määrittämiselle. Sitten algebrallinen pino on kuituluokka${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ - (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

sellainen että

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$on ryhmäkuituinen ryhmä , joka tarkoittaa, että joidenkin yliluokka on ryhmä${\ displaystyle \ pi: X \ S}$
2. Kuituluokkien lävistäjäkartta on edustettavissa algebrallisina tiloina${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ - {\ mathcal {X}} \ kertaa _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. On olemassa kaava ja siihen liittyvä kuituluokkien 1-morfismi, joka on surjektiivinen ja sileä, nimeltään atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$

Selitys teknisistä ehdoista

Fppf -topologian käyttäminen

Ensinnäkin käytetään fppf-topologiaa, koska se käyttäytyy hyvin laskeutumisen suhteen . Jos esimerkiksi on olemassa kaavoja ja se voidaan hienosäätää fppf-kanteen , jos se on tasainen, paikallisesti äärellinen tai paikallisesti äärellinen, sillä on tämä ominaisuus. tällaista ajatusta voidaan laajentaa edelleen tarkastelemalla ominaisuuksia, jotka ovat paikallisia joko kohteen tai morfismin lähteen lähellä . Kannessa sanomme, että ominaisuus on paikallinen lähde, jos${\ displaystyle X, Y \ operaattorinimessä {Ob} (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ to X \} _ {i \ in I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ Y}$on jos ja vain jos jokaisella on .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Kohteessa on analoginen käsite, jota kutsutaan paikalliseksi kohteena . Tämä tarkoittaa suojan antamista${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ to Y \} _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle f: X \ Y}$on jos ja vain jos jokaisella on .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ kertaa _ {Y} Y_ {i} \ - Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Fppf -topologiassa upottaminen on paikallista kohteessa. Aiempien ominaisuuksien lisäksi, jotka ovat paikallisia fppf -topologian lähteessä, yleisesti avoin on myös lähde. Lisäksi paikallisesti Noetherian ja Jacobson ovat paikallisia fppf -topologian lähteellä ja kohteella. Tämä ei päde fpqc -topologiaan, joten se ei ole "mukava" teknisten ominaisuuksien kannalta. Vaikka tämä on totta, algebrallisten pinojen käyttäminen fpqc -topologian päällä on edelleen käyttökelpoista, kuten kromaattisessa homotooppiteoriassa . Tämä johtuu siitä, että muodollisten ryhmälakien Moduli-pino on fpqc-algebrallinen pino ^{pg 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Edustettava lävistäjä

Määritelmän mukaan ryhmämuotoisten kuitujen 1-morfismi esitetään algebrallisilla tiloilla, mikä tarkoittaa, että on olemassa algebrallinen tila${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ - {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}^{\ mathrm {op}} \ operaattorinimelle {Sets}}$

niin, että siihen liittyvä kuituluokka vastaa . On olemassa useita vastaavia ehtoja diagonaalin edustettavuudelle, jotka auttavat antamaan intuitiota tästä teknisestä tilasta, mutta yksi tärkeimmistä motiiveista on seuraava: kaavion ja esineiden osalta nippu on edustettavissa algebrallisena avaruutena. Erityisesti pinoon kuuluvien pisteiden stabilointiryhmä voidaan esittää algebrallisena avaruutena. Toinen tärkeä vastaavuus, jolla on edustettava diagonaali, on tekninen ehto, jonka mukaan kahden algebrallisen tilan leikkaus algebrallisessa pinossa on algebrallinen tila. Uudelleen muotoiltu käyttämällä kuitutuotteita${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ - (F/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F/U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operaattorinimi {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operaattorinimi {Spec} (k) \ - {\ mathcal {X}} _ {\ operaattorinimi {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ kertaa _ {\ mathcal {X}} Z & \ & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ & & \ \ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

diagonaalin edustettavuus vastaa algebrallisen tilan edustavuutta . Tämä johtuu siitä, että kun otetaan huomioon algebrallisten tilojen morfismit , ne ulottuvat diagonaalisen kartan karttoihin . Algebrallisille tiloille on olemassa vastaava lausunto, joka antaa nipun edustavuuden algebralliseksi tilaksi. ${\ displaystyle Y \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ - {\ mathcal {X}}, Z \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ kertaa {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F/S) _ {fppf}}$

