Overkategori - Overcategory

I matematikk, spesielt kategoriteori , er en overkategori (og underkategori) en fremtredende klasse av kategorier som brukes i flere sammenhenger, for eksempel med tildekkende mellomrom (espace etale) . De ble introdusert som en mekanisme for å holde oversikt over data rundt et fast objekt i en eller annen kategori . Det er en dobbel forestilling om underkategori, som er definert på samme måte. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Definisjon

La være en kategori og et fast objekt på ^{s. 59} . Den overcategory (også kalt en skive kategori ) er en tilhørende kategori hvis gjenstandene er parene der er en morphism i . Deretter blir en morfisme mellom objekter gitt av en morfisme i kategorien slik at følgende diagram pendler${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle (\ pi, A)}$${\ displaystyle \ pi: A \ til X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle f: (\ pi, A) \ to (\ pi ', A')}$${\ displaystyle f: A \ til A '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} A & \ xrightarrow {f} & A '\\\ pi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ pi' \\ X & = & X \ end {matrix}}}$

Det er en dobbel forestilling kalt underkategorien (også kalt en koslice-kategori) hvis objekter er par hvor det er en morfisme i . Deretter morphisms i er gitt ved morphisms i slik at den følgende diagram pendler${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle (\ psi, B)}$${\ displaystyle \ psi: X \ til B}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle g: B \ til B '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} X & = & X \\\ psi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ psi '\\ B & \ xrightarrow {g } & B '\ end {matrise}}}$

Disse to begrepene har generaliseringer i 2-kategoristeori og høyere kategoriteori ^{s. 43} , med definisjoner enten analoge eller i det vesentlige de samme.

Eiendommer

Mange kategoriske egenskaper arves av tilhørende over- og underkategorier for et objekt . For eksempel, hvis det har endelige produkter og koprodukter , er det umiddelbare kategorier og har disse egenskapene siden produktet og koproduktet kan konstrueres i , og gjennom universelle egenskaper eksisterer det en unik morfisme enten til eller fra . I tillegg gjelder dette også grenser og kolimitter . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Eksempler

Overkategorier på et nettsted

Husk at et område er en kategorisk generalisering av et topologisk rom som først ble introdusert av Grothendieck . Et av de kanoniske eksemplene kommer direkte fra topologien, der kategorien hvis objekter er åpne delmengder av noe topologisk rom , og morfismene er gitt av inklusjonskart. For en fast åpen delmengde er overkategorien kanonisk ekvivalent med kategorien for indusert topologi på . Dette er fordi hvert objekt i er et åpent delsett inneholdt i . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ text {Open}} (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ text {Open}} (X) / U}$${\ displaystyle {\ text {Open}} (U)}$${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle {\ text {Open}} (X) / U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$

Kategori av algebraer som underkategori

Kategorien kommutativ - algebras tilsvarer underkategorien for kategorien kommutative ringer. Dette er fordi strukturen til en -algebra på en kommutativ ring er direkte kodet av en ringmorfisme . Hvis vi vurderer motsatt kategori, er det en overkategori av affine ordninger , eller bare . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A / {\ text {CRing}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ til B}$${\ displaystyle {\ text {Aff}} / {\ text {Spec}} (A)}$${\ displaystyle {\ text {Aff}} _ {A}}$

Overkategorier av mellomrom

En annen vanlig overkategori som vurderes i litteraturen er overkategorier av rom, for eksempel ordninger, glatte manifolder eller topologiske rom. Disse kategorier kode gjenstander i forhold til en fast gjenstand, slik som den kategori av ordninger enn , . Fiberprodukter i disse kategoriene kan betraktes som kryss, gitt at objektene er underobjekter til det faste objektet. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ text {Sch}} / S}$

Se også

• Kommakategori

Referanser