Cebirsel yığın - Algebraic stack

Matematikte, bir cebirsel yığın , modül teorisini incelemek için temel olan cebirsel uzayların veya şemaların geniş bir genellemesidir . Birçok modül uzayı, sivri cebirsel eğrilerin modül uzayını ve eliptik eğrilerin modül yığınını oluşturmak için kullanılan Artin'in temsil edilebilirlik teoremi gibi cebirsel yığınlara özgü teknikler kullanılarak oluşturulur . Başlangıçta, onlar modülü alanlarda üzerinde automorphisms parkuru, bunların altında yatan şemaları veya cebirsel alanlardır sanki bu moduli boşluk tedavisi için izin veren bir teknik tutmaya Grothendieck tanıtıldı pürüzsüz . Ancak, birçok genelleme yoluyla cebirsel yığınlar kavramı nihayet Michael Artin tarafından keşfedildi . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}_{g,n}}$

Tanım

Motivasyon

Cebirsel yığının motive edici örneklerinden biri, sabit bir şema üzerinde bir grupoid şema düşünmektir . Örneğin, eğer ( birliğin köklerinin grup şeması nerededir), , izdüşüm haritasıdır, grup eylemidir${\görüntüleme stili (R,U,s,t,m)}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$${\görüntüleme stili \mu _{n}}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}$${\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}$${\görüntüleme stili t}$

${\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n })}$

ve çarpım haritasıdır${\görüntüleme stili m}$

${\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _ {S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$

üzerinde . Daha sonra, bir -şema verildiğinde , grupoid şeması bir grupoid oluşturur ( ilişkili işlevler nerede ). Ayrıca, bu yapı, karşıt değişkenli bir 2-fonksiyon oluşturmada işlevseldir.${\görüntüleme stili \mu _{n}}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \pi :X\to S}$${\görüntüleme stili (R(X),U(X),s,t,m)}$${\görüntüleme stili R,U}$${\görüntüleme stili (\mathrm {Sch} /S)}$

${\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}$

burada bir 2-kategori içinde küçük kategorileri . Bunu görmenin başka bir yolu da Grothendieck yapısı aracılığıyla fiberli bir kategoridir . Gibi uygun teknik koşulları, alma Grothendieck topolojisi ile , bir cebirsel yığın tanımını vermektedir. Örneğin, bir alan için ilişkili -noktaların grupoidinde , orijin nesnesi üzerinde otomorfizmlerin grupoidi vardır . Sadece bir yığın değil, ' den cebirsel bir yığın elde etmek için , için ek teknik hipotezlerin gerekli olduğunu unutmayın . ${\displaystyle {\metin{Kedi}}}$ ${\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}$${\görüntüleme stili (\mathrm {Sch} /S)}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}$${\görüntüleme stili \mu _{n}(k)}$${\görüntüleme stili [U/R]}$${\görüntüleme stili [U/R]}$

cebirsel yığınlar

Bu kullanılarak döner FPPF-topoloji (sadakatle düz ve lokal sonlu sunum) ile gösterilir, cebirsel yığınlar tanımlamak için temel oluşturur. O halde cebirsel yığın , fiberli bir kategoridir.${\görüntüleme stili (\mathrm {Sch} /S)}$${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

öyle ki

1. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {X}}}$Bir edilmektedir kategori grupoidler içinde lifli anlamına overcategory bazıları için bir grupoid olur${\displaystyle \pi :X\to S}$
2. Lifli kategorilerin köşegen haritası cebirsel uzaylar olarak gösterilebilir.${\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}}$
3. Atlas adı verilen, örtük ve pürüzsüz olan lifli kategorilerin bir şeması ve ilişkili 1-morfizmi vardır .${\görüntüleme stili fppf}$${\ Displaystyle U\'dan S'ye}$${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$

Teknik koşulların açıklaması

fppf topolojisini kullanma

Her şeyden önce, fppf-topolojisi, inişe göre iyi davrandığı için kullanılır . Örneğin, şemalar varsa ve fppf-cover'a , if düzse , yerel olarak sonlu tipte veya yerel olarak sonlu sunuma dönüştürülebiliyorsa, bu özelliğe sahiptir. bu tür bir fikir, bir morfizmin hedefinde veya kaynağında yerel özellikleri göz önünde bulundurarak daha da genişletilebilir . Bir kapak için, bir mülkün kaynakta yerel olduğunu söylüyoruz , eğer${\displaystyle X,Y\in \operatöradı {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}$${\ Displaystyle X\'ten Y'ye}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$vardır her ancak ve ancak sahiptir .${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\displaystyle X_{i}\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

Hedefte yerel olarak adlandırılan hedef üzerinde benzer bir kavram vardır . Bu, verilen bir kapak anlamına gelir${\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}$

${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$vardır her ancak ve ancak sahiptir .${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

fppf topolojisi için, bir daldırma hedef üzerinde yereldir. fppf topolojisi için kaynakta yerel olan önceki özelliklere ek olarak, evrensel olarak açık olmak da kaynakta yereldir. Ayrıca, yerel olarak Noetherian ve Jacobson olmak, fppf topolojisi için kaynak ve hedef üzerinde yereldir. Bu, fpqc topolojisinde tutmaz, bu da onu teknik özellikler açısından "güzel" yapmaz. Bu doğru olsa da, fpqc topolojisi üzerinde cebirsel yığınların kullanılması, kromatik homotopi teorisinde olduğu gibi hala kullanımına sahiptir . Bunun nedeni, biçimsel grup yasalarının Moduli yığınının bir fpqc-cebirsel yığın ^{pg 40 olmasıdır} . ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}_{fg}}$

temsil edilebilir köşegen

Tanım olarak, grupoidlerde liflenmiş kategorilerin 1-morfizmi cebirsel uzaylarla temsil edilebilir, yani cebirsel bir uzay vardır.${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle F:(\mathrm {Sch} /S)_{fppf}^{\mathrm {op} }\to \operatöradı {Sets} }$

öyle ki ilgili fiberli kategori ' ye eşdeğerdir . Köşegenin temsil edilebilirliği için bu teknik koşul için sezgi vermeye yardımcı olan bir dizi eşdeğer koşul vardır, ancak ana motivasyonlardan biri şudur: bir şema ve nesneler için demet cebirsel bir uzay olarak temsil edilebilir. Özellikle, yığın üzerindeki herhangi bir nokta için sabitleyici grup bir cebirsel uzay olarak gösterilebilir. Temsil edilebilir bir köşegene sahip olmanın bir diğer önemli eşdeğeri, bir cebirsel yığındaki herhangi iki cebirsel uzayın kesişiminin bir cebirsel uzay olduğu teknik koşuludur. Fiber ürünler kullanılarak yeniden formüle edildi${\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (F/S)_{fppf}}$${\displaystyle (F/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle x,y\in \operatöradı {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}$${\displaystyle \operatöradı {Isom} (x,y)}$${\displaystyle x:\operatöradı {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatöradı {Spec} (k)}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}} }$

köşegenin temsil edilebilirliği, bir cebirsel uzay için temsil edilebilir olmaya eşdeğerdir . Bunun nedeni , cebirsel uzaylardan verilen morfizmlerin köşegen haritadan haritalara uzanmasıdır . Cebirsel uzaylar için , cebirsel uzay olarak bir demetin temsil edilebilirliğini veren benzer bir ifade vardır . ${\displaystyle Y\to {\matematiksel {X}}}$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}$${\görüntüleme stili (F/S)_{fppf}}$

Köşegenin benzer bir temsil edilebilirlik koşulunun , fiber ürünün bir -yığın için bir -yığın olduğu bazı daha yüksek yığın formülasyonları için geçerli olduğuna dikkat edin . ${\görüntüleme stili (n-1)}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {X}}}$

Yüzeysel ve pürüzsüz atlas

2-Yoneda lemması

Lifli kategorilerin bir şema ve örtülü ve pürüzsüz olan 1-morfizminin varlığı, elyaflı kategorilerin düzgün ve örtülü bir morfizmlerinin tanımlanmasına bağlıdır. İşte Temsil funktor gelen cebirsel yığını üzerinde kategoriler yalnızca önemsiz morfizimler sahip grupoidler içinde lifli bir kategoriye yükseltildi. Bu, küme anlamına gelir${\görüntüleme stili fppf}$${\ Displaystyle U\'dan S'ye}$${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$${\ Displaystyle h_{U}}$${\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\Kümelere}$

${\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}$

morfizm olarak nesnelerle gösterilen bir kategori olarak kabul edilir.${\displaystyle h_{\matematiksel {U}}(T)}$${\displaystyle h_{U}(T)}$${\görüntüleme stili fppf}$