Huomaa, että analoginen diagonaalisen edustavuuden ehto pätee joihinkin korkeampien pinojen formulaatioihin, joissa kuitutuote on pino -pino . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Surjektiivinen ja sileä atlas

2-Yoneda-lemma

Olemassaolo järjestelmän ja 1-morfismi on kuituisen luokkiin , jotka on surjective ja sileä riippuu rajaa sileä ja surjective morphisms sekä kuituisen luokkiin. Tässä on edustettavan functorin algebrallinen pino, joka on päivitetty luokkiin, joka on kuitattu ryhmätyypeissä, joissa luokilla on vain triviaalit morfismit. Tämä tarkoittaa settiä${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch/S) _ {fppf}} (T, U)}$

pidetään luokkaan, jota merkitään , jossa esineitä kuin morphisms${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

ja morfismit ovat identiteettimorfismia. Siten

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ ryhmille}$

on 2-funktio ryhmäloideja. Tämän 2-functorin näyttäminen on nippu 2-Yoneda-lemman sisältö . Grothendieck -rakennetta käytettäessä on siihen liittyvä luokka, joka on kuituinen ryhmäkuiduissa . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$

Ryhmien edustavat morfismit, jotka on kuitattu ryhmäpohjissa

Jos haluat sanoa, että tämä morfismi on sileä tai surjektiivinen, meidän on otettava käyttöön edustavat morfismit. Morfismi luokkien kuituisen on groupoids yli sanotaan olevan esitettävissä, jos annetaan objektin sisään ja kohteen 2-kuituisen tuotteen${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ - {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

on edustettavissa kaavalla. Sitten voimme sanoa, että ryhmien fibroitujen luokkien morfismi on sileä ja surjektiivinen, jos siihen liittyvä morfismi${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ (Sch/T) _ {fppf}}$

järjestelmät ovat sujuvia ja surjektiivisia.

Deligne-Mumford-pinot

Algebralliset pinot, jotka tunnetaan myös nimellä Artin -pinot , on määritelmän mukaan varustettu sileällä surjektiivisella atlasilla , jossa on johonkin järjestelmään liittyvä pino . Jos atlas on lisäksi etale, sen sanotaan olevan Deligne-Mumford-pino . Deligne-Mumford-pinojen alaluokka on hyödyllinen, koska se tarjoaa oikean asetuksen monille luonnollisille pinoille, kuten algebrallisten käyrien moduulipinolle . Lisäksi ne ovat riittävän tiukkoja, jotta Deligne-Mumford-pinoissa pisteillä edustetussa objektissa ei ole äärettömän pieniä automorfismeja . Tämä on erittäin tärkeää, koska äärettömän pienet automorfismit vaikeuttavat Artin -pinojen muodonmuutosteorian tutkimista. Esimerkiksi Artin -pinon muodonmuutosteoriassa , joka on sijoitusvektoripakettien moduulipino , on äärettömän pieniä automorfismeja, joita osittain ohjaa Lie -algebra . Tämä johtaa loputtomaan muodonmuutosten ja esteiden sarjaan yleensä, mikä on yksi motiiveista vakaiden nippujen moduulien tutkimiseen . Vain linjanippujen muodonmuutosteorian erityistapauksessa muodonmuutosteoria on käsiteltävissä, koska siihen liittyvä Lie algebra on abelian . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ - {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [*/GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [*/GL_ {1}] = [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$

Huomaa, että monia pinoja ei voida luonnollisesti esittää Deligne-Mumford-pinoina, koska ne mahdollistavat vain äärelliset kannet tai algebralliset pinot, joissa on rajallinen kansi. Huomaa, että koska jokainen Etale-kansi on tasainen ja paikallisesti äärellinen, fppf-topologialla määritellyt algebralliset pinot ovat tämän teorian osa; mutta se on edelleen hyödyllinen, koska monet luonnossa olevat pinot ovat tässä muodossa, kuten käyrien moduulit . Myös tällaisten pinojen differentiaaligeometristä analogia kutsutaan orbifoldiksi . Etale-tila edellyttää 2-toimintoa${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} /S)^{\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

lähettää järjestelmä sen groupoid of - torsors on esitettävissä pinona yli Etale topologia, mutta Picard-pino on -torsors (vastaavasti ratatyypistä nippujen) ei ole esitettävissä. Tämän lomakkeen pinot voidaan esittää pinoina fppf-topologian päällä. Toinen syy huomioon fppf-topologia vastaan Etale topologia on yli tunnusomainen Kummer sekvenssin${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

on täsmällinen vain fppf -rivejen sekvenssinä, mutta ei etale -rivejen sekvenssinä.

