Algebraisk stak - Algebraic stack

I matematik er en algebraisk stak en omfattende generalisering af algebraiske rum eller skemaer , der er grundlæggende for at studere moduli -teori . Mange moduli -rum er konstrueret ved hjælp af teknikker, der er specifikke for algebraiske stakke, såsom Artins sætningssætning , der bruges til at konstruere moduli -rummet for spidse algebraiske kurver og moduli -stakken af ​​elliptiske kurver . Oprindeligt blev de introduceret af Grothendieck for at holde styr på automorfismer på moduli -rum, en teknik, der gør det muligt at behandle disse moduli -rum, som om deres underliggende skemaer eller algebraiske rum er glatte . Men gennem mange generaliseringer blev ideen om algebraiske stakke endelig opdaget af Michael Artin . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definition

Motivering

Et af de motiverende eksempler på en algebraisk stak er at overveje et groupoid -skema frem for et fast skema . For eksempel, hvis (hvor er gruppeskemaet for enhedens rødder) , er projektionskortet, er gruppeaktionen${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

og er multiplikationskortet${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}} (\ mu _ {n} \ gange _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ til \ mu _ {n} \ gange _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$

på . Derefter gives en -ordningen , den groupoid ordning danner en groupoid (hvor er deres tilknyttede functors). Desuden er denne konstruktion funktional til dannelse af en kontravariant 2-funktor${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ til S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} /S)^{\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

hvor er 2-kategorien af små kategorier . En anden måde at se dette på er som en fiberartet kategori gennem Grothendieck -konstruktionen . At få de korrekte tekniske betingelser, såsom Grothendieck topologi på , giver definitionen af en algebraisk stak. For eksempel er der i den tilknyttede gruppoid af -punkter for et felt , over oprindelsesobjektet gruppen af ​​automorfismer . Bemærk, at for at få en algebraisk stak fra , og ikke kun en stak, er der yderligere tekniske hypoteser påkrævet for . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U /R] \ to (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S}^{n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U/R]}$${\ displaystyle [U/R]}$

Algebraiske stakke

Det viser sig at bruge fppf-topologi (trofast fladt og lokalt med endelig præsentation) på , betegnet , danner grundlaget for at definere algebraiske stakke. Derefter er en algebraisk stak en fiberbaseret kategori${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

sådan at

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$er en kategori indeholdt i groupoids , hvilket betyder, at overkategorien for nogle er en groupoid${\ displaystyle \ pi: X \ til S}$
2. Det diagonale kort over fiberede kategorier kan repræsenteres som algebraiske rum${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Der findes en ordning og en tilhørende 1-morfisme af fiberede kategorier, som er surjektiv og glat kaldet et atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ til S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$

Forklaring af tekniske forhold

Brug af fppf topologi

Først og fremmest bruges fppf-topologien, fordi den opfører sig godt med hensyn til nedstigning . For eksempel, hvis der er skemaer og kan forfines til et fppf-cover af , hvis det er fladt, lokalt endelig type eller lokalt med endelig præsentation, så har denne egenskab. denne form for idé kan udvides yderligere ved at overveje egenskaber lokale enten på målet eller kilden til en morfisme . For et cover siger vi, at en ejendom er lokal på kilden if${\ displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle X \ til Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ til Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ til X \} _ {i \ i I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ til Y}$har hvis og kun hvis hver har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ til Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Der er en analog forestilling om målet kaldet lokal på målet . Det betyder, at man får et dækning${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ til Y \} _ {i \ i I}}$

${\ displaystyle f: X \ til Y}$har hvis og kun hvis hver har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ til Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

For fppf -topologien er det at have en nedsænkning lokal på målet. Ud over de tidligere egenskaber lokalt på kilden til fppf -topologien, er universelt åben også lokal på kilden. Også lokalt er Noetherian og Jacobson lokale på kilden og målet for fppf -topologien. Dette holder ikke i fpqc -topologien, hvilket gør det ikke så "pænt" med hensyn til tekniske egenskaber. Selvom dette er sandt, har brug af algebraiske stakke over fpqc -topologien stadig sin brug, såsom i kromatisk homotopiteori . Dette skyldes, at Moduli-stakken med formelle gruppelove er en fpqc-algebraisk stak ^{s. 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Repræsentant diagonal