${\displaystyle f:T\to U}$

ve morfizmler kimlik morfizmidir. Buradan

${\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}$

grupoidlerin 2-fonksiyonudur. Bu 2-fonksiyonun bir demet olduğunu göstermek 2-Yoneda lemmasının içeriğidir . Grothendieck yapısını kullanarak, belirtilen grupoidlerde liflenmiş ilişkili bir kategori vardır . ${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$

Grupoidlerde liflenmiş kategorilerin temsil edilebilir morfizmleri

Bu morfizmin düzgün veya örtük olduğunu söylemek için temsil edilebilir morfizmleri tanıtmamız gerekir. Bir morfizmanın grupoidler olarak lifli kategorilerden üzerinde bir nesne verilirse gösterilebilir olduğu söylenir içinde bir nesne ve 2-fiberli ürün${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\ Displaystyle T\'den S'ye}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}$

bir şema ile temsil edilebilir. O halde, grupoidlerde liflenmiş kategorilerin morfizminin, eğer ilişkili morfizm varsa , düzgün ve örtük olduğunu söyleyebiliriz.${\görüntüleme stili p}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}$

şemaların pürüzsüz ve surjective olduğunu.

Deligne-Mumford yığınları

Olarak da bilinen cebirsel yığınlar, Artin yığınlar , pürüzsüz örten atlas donatılmış tanımı gereği , bir şemaya bağlı yığın . Atlas ayrıca étale ise, o zaman bir Deligne-Mumford yığını olduğu söylenir . Deligne-Mumford yığınlarının alt sınıfı , cebirsel eğrilerin modül yığını gibi düşünülen birçok doğal yığın için doğru ayarı sağladığı için kullanışlıdır . Ek olarak, Deligne-Mumford yığınlarında noktalarla temsil edilen nesnenin sonsuz küçük otomorfizmleri olmayacak kadar katıdırlar . Bu çok önemlidir çünkü sonsuz küçük otomorfizmalar Artin yığınlarının deformasyon teorisini çalışmayı çok zorlaştırır. Örneğin, sıra vektör demetlerinin modül yığını olan Artin yığınının deformasyon teorisi, kısmen Lie cebiri tarafından kontrol edilen sonsuz küçük otomorfizmlere sahiptir . Bu, genel olarak, kararlı demetlerin modüllerini incelemek için motivasyonlardan biri olan sonsuz bir deformasyon ve engeller dizisine yol açar . İlişkili Lie cebiri değişmeli olduğundan, sadece çizgi demetlerinin deformasyon teorisinin özel durumunda deformasyon teorisi izlenebilirdir . ${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$${\ Displaystyle U\'dan S'ye}$${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}\to {\Mathcal {X}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {X}}}$${\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}$${\görüntüleme stili n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}$

Birçok yığının doğal olarak Deligne-Mumford yığınları olarak temsil edilemeyeceğini unutmayın, çünkü yalnızca sonlu örtülere veya sonlu örtülere sahip cebirsel yığınlara izin verir. Her Etale örtüsü düz ve yerel olarak sonlu sunuma sahip olduğundan, fppf-topolojisi ile tanımlanan cebirsel yığınların bu teoriyi içerdiğine dikkat edin; ancak, eğrilerin modülleri gibi doğada bulunan birçok yığın bu biçimde olduğu için yine de yararlıdır . Ayrıca, bu tür yığınların diferansiyel-geometrik analoğuna orbifoldlar denir . Etale koşulu 2 işlevli anlamına gelir${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}_{g}}$

${\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}$

onun grupoidinin için bir program gönderme - torsörlerin Etale topolojisi üzerinden bir istif ama Picard-yığını gibi temsil edilebilir olan bir -torsors (hat demetlerinin eşit kategori) Temsil değildir. Bu formun yığınları, fppf-topolojisi üzerinde yığınlar olarak temsil edilebilir. Etale topolojisine karşı fppf topolojisini düşünmenin bir başka nedeni de Kummer dizisinin aşırı karakteristiğidir .${\görüntüleme stili \mu _{n}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\görüntüleme stili p}$

${\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}$

yalnızca bir fppf demeti dizisi olarak kesindir, ancak bir eta demeti dizisi olarak kesin değildir.

