Алгебраический стек - Algebraic stack

В математике алгебраический стек - это обширное обобщение алгебраических пространств или схем , которые являются основополагающими для изучения теории модулей . Многие пространства модулей построены с использованием методов, специфичных для алгебраических стеков, таких как теорема Артина о представимости , которая используется для построения пространства модулей точечных алгебраических кривых и стека модулей эллиптических кривых . Первоначально они были введены Гротендиком для отслеживания автоморфизмов на пространствах модулей, техника, которая позволяет рассматривать эти пространства модулей, как если бы их основные схемы или алгебраические пространства были гладкими . Но, благодаря множеству обобщений, Майкл Артин в конце концов открыл понятие алгебраических стеков . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$

Определение

Мотивация

Одним из мотивирующих примеров алгебраического стека является рассмотрение группоидной схемы над фиксированной схемой . Например, если (где есть групповая схема корней из единицы), , является проекцией карты, это действие группы ${\ displaystyle (R, U, s, t, m)}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R = \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ Displaystyle U = \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$ ${\ displaystyle s = {\ text {pr}} _ {U}}$ ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ zeta _ {n} \ cdot (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (\ zeta _ {n} x_ {1}, \ ldots, \ zeta _ {n} x_ {n })}$

и - карта умножения ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m: (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ times _ {\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}} (\ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}) \ to \ mu _ {n} \ times _ {S} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n}}$

на . Тогда по заданной -схеме группоидная схема образует группоид (где их ассоциированные функторы). Более того, эта конструкция функториальна при формировании контравариантного 2-функтора ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$ ${\ Displaystyle (R (X), U (X), s, t, m)}$ ${\ displaystyle R, U}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$

${\ displaystyle (R (-), U (-), s, t, m): (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ mathrm {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

где есть 2-категория из малых категорий . Другой способ рассматривать это как расслоенную категорию через конструкцию Гротендика . Получение правильных технических условий, таких как топология Гротендика на , дает определение алгебраического стека. Например, в ассоциированном группоиде -точек поля над исходным объектом находится группоид автоморфизмов . Обратите внимание, что для получения алгебраического стека , а не только стека, требуются дополнительные технические гипотезы . ${\ displaystyle {\ text {Cat}}}$ ${\ Displaystyle [U / R] \ к (\ mathrm {Sch} / S)}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} (к)}$ ${\ Displaystyle \ му _ {п} (к)}$ ${\ displaystyle [U / R]}$ ${\ displaystyle [U / R]}$

Алгебраические стеки

Оказывается, использование fppf-топологии ( строго плоской и локально конечного представления) на , обозначенном , формирует основу для определения алгебраических стеков. Тогда алгебраический стек является расслоенной категорией ${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S)}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf}}$

такой, что

${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$ является категорией, расслоенной на группоиды , то есть надкатегорией для некоторых является группоид ${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$
Диагональное отображение расслоенных категорий можно представить в виде алгебраических