Per definition er en 1-morfisme af kategorier, der er fiberet i groupoids, repræsenteret af algebraiske rum, hvilket betyder, at der findes et algebraisk rum${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ til {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}^{\ mathrm {op}} \ til \ operatorname {Sets}}$

sådan, at den tilhørende fiberkategori svarer til . Der er en række ækvivalente betingelser for diagonalets repræsentabilitet, som hjælper med at give intuition for denne tekniske tilstand, men en af ​​hovedmotiveringerne er følgende: for et skema og objekter kan skiven repræsenteres som et algebraisk rum. Især stabiliseringsgruppen for ethvert punkt på stakken kan repræsenteres som et algebraisk rum. En anden vigtig ækvivalens for at have en repræsentabel diagonal er den tekniske betingelse, at skæringspunktet mellem to algebraiske rum i en algebraisk stak er et algebraisk rum. Reformuleret ved hjælp af fiberprodukter${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F/U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ nedpil && \ downarrow \\ Z & \ til & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

diagonalens repræsentabilitet svarer til at være repræsentativ for et algebraisk rum . Dette skyldes, at givet morfismer fra algebraiske rum, strækker de sig til kort fra det diagonale kort. Der er en analog erklæring for algebraiske rum, der giver repræsentabilitet af et skår på som et algebraisk rum. ${\ displaystyle Y \ til {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F/S) _ {fppf}}$

Bemærk, at en analog tilstand af diagonalets repræsentabilitet gælder for nogle formuleringer af højere stakke, hvor fiberproduktet er en -stabel for en -stabel . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Surjektiv og glat atlas

2-Yoneda lemma

Eksistensen af ​​en ordning og en 1-morfisme af fiberede kategorier, som er surjektiv og glat, afhænger af at definere en glat og surjektiv morfisme af fiberede kategorier. Her er den algebraiske stak fra den repræsentative funktor på opgraderet til en kategori fiberet i groupoids, hvor kategorierne kun har trivielle morfismer. Dette betyder sættet${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ til S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch/S) _ {fppf}} (T, U)}$

betragtes som en kategori, betegnet med objekter som morfisme${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ til U}$

og morfisme er identitetsmorfismen. Derfor

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Groupoids}$

er en 2-funktor af groupoids. At vise denne 2-funktor er et skår er indholdet af 2-Yoneda-lemmaet . Ved hjælp af Grothendieck -konstruktionen er der en tilhørende kategori, der er fiberet i gruppoider betegnet . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$

Repræsentative morfismer af kategorier fiberede i groupoids

For at sige, at denne morfisme er glat eller subjektiv, er vi nødt til at introducere repræsentative morfismer. En morfisme af kategorier, der er fiberet i groupoids over , siges at være repræsentativ, hvis den gives et objekt i og en genstand det 2-fiberede produkt${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ til {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ til S}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ i {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

er repræsentativ ved en ordning. Derefter kan vi sige, at morfismen i kategorier, der er indeholdt i gruppoider, er glat og subjektiv, hvis den tilhørende morfisme${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch/T) _ {fppf}}$

af ordninger er glat og overlagt.

Deligne-Mumford stabler

Algebraiske stakke, også kendt som Artin -stakke , er pr. Definition udstyret med et jævnt surjektivt atlas , hvor er stakken forbundet med et eller andet skema . Hvis atlaset i øvrigt er étalt, siges det at være en Deligne-Mumford-stak . Underklassen af ​​Deligne-Mumford-stakke er nyttig, fordi den giver den korrekte indstilling for mange naturlige stakke, der overvejes, såsom moduli-stakken af ​​algebraiske kurver . Derudover er de strenge nok til, at objekt repræsenteret ved punkter i Deligne-Mumford-stakke ikke har uendelig lille automorfisme . Dette er meget vigtigt, fordi infinitesimale automorfismer gør det meget svært at studere deformationsteorien for Artin -stakke. For eksempel har deformationsteorien for Artin -stakken , moduli -stakken af rangvektorbundter, infinitesimale automorfismer, der delvist styres af Lie -algebraen . Dette fører til en uendelig sekvens af deformationer og forhindringer generelt, hvilket er en af ​​motivationerne for at studere moduler af stabile bundter . Kun i specialtilfældet for deformationsteorien for linjebundter kan deformationsteorien behandles, da den tilhørende Lie -algebra er abelsk . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ til S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ til {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [*/GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [*/GL_ {1}] = [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$