Cebirsel yığınları diğer topolojilere göre tanımlama

Üzerinde diğer Grothendieck topolojilerini kullanmak , ya yeterince genel olmayan ya da bir kapağın tabanından bir kapağın toplam alanına özelliklerin değiş tokuşu ile ilgili olarak iyi davranmayan alternatif cebirsel yığın teorileri verir. Aşağıdaki genelleme hiyerarşisinin olduğunu hatırlamakta fayda var.${\görüntüleme stili (F/S)}$

${\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{pürüzsüz}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}$

üzerinde büyük topolojiler . ${\görüntüleme stili (F/S)}$

Yapı demeti

Bir cebirsel yığının yapı demeti , sahadaki evrensel bir yapı demetinden geri çekilen bir nesnedir . Bu evrensel yapı demeti şu şekilde tanımlanır:${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ burada }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O }}_{U})}$

ve grupoidlerde liflenmiş bir kategorideki ilişkili yapı demeti

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}$

olarak tanımlanır

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}$

Grothendieck topolojilerinin haritasından nereden geliyor. Özel olarak, bu aracı olduğu üzerine yatar , bu nedenle , daha sonra . Bir sağlamlık denetimi gibi, bir kategoriye bu karşılaştırarak 's değerinde bir gelen grupoidler içinde fiberli -Düzenleme çeşitli topolojilerinde. örneğin, eğer${\görüntüleme stili p^{-1}}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili p(x)=U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O} }_{X})}$

üzerinde grupoidlerde liflenmiş bir kategoridir , açık bir alt şema için yapı demeti verir${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$${\ Displaystyle U\to X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_ {X})}$

dolayısıyla bu tanım, bir şemadaki klasik yapı demetini kurtarır. Ayrıca, bir bölüm yığını için , yapı demeti bu sadece -invariant bölümlerini verir${\görüntüleme stili {\matematiksel {X}}=[X/G]}$${\görüntüleme stili G}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}$

için de . ${\displaystyle u:U\to X}$${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

Örnekler

Yığınları sınıflandırma

Cebirsel gruplar için birçok sınıflandırma yığını, cebirsel yığınlardır. Aslında, sonlu sunumun düz olduğu bir şema üzerinde bir cebirsel grup uzayı için yığın cebirsel ^{teorem 6.1'dir} . ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili BG}$

Ayrıca bakınız

• Gerbe
• Bir yığının Chow grubu
• Bir yığının kohomolojisi
• bölüm yığını
• Cebirsel bir yığın üzerinde demet
• torik yığını
• Artin'in kriteri
• Yığınların Peşinde
• Türetilmiş cebirsel geometri

Referanslar

Dış bağlantılar

Artin'in Aksiyomları

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - "Axioms" ve "Cebirsel yığınlara" bakın
• Artin Cebirleştirme ve Bölüm Yığınları - Jarod Alper

Kağıtlar

• Alper, Jarod (2009). "Cebirsel Yığınlar Üzerine Literatür Rehberi" (PDF) . S2CID  51803452 . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 2020-02-13 tarihinde. Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )
• Salon Jack; Rydh, David (2014). "Hilbert yığını" . Matematikte Gelişmeler . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Cebirsel Yığınlar için Türetilmiş ℓ-Adic Kategorileri" (PDF) . Amerikan Matematik Derneği Anıları . 163 (774): 1-93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN'si 978-1-4704-0372-0.

Uygulamalar

• Lafforgue, Vincent (2014). "İndirgeyici gruplar için chtoucas'a ve küresel Langlands parametreleştirmesine giriş". arXiv : 1404.6416 [ matematik.AG ].
• Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Tek Değişkenli Modüler Fonksiyonlar II . Matematik Ders Notları. 349 . s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN'si 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "Kararlı eğrilerin modül uzayının projetivitesi, II: Yığınlar "${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}_{g,n}}$ . Mathematica İskandinavya . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Yüzeyler üzerinde projektif Higgs demetlerinin modül yığınının inşası üzerine". arXiv : 1911.00250 [ matematik.AG ].

Mathoverflow konuları

• Cebirsel yığınlar fpqc inişini sağlıyor mu?
• fpqc topolojisindeki yığınlar
• yığınların fpqc kapakları

Başka

• Yığın Örnekleri
• Grothendieck topolojileri, fiberli kategoriler ve iniş teorisi üzerine notlar
• Cebirsel yığınlar hakkında notlar