Algebraisk stack - Algebraic stack

I matematik är en algebraisk stack en omfattande generalisering av algebraiska utrymmen eller scheman som är grundläggande för att studera modulteori . Många moduli -utrymmen konstrueras med hjälp av tekniker som är specifika för algebraiska staplar, såsom Artins representabilitetsteorem , som används för att konstruera modulrummet för spetsiga algebraiska kurvor och modulistacken för elliptiska kurvor . Ursprungligen introducerades de av Grothendieck för att hålla reda på automorfismer på moduli -utrymmen, en teknik som gör det möjligt att behandla dessa moduli -utrymmen som om deras underliggande scheman eller algebraiska utrymmen är släta . Men genom många generaliseringar upptäcktes slutligen begreppet algebraiska stackar av Michael Artin . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Definition

Motivering

Ett av de motiverande exemplen på en algebraisk stack är att överväga ett groupoid -schema framför ett fast schema . Till exempel, om (var är gruppschemat med enhetens rötter) , är projektionskartan, gruppåtgärden${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

och är multiplikationskartan${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}} (\ mu _ {n} \ gånger _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}) \ till \ mu _ {n} \ gånger _ {S} \ mathbb {A} _ {S}^{n}}$

på . Sedan ges en -program , den groupoid systemet bildar en groupoid (där är tillhörande funktorer). Dessutom är denna konstruktion funktionell för att bilda en kontravariant 2-funktioner${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi: X \ till S}$${\ displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$${\ displaystyle R, U}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} /S)^{\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

var är 2-kategorin av små kategorier . Ett annat sätt att se detta är som en fiberartad kategori genom Grothendieck -konstruktionen . Att få de rätta tekniska villkor, såsom plats på , ger definitionen av en algebraisk stack. Till exempel, i den associerade groupoid -av -punkterna för ett fält , finns över origo -objektet groupoid av automorfismer . Observera att för att få en algebraisk stack från , och inte bara en stack, krävs ytterligare tekniska hypoteser för . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ displaystyle [U /R] \ to (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S}^{n} (k)}$${\ displaystyle \ mu _ {n} (k)}$${\ displaystyle [U/R]}$${\ displaystyle [U/R]}$

Algebraiska stackar

Det visar sig att använda fppf-topologin (troget platt och lokalt med ändlig presentation) på , betecknad , utgör grunden för att definiera algebraiska stackar. Sedan är en algebraisk stack en fiberkategori${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}}$

Så att

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$är en kategori som är sammansatt med gruppoider , vilket betyder att överkategorin för vissa är en gruppoid${\ displaystyle \ pi: X \ till S}$
2. Den diagonala kartan över fiberkategorier kan representeras som algebraiska mellanslag${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
3. Det finns ett schema och en associerad 1-morfism av fiberkategorier som är surjektiv och smidig kallad en atlas .${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Förklaring av tekniska förhållanden

Använda fppf -topologin

Först och främst används fppf-topologin eftersom den beter sig bra med avstamning . Till exempel, om det finns scheman och kan förädlas till ett fppf-omslag av , om det är platt, lokalt ändlig typ eller lokalt med begränsad presentation, har den här egenskapen. denna typ av idé kan utökas ytterligare genom att överväga fastigheter lokalt antingen på målet eller källan till en morfism . För ett omslag säger vi att en fastighet är lokal på källan om${\ displaystyle X, Y \ in \ operatorname {Ob} (\ mathrm {Sch} /S)}$${\ displaystyle X \ till Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \ till X \} _ {i \ i I}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: X \ till Y}$har om och bara om var och en har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X_ {i} \ till Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Det finns en analog uppfattning om målet som kallas lokal på målet . Detta innebär att du får ett omslag${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ till Y \} _ {i \ i I}}$

${\ displaystyle f: X \ till Y}$har om och bara om var och en har .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ till Y_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

För fppf -topologin är att ha en nedsänkning lokal på målet. Förutom de tidigare egenskaperna lokalt på källan för fppf -topologin, är universellt öppet också lokalt på källan. Dessutom är Noetherian och Jacobson lokalt lokala på källan och målet för fppf -topologin. Detta håller inte i fpqc -topologin, vilket gör det inte lika "trevligt" när det gäller tekniska egenskaper. Även om detta är sant har användning av algebraiska staplar över fpqc -topologin fortfarande sin användning, till exempel i kromatisk homotopiteori . Detta beror på att Moduli-stacken av formella grupplagar är en fpqc-algebraisk stack ^{pg 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Representativ diagonal

