Algebraický zásobník - Algebraic stack

V matematice je algebraický zásobník obrovskou generalizací algebraických prostorů nebo schémat , která jsou základem pro studium teorie modulů . Mnoho prostorů modulů je konstruováno pomocí technik specifických pro algebraické komíny, jako je Artinova věta o reprezentativnosti , která se používá ke konstrukci prostoru modulů špičatých algebraických křivek a modulu modulů eliptických křivek . Původně byly zavedeny společností Grothendieck, aby sledovaly automorfismy v modulových prostorech, což je technika, která umožňuje zacházet s těmito prostorovými moduly, jako by jejich základní schémata nebo algebraické prostory byly hladké . Michael Artin však prostřednictvím mnoha zobecnění nakonec objevil pojem algebraických hromádek . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definice

Motivace

Jedním z motivujících příkladů algebraického zásobníku je uvažovat o grupovém schématu nad fixním schématem . Například, je-li (kde je schéma skupina kořeny jednoty), , je projekce map, je akční skupina${\ Displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

a je multiplikační mapa${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}} (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ to \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$

na . Potom, vzhledem k -schématu , grupoidové schéma vytvoří groupoid (kde jsou jejich přidružené funktory). Tato konstrukce je navíc funktoriální při vytváření protichůdného 2-funktoru${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$${\ Displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$

${\ Displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ \ mathrm {Sch} /S)^{\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

kde je 2-kategorie z malých kategorií . Další způsob, jak to vidět, je vláknitá kategorie prostřednictvím konstrukce Grothendieck . Získání správné technické podmínky, jako je topologie Grothendieck o dává definici algebraické stohu. Například v přidruženém seskupení -bodů pro pole je nad objektem původu seskupení automorfismů . Všimněte si toho, že k získání algebraického zásobníku z , a ne jen zásobníku, jsou k tomu zapotřebí další technické hypotézy . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ Displaystyle [U /R] \ to (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S}^{n} (k)}$${\ Displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U/R]}$${\ displaystyle [U/R]}$

Algebraické komíny

Ukázalo se, že pomocí topologie fppf (věrně plochá a lokálně konečná prezentace) na , označených , tvoří základ pro definování algebraických zásobníků. Potom je algebraický zásobník vláknovou kategorií${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

takové to

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$je kategorie s vlákny v grupoidech , což znamená, že nadkategorie pro některé je groupoid${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$
2. Diagonální mapa vlákenných kategorií je reprezentovatelná jako algebraické prostory${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Existuje schéma a související 1-morfismus vlákenných kategorií, které je surjektivní a hladké, nazývané atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Vysvětlení technických podmínek

Použití topologie fppf

Nejprve se používá topologie fppf, protože se chová dobře s ohledem na sestup . Například pokud existují schémata a lze je upřesnit na fppf-cover , if is flat, locally finite type, or locally of finite presentation, then has this property. tento druh myšlenky lze dále rozšířit zvážením vlastností lokálních buď na cíli, nebo na zdroji morfismu . Pro krytí říkáme, že vlastnost je lokální ve zdroji, pokud${\ Displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ Displaystyle X \ až Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ to X \} _ {i \ in I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle f: X \ až Y}$má právě tehdy, když každý má .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ do Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Na cíli je analogický pojem zvaný lokální na cíli . To znamená dané krytí${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ to Y \} _ {i \ in I}}$

${\ Displaystyle f: X \ až Y}$má právě tehdy, když každý má .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ to Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

U topologie fppf je ponoření lokální na cíl. Kromě předchozích vlastností lokálních ve zdroji pro topologii fppf je univerzálně otevřené také lokální ve zdroji. Protože jsou lokálně Noetherian a Jacobson místní ve zdroji a cíli pro topologii fppf. To neplatí v topologii fpqc, takže to není tak „pěkné“ z hlediska technických vlastností. I když je to pravda, použití algebraických zásobníků přes topologii fpqc stále má své využití, například v teorii chromatické homotopy . Důvodem je, že modul formálních zákonů o skupinách je fpqc-algebraický zásobník na straně ⁴⁰ . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Reprezentativní úhlopříčka

