Kvotientstabel - Quotient stack

I algebraisk geometri er en kvotestabel en stabel som parametriserer ekvivalente objekter. Geometrisk generaliserer det en kvotient av et opplegg eller en variant av en gruppe: en kvotientvariant, for eksempel, ville være en grov tilnærming til en kvotestabel.

Forestillingen er av grunnleggende betydning i studiet av stabler: en stabel som oppstår i naturen er ofte enten en kvotestabel i seg selv eller innrømmer en stratifisering med kvotestabler (f.eks. En Deligne - Mumford -stabel .) En kvotestabel brukes også til å konstruere andre stabler som å klassifisere stabler .

Definisjon

En kvotestabel er definert som følger. La G være en affin jevn gruppeskjema over et skjema S og X et S -skjema som G virker på . La oss være kategorien over kategorien S -ordninger: ${\ displaystyle [X/G]}$

et objekt over T er et hoved G -bunt sammen med ekvivalente kart ; ${\ displaystyle P \ til T}$ ${\ displaystyle P \ til X}$
en pil fra til er et buntkart (dvs. danner et kommutativt diagram) som er kompatibelt med ekvivalente kart og . ${\ displaystyle P \ til T}$ ${\ displaystyle P '\ to T'}$ ${\ displaystyle P \ til X}$ ${\ displaystyle P '\ til X}$

Anta at kvoten eksisterer som et algebraisk mellomrom (for eksempel ved teoremet Keel - Mori ). Det kanoniske kartet ${\ displaystyle X/G}$

{\ displaystyle [X/G] \ til X/G}

,

som sender en bunt P over T til et tilsvarende T -punkt, trenger ikke være en isomorfisme av stabler; det vil si at mellomrommet "X/G" vanligvis er grovere. Det kanoniske kartet er en isomorfisme hvis og bare hvis stabilisatorene er trivielle (i så fall finnes.) ${\ displaystyle X/G}$

Generelt er en Artin -stabel (også kalt algebraisk stabel). Hvis stabilisatorene til de geometriske punktene er begrensede og reduserte, er det en Deligne - Mumford -stabel . ${\ displaystyle [X/G]}$

Burt Totaro ( 2004 ) har vist: la X være en normal noeterisk algebraisk stabel hvis stabilisatorgrupper på lukkede punkter er affine. Da er X en kvotestabel hvis og bare hvis den har oppløsningsegenskapen ; dvs. at hver sammenhengende skive er en kvotient av en vektorgruppe. Tidligere beviste Robert Wayne Thomason at en kvotestabel har oppløsningsegenskapen.

Eksempler

En effektiv kvotbunn , f.eks. Der handlingen bare har begrensede stabilisatorer på det glatte rommet , er et eksempel på en kvotestabel. ${\ displaystyle [M/G]}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$

Hvis med ubetydelig innvirkning av G (ofte S er et punkt), så blir kalt klassifiserings stabel av G (i analogi med den klassifiserings plass av G ), og blir vanligvis merket med BG . Borels teorem beskriver kohomologiringen til den klassifiserende bunken. ${\ displaystyle X = S}$ ${\ displaystyle [S/G]}$

Moduler av linjebunter

Et av de grunnleggende eksemplene på kvotestabler kommer fra modulbunken med linjebunter over eller over for den trivielle handlingen på . For enhver ordning (eller -Skjema) , de poeng av modulene stabelen er groupoid av hoved -bundles . ${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$ ${\ displaystyle {\ text {Sch}}}$ ${\ displaystyle [S/\ mathbb {G} _ {m}]}$ ${\ displaystyle {\ text {Sch}}/S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle P \ til X}$

Moduler av linjebunter med n-seksjoner

Det er en annen nært beslektet moduli -stabel gitt som er modulibunken med linjebunter med -seksjoner. Dette følger direkte av definisjonen av kvotestabler evaluert på poeng. For en ordning , de poeng er groupoid hvis objektene er gitt ved settet ${\ displaystyle [\ mathbb {A} ^{n}/\ mathbb {G} _ {m}]}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [\ mathbb {A} ^{n}/\ mathbb {G} _ {m}] (X) = \ left \ {{\ begin {matrix} P & \ to & \ mathbb {A} ^{n } \\\ pil ned && \\ X \ end {matrise}}: {\ start {justert} & P \ til \ mathbb {A} ^{n} {\ tekst {er}} \ mathbb {G} _ {m} {\ text {equivariant and}} \\ & P \ to X {\ text {is a principal}} \ mathbb {G} _ {m} {\ text {-bundle}} \ end {align}} \ right \} }$

Morfismen i den øverste raden tilsvarer seksjonene til den tilhørende linjebunten over . Dette kan bli funnet ved å legge merke til et -kvivalent kart og begrense det til fiberen gir de samme dataene som en del av pakken. Dette kan kontrolleres ved å se på et diagram og sende et punkt til kartet , og bemerker settet med -equivariant kart er isomorf med . Denne konstruksjonen globaliseres deretter ved å lime affinekart sammen, og gir en global del av pakken. Siden -kvivalente kart til tilsvarende er en -toppel -kvivalente kart til , holder resultatet. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ phi: P \ to \ mathbb {A} ^{1}}$ ${\ displaystyle P | _ {x}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle x \ i X}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle P | _ {x} \ to \ mathbb {A} ^{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{1}}$

Moduler av formelle gruppelover

Eksempel: La L være Lazard -ringen ; dvs., . Deretter stiger kvotienten med , ${\ displaystyle L = \ pi _ {*} \ operatorname {MU}}$ ${\ displaystyle [\ operatorname {Spec} L/G]}$ ${\ displaystyle G}$