Per definition representerar en 1-morfism av kategorier fiberade i groupoids algebraiska utrymmen vilket betyder att det finns ett algebraiskt utrymme${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} /S) _ {fppf}^{\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

sådan att den tillhörande fiberkategorin motsvarar . Det finns ett antal ekvivalenta villkor för diagonalens representabilitet som hjälper till att ge intuition för detta tekniska tillstånd, men en av huvudmotiveringarna är följande: för ett schema och objekt är vanten representabel som ett algebraiskt utrymme. I synnerhet är stabilisatorgruppen för vilken punkt som helst på stapeln representativ som ett algebraiskt utrymme. En annan viktig ekvivalens för att ha en representativ diagonal är det tekniska tillståndet att skärningspunkten mellan två algebraiska utrymmen i en algebraisk stack är ett algebraiskt utrymme. Omformulerad med hjälp av fiberprodukter${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle (F/U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ display { }$

diagonalens representabilitet motsvarar att vara representativ för ett algebraiskt utrymme . Detta beror på att med tanke på morfism från algebraiska utrymmen sträcker de sig till kartor från den diagonala kartan. Det finns ett analogt uttalande för algebraiska utrymmen som ger en kärns representabilitet som ett algebraiskt utrymme. ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle (F/S) _ {fppf}}$

Observera att ett analogt villkor för representabilitet för diagonalen gäller för vissa formuleringar av högre staplar där fiberprodukten är en -stack för en -stack . ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Surjektiv och slät atlas

2-Yoneda lemma

Förekomsten av ett schema och en 1-morfism av fiberkategorier som är surjektiv och smidig beror på att definiera en jämn och surjektiv morfism av fiberkategorier. Här är den algebraiska stacken från den representabla funktorn på uppgraderad till en kategori fiberrad i groupoids där kategorierna bara har triviala morfismer. Detta betyder uppsättningen${\ displaystyle fppf}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle h_ {U}}$${\ displaystyle h_ {U} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch/S) _ {fppf}} (T, U)}$

betraktas som en kategori, betecknad , med objekt som morfism${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} (T)}$${\ displaystyle h_ {U} (T)}$${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

och morfism är identitetsmorfismen. Därav

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Groupoids}$

är en 2-funktion av gruppoider. Att visa denna 2-funktioner är en skiva är innehållet i 2-Yoneda-lemmaet . Med hjälp av Grothendieck -konstruktionen finns en tillhörande kategori i grupper som betecknas . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Representativa morfismer av kategorier fiberade i groupoids

För att säga att denna morfism är smidig eller subjektiv måste vi införa representativa morfismer. En morfism av kategorier fiberade i groupoids över sägs vara representativ om den ges ett objekt i och ett objekt den 2-fiberiga produkten${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle T \ to S}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle t \ i {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

representeras av ett schema. Sedan kan vi säga att morfismen för kategorier som är fiberade i gruppoider är smidig och subjektiv om den associerade morfismen${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (Sch/T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch/T) _ {fppf}}$

av scheman är smidigt och subjektivt.

Deligne-Mumford staplar

Algebraiska stackar, även kända som Artin -stackar , är per definition utrustade med en smidig surjektiv atlas , där är stacken associerad med något schema . Om atlasen dessutom är ätlig sägs det vara en Deligne-Mumford-stack . Underklassen av Deligne-Mumford-stackar är användbar eftersom den ger rätt inställning för många naturliga staplar som övervägs, till exempel moduli-stacken av algebraiska kurvor . Dessutom är de tillräckligt strikta för att objekt som representeras av punkter i Deligne-Mumford-stackar inte har oändliga små automorfismer . Detta är mycket viktigt eftersom infinitesimala automorfismer gör det svårt att studera deformationsteorin för Artin -stackar. Exempelvis har deformationsteorin för Artin -stacken , moduli -stacken av rankvektorbuntar, infinitesimala automorfismer som delvis styrs av Lie -algebra . Detta leder till en oändlig sekvens av deformationer och hinder i allmänhet, vilket är en av motivationerna för att studera moduler för stabila buntar . Endast i specialfallet med deformationsteorin för linjebuntar kan deformationsteorin dras, eftersom tillhörande Lie -algebra är abelsk . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle BGL_ {n} = [*/GL_ {n}]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [*/GL_ {1}] = [*/\ mathbb {G} _ {m}]}$