Bemærk, at mange stakke ikke naturligt kan repræsenteres som Deligne-Mumford-stakke, fordi det kun tillader begrænsede dæksler eller algebraiske stakke med endelige dæksler. Bemærk, at fordi ethvert Etale-cover er fladt og lokalt med endelig præsentation, underbygger algebraiske stakke defineret med fppf-topologien denne teori; men det er stadig nyttigt, da mange stakke, der findes i naturen, er af denne form, såsom kurvenes moduler . Også den differentialgeometriske analog af sådanne stakke kaldes orbifolds . Etale-tilstanden indebærer 2-funktioner${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} /S)^{\ text {op}} \ til {\ text {Cat}}}$

afsendelse af en ordning til sin groupoid af - torsors er repræsenteres som en stak over Etale topologi, men Picard-stakken af -torsors (ækvivalent kategorien af bundter line) er ikke repræsenteres. Stakke af denne form kan repræsenteres som stakke over fppf-topologien. En anden grund til at overveje fppf-topologi kontra etale-topologien er overkarakteristisk for Kummer-sekvensen${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

er kun nøjagtig som en sekvens af fppf skiver, men ikke som en sekvens af etalskiver.

Definere algebraiske stakke frem for andre topologier

Brug af andre Grothendieck -topologier på giver alternative teorier om algebraiske stakke, som enten ikke er generelle nok, eller som ikke opfører sig godt med hensyn til at udveksle egenskaber fra bunden af ​​et dæksel til det samlede rum af et dæksel. Det er nyttigt at huske, at der er følgende generaliseringshierarki${\ displaystyle (F/S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}}$

af store topologier på . ${\ displaystyle (F/S)}$

Strukturskærv

Strukturarket af en algebraisk stak er et objekt trukket tilbage fra et universelt strukturskår på stedet . Denne universelle strukturskive defineres som${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Rings, {\ text {where}} U/X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

og den tilhørende strukturskår på en kategori, der er fiberet i gruppoider

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ til (Sch/S) _ {fppf}}$

er defineret som

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p^{-1} {\ mathcal {O}}}$

hvor kommer fra kortet over Grothendieck -topologier. Især betyder dette, er ligger i , så , så . Som en sundhedstjek er det værd at sammenligne dette med en kategori, der er sammensat af gruppoider, der kommer fra en -ordning for forskellige topologier. For eksempel hvis${\ displaystyle p^{-1}}$${\ displaystyle x \ i {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch/X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} }_{X})}$

er en kategori fibered i groupoids flere end strukturen neg for en åben underordning giver${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ til X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

så denne definition gendanner den klassiske strukturskive på et skema. Desuden for en kvotient stak , strukturen neg dette blot giver -invariant sektioner${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X/G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u^{*} {\ mathcal {O}} _ {X})^{G}}$

for i . ${\ displaystyle u: U \ til X}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

Eksempler

Klassificering af stakke

Mange klassificeringsstakke for algebraiske grupper er algebraiske stakke. Faktisk for et algebraisk gruppeareal over et skema, der er fladt med endelig præsentation, er stakken algebraisk ^{sætning 6.1} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Se også

• Gerbe
• Chow gruppe af en stak
• Kohomologi af en stak
• Kvotient stak
• Skære på en algebraisk stak
• Torisk stak
• Artins kriterium
• Forfølger stakke
• Afledt algebraisk geometri

Referencer

eksterne links

Artins aksiomer

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Se på "aksiomer" og "algebraiske stakke"
• Artin algebraisering og kvotientstakke - Jarod Alper

Papirer

• Alper, Jarod (2009). "En guide til litteraturen om algebraiske stakke" (PDF) . S2CID  51803452 . Arkiveret fra originalen (PDF) den 2020-02-13. Citer journal kræver |journal=( hjælp )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbert -stakken" . Fremskridt inden for matematik . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Afledte ℓ-Adiske kategorier til algebraiske stakke" (PDF) . Erindringer fra American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Ansøgninger

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introduktion til chtoucas til reduktive grupper og til den globale Langlands parameterisering". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Modulære funktioner i en variabel II . Forelæsningsnotater i matematik. 349 . s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "Projektiviteten af ​​modulrummet for stabile kurver, II: Stablerne "${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Om konstruktionen af ​​moduli -stak projekterende Higgs -bundter over overflader". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Mathoverflow -tråde

• Tilfredsstiller algebraiske stakke fpqc -afstamning?
• Stakke i fpqc -topologien
• fpqc dæksler af stakke

Andet

• Eksempler på stakke
• Noter om Grothendieck -topologier, fiberkategorier og nedstigningsteori
• Noter om algebraiske stakke