Algebrallisten pinojen määrittäminen muihin topologioihin verrattuna

Muiden Grothendieck -topologioiden käyttäminen antaa vaihtoehtoisia teorioita algebrallisista pinoista, jotka eivät ole riittävän yleisiä tai eivät toimi hyvin suhteessa ominaisuuksien vaihtamiseen kannen pohjasta kannen kokonaistilaan. On hyödyllistä muistaa, että seuraava yleistyshierarkia on olemassa${\ displaystyle (F/S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

suurista topologioista . ${\ displaystyle (F/S)}$

Rakennehihna

Algebrallisen pinon rakennehihna on esine, joka on vedetty taakse sivuston yleisrakenteesta . Tämä universaalirakenne on määritelty seuraavasti${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ soittoäänille, {\ text {where}} U/X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

ja siihen liittyvä rakennekerros ryhmäkudoksissa kuitukategoriassa

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ - (Sch/S) _ {fppf}}$

on määritelty

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p^{-1} {\ mathcal {O}}}$

mistä tulee Grothendieck -topologioiden kartta. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että valhe on ohi , joten sitten . Koska järki tarkistaa, se kannattaa vertaamalla tätä luokkaan kuituisen sisään groupoids peräisin olevia -ohjelma eri topologioita. Esimerkiksi jos${\ displaystyle p^{-1}}$${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch/X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} } _ {X})}$

on luokka kuituisen vuonna groupoids yli , rakenne sheaf avoimen alajärjestelmistä antaa${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ to X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _) {X})}$

joten tämä määritelmä palauttaa kaavion klassisen rakenteen. Lisäksi osamääräisen pinon rakennehihna antaa vain -variaatio -osioita${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X/G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u^{*} {\ mathcal {O}} _ {X})^{G}}$

varten vuonna . ${\ displaystyle u: U \ to X}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

Esimerkkejä

Pinoiden luokittelu

Monet algebrallisten ryhmien luokittelupinot ovat algebrallisia pinoja. Itse asiassa algebralliselle ryhmätilalle sellaisen järjestelmän yllä, joka on tasainen äärelliseen esitykseen, pino on algebrallinen ^{lause 6.1} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Katso myös

• Gerbe
• Chow -ryhmä pinosta
• Pino cohomology
• Osamääräpino
• Sauva algebrallisella pinolla
• Toric -pino
• Artin kriteeri
• Pinoja jahtaavat
• Johdettu algebrallinen geometria

Viitteet

Ulkoiset linkit

Artinin aksioomat

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Katso "Aksioomit" ja "Algebralliset pinot"
• Artin algebrat ja osamäärät - Jarod Alper

Paperit

• Alper, Jarod (2009). "Opas kirjallisuuteen algebrallisista pinoista" (PDF) . S2CID  51803452 . Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 2020-02-13. Cite journal vaatii |journal=( apua )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbert -pino" . Matematiikan kehitystä . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Johdetut ℓ-adic-luokat algebrallisille pinoille" (PDF) . American Mathematical Societyin muistelmia . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Sovellukset

• Lafforgue, Vincent (2014). "Johdatus chtoucasiin pelkistäville ryhmille ja globaalille Langlandsin parametroinnille". arXiv : 1404.6416 [ matematiikkaAG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Yhden muuttujan modulaariset toiminnot II . Luennon muistiinpanoja matematiikassa. 349 . s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "Vakaan käyrän moduulitilan projektiivisuus, II: Pinot "${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Projektiivisten Higgs -nippujen moduulipinon rakentamisesta pintojen päälle". arXiv : 1911.00250 [ matematiikkaAG ].

Mathoverflow -säikeet

• Tyydyttävätkö algebralliset pinot fpqc -laskeutumisen?
• Pinot fpqc -topologiassa
• fpqc -pinojen kannet

Muut

• Esimerkkejä pinoista
• Huomautuksia Grothendieckin topologioista, kuituluokista ja polkumyynnin teoriasta
• Huomautuksia algebrallisista pinoista