Observera att många staplar inte naturligt kan representeras som Deligne-Mumford-staplar eftersom det bara tillåter ändliga omslag eller algebraiska staplar med ändliga omslag. Observera att eftersom varje Etale-omslag är platt och lokalt med begränsad presentation, understryker algebraiska stackar definierade med fppf-topologin denna teori; men det är fortfarande användbart eftersom många stackar som finns i naturen är av denna form, såsom kurvornas moduler . Också kallas den differentialgeometriska analogen för sådana staplar orbifolds . Etale-tillståndet innebär 2-funktioner${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} /S)^{\ text {op}} \ till {\ text {Cat}}}$

sändning av ett system för att dess groupoid av - torsors är representerbart som en stapel över Etale topologi, men Picard-stack av -torsors (ekvivalent kategorin linjeknippen) inte är representerbart. Staplar av denna form är representativa som staplar över fppf-topologin. Ett annat skäl för väger fppf-topologi kontra Etale topologi är över karakteristisk den Kummer sekvensen${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

är exakt endast som en sekvens av fppf -skivor, men inte som en sekvens av etalskivor.

Definiera algebraiska staplar över andra topologier

Att använda andra Grothendieck -topologier på ger alternativa teorier om algebraiska stackar som antingen inte är tillräckligt generella, eller som inte beter sig bra när det gäller att utbyta egenskaper från basen av ett lock till det totala utrymmet på ett lock. Det är användbart att komma ihåg att det finns följande generaliseringshierarki${\ displaystyle (F/S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}}$

av stora topologier på . ${\ displaystyle (F/S)}$

Strukturskiva

Strukturfärgen för en algebraisk stack är ett objekt som dras tillbaka från en universell strukturskiva på platsen . Denna universella strukturskiva definieras som${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch/S) _ {fppf}^{op} \ to Rings, {\ text {där}} U/X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

och den associerade strukturfärgen på en kategori fiberad i gruppoider

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch/S) _ {fppf}}$

är definierad som

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p^{-1} {\ mathcal {O}}}$

varifrån kommer kartan över Grothendieck -topologier. I synnerhet betyder detta att lögnen är över , så då . Som en hälsoskyddskontroll är det värt att jämföra detta med en kategori som innehåller grupper som kommer från ett schema för olika topologier. Till exempel om${\ displaystyle p^{-1}}$${\ displaystyle x \ i {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p (x) = U}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (x) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch/X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} } _ {X})}$

är en kategori fibered i groupoids över strukturen kärve för en öppen delsystem ger${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$${\ displaystyle U \ till X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

så den här definitionen återställer den klassiska strukturskivan på ett schema. Dessutom, för en kvotstapel , ger strukturskivan detta bara de -varianta sektionerna${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = [X/G]}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u^{*} {\ mathcal {O}} _ {X})^{G}}$

för in . ${\ displaystyle u: U \ till X}$${\ displaystyle (Sch/S) _ {fppf}}$

Exempel

Klassificera staplar

Många klassificeringsstackar för algebraiska grupper är algebraiska staplar. Faktum är att för ett algebraiskt grupputrymme över ett schema som är platt med begränsad presentation, är stapeln algebraisk ^{sats 6.1} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle BG}$

Se även

• Gerbe
• Chow grupp av en bunt
• Cohomology of a stack
• Kvotstack
• Skiva på en algebraisk bunt
• Torisk stack
• Artins kriterium
• Jagar staplar
• Härledd algebraisk geometri

Referenser

externa länkar

Artins axiom

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Titta på "Axioms" och "Algebraic staplar"
• Artin Algebraization and Quotient Stacks - Jarod Alper

Papper

• Alper, Jarod (2009). "En guide till litteraturen om algebraiska stackar" (PDF) . S2CID  51803452 . Arkiverad från originalet (PDF) 2020-02-13. Citera journal kräver |journal=( hjälp )
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbert -stacken" . Framsteg inom matematik . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583 .
• Behrend, Kai A. (2003). "Avledda ℓ-Adic-kategorier för algebraiska staplar" (PDF) . Memoarer från American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Ansökningar

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introduktion till chtoucas för reduktiva grupper och till den globala parametriseringen av Langlands". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Modulära funktioner i en variabel II . Föreläsningsanteckningar i matematik. 349 . s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "Projektiviteten för modulrummet för stabila kurvor, II: Staplarna "${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Om konstruktionen av modulbunt med projektiva Higgs -buntar över ytor". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Mathoverflow -trådar

• Tillfredsställer algebraiska stackar fpqc -härkomst?
• Staplar i fpqc -topologin
• fpqc -omslag av staplar

Övrig

• Exempel på staplar
• Anteckningar om Grothendieck -topologier, fiberkategorier och härkomstteori
• Anteckningar om algebraiska stackar