Podle definice je 1-morfismus kategorií vláken v grupoidech reprezentovatelný algebraickými prostory, což znamená, že existuje algebraický prostor${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ Displaystyle F: (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}^{\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

tak, že související vláknitá kategorie je ekvivalentní . Existuje řada ekvivalentních podmínek pro reprezentovatelnost úhlopříčky, které pomáhají poskytnout intuici pro tento technický stav, ale jednou z hlavních motivací je následující: u schématu a objektů je svazek reprezentovatelný jako algebraický prostor. Zejména je skupina stabilizátorů pro jakýkoli bod v zásobníku reprezentovatelná jako algebraický prostor. Další důležitou rovnocenností reprezentovatelné úhlopříčky je technická podmínka, že průsečík jakýchkoli dvou algebraických prostorů v algebraickém zásobníku je algebraický prostor. Přeformulováno pomocí vlákenných produktů${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F/U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ to & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

reprezentovatelnost úhlopříčky je ekvivalentní reprezentovatelnosti pro algebraický prostor . Důvodem je, že vzhledem k morfismům z algebraických prostorů se rozšiřují na mapy z diagonální mapy. Existuje analogické tvrzení pro algebraické prostory, které dává reprezentaci svazku jako algebraického prostoru. ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F/S) _ {fppf}}$

Všimněte si toho, že analogická podmínka reprezentovatelnosti úhlopříčky platí pro některé formulace vyšších svazků, kde je vláknitý produkt zásobníkem pro -zásobník . ${\ Displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Objektivní a hladký atlas

2-Yoneda lemma

Existence schématu a 1-morfismu vlákenných kategorií, který je surjektivní a hladký, závisí na definování hladkého a surjektivního morfismu vlákenných kategorií. Zde je algebraický zásobník z reprezentovatelného funktoru při upgradu na kategorii s vlákny v grupoidech, kde kategorie mají pouze triviální morfismy. To znamená sadu${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch/S) _ {fppf}} (T, U)}$

je považován za kategorii, označovanou , s předměty v podobě morfismů${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

a morfismy jsou morfismus identity. Proto

${\ Displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Groupoids}$

je 2-funktor grupoidů. Ukázat tento 2-funktor je svazek je obsahem 2-Yoneda lemmatu . Pomocí konstrukce Grothendieck je označena přidružená kategorie s vlákny v grupoidech . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Reprezentativní morfismy kategorií vláken v grupoidech

Abychom řekli, že je tento morfismus hladký nebo surjektivní, musíme představit reprezentativní morfismy. Morfizmus kategorií fibrovaných v grupoidy než se říká, že representable jestliže daný objekt v a objekt 2-fibrovaných produkt${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

je reprezentovatelné schématem. Pak můžeme říci, že morfismus kategorií zařazených do skupinových hladin je hladký a surjektivní, pokud je přidružený morfismus${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch/T) _ {fppf}}$

schémat je plynulé a surjektivní.

Stohy Deligne-Mumford

Algebraické komíny, také známé jako Artinovy ​​komíny , jsou podle definice vybaveny hladkým surjektivním atlasem , kde je zásobník spojený s nějakým schématem . Pokud je atlas navíc étale, pak se říká, že je to stack Deligne-Mumford . Podtřída Deligne-Mumfordových stacků je užitečná, protože poskytuje správné nastavení pro mnoho uvažovaných přirozených stacků, například pro modul algebraických křivek . Navíc jsou dostatečně přísné, aby objekt reprezentovaný body v hromádkách Deligne-Mumford neměl nekonečně malé automorfismy . To je velmi důležité, protože nekonečně malé automorfismy velmi ztěžují studium teorie deformací Artinových komínů. Například teorie deformace Artinova zásobníku , modulů svazku řadových vektorových svazků, má nekonečně malé automorfismy částečně ovládané Lieovou algebrou . To vede k nekonečné posloupnosti deformací a obstrukcí obecně, což je jedna z motivací pro studium modulů stabilních svazků . Teorie deformace liniových svazků je pouze ve zvláštním případě teorie deformací liniových svazků zpracovatelná, protože přidružená Lieova algebra je abelianská . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [*/GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [*/GL_ {1}] = [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$

Všimněte si toho, že mnoho hromádek nelze přirozeně reprezentovat jako stohy Deligne-Mumford, protože to umožňuje pouze konečné kryty nebo algebraické komíny s konečnými kryty. Všimněte si toho, protože protože každý Etale cover je plochý a místně konečný, algebraické hromádky definované pomocí topologie fppf tuto teorii zahrnují; ale je to stále užitečné, protože mnoho hromádek nacházejících se v přírodě má tuto formu, například moduly křivek . Diferenciálně-geometrický analog těchto hromádek se také nazývá orbifolds . Podmínka Etale znamená 2-funktor${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ Displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} /S)^{\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

posílání schéma jeho grupoidu z - torsors je representable jako stoh topologii Etale, ale Picard-stack of -torsors (ekvivalentně kategorii tratě svazků) není reprezentovat. Zásobníky této formy lze reprezentovat jako zásobníky přes topologii fppf. Dalším důvodem pro posouzení fppf-topologie versus Etale topologie je přes charakteristické v sekvenci Kummer${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

je přesný pouze jako sekvence fppf snopů, ale ne jako sekvence etale snopů.

Definování algebraických zásobníků nad jinými topologiemi

Použití dalších topologií Grothendieck poskytuje alternativní teorie algebraických hromádek, které buď nejsou dostatečně obecné, nebo se nechovají dobře, pokud jde o výměnu vlastností ze základny krytu do celkového prostoru krytu. Je užitečné připomenout, že existuje následující hierarchie generalizace${\ displaystyle (F/S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

velkých topologií na . ${\ displaystyle (F/S)}$

Struktura svazku

Snop struktury algebraického svazku je objekt stažený ze svazku univerzální struktury na místě . Tento univerzální strukturní svazek je definován jako${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Rings, {\ text {where}} U/X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

a související strukturní svazek na kategorii vláknitých v grupoidech

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch/S) _ {fppf}}$

je definován jako

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p^{-1} {\ mathcal {O}}}$

odkud pochází z mapy topologií Grothendieck. Zejména to znamená, že lži skončily , takže , pak . Pro kontrolu duševního zdraví stojí za to to porovnat s kategorií založenou na grupoidech pocházejících ze schématu pro různé topologie. Například pokud${\ displaystyle p^{-1}}$${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch/X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} }_{X})}$

je kategorie s vlákny seskupená , struktura, kterou svazek pro otevřený subschém dává${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ to X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

takže tato definice obnovuje klasickou strukturu svazku na schématu. Navíc pro kvocientovou hromadu struktura svazku dává pouze -variantní sekce${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X/G]}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u^{*} {\ mathcal {O}} _ {X})^{G}}$

pro v . ${\ displaystyle u: U \ to X}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

Příklady

Klasifikace hromádek

Mnoho klasifikačních zásobníků pro algebraické skupiny jsou algebraické zásobníky. Ve skutečnosti pro algebraický skupinový prostor nad schématem, které je ploché konečných prezentací, je zásobník algebraickou ^{větou 6.1} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Viz také

• Gerbe
• Chow skupina hromádky
• Koohomologie hromádky
• Kvocient klastru
• Snop na algebraickém zásobníku
• Toric stack
• Artinovo kritérium
• Pronásledování hromádek
• Odvozená algebraická geometrie

Reference

externí odkazy

Artinovy ​​axiomy

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Podívejte se na „Axiomy“ a „Algebraické komíny“
• Artinova algebraizace a kvocientové hromádky - Jarod Alper

Doklady

• Alper, Jarod (2009). „Průvodce po literatuře o algebraických hromádkách“ (PDF) . S2CID  51803452 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2020-02-13. Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )
• Hall, Jacku; Rydh, David (2014). „Hilbertův zásobník“ . Pokroky v matematice . 253 : 194–233. arXiv : 1011,5484 . doi : 10,1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). „Odvozené ℓ-adické kategorie pro algebraické komíny“ (PDF) . Vzpomínky Americké matematické společnosti . 163 (774): 1–93. doi : 10,1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Aplikace

• Lafforgue, Vincent (2014). „Úvod do chtoucas pro redukční skupiny a do globální parametrizace Langlands“. arXiv : 1404,6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). „Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques“. Modulární funkce jedné proměnné II . Přednášky z matematiky. 349 . s. 143–316. doi : 10,1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). „Projekčnost modulového prostoru stabilních křivek, II: Zásobníky “${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10,7146/mat.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). „O konstrukci modulů hromady projektivních Higgsových svazků nad povrchy“. arXiv : 1911,00250 [ math.AG ].

Mathoverflow vlákna

• Uspokojují algebraické komíny sestup fpqc?
• Zásobníky v topologii fpqc
• fpqc kryty hromádek

jiný

• Příklady hromádek
• Poznámky k topologiím Grothendieck, vláknitým kategoriím a teorii sestupu
• Poznámky k algebraickým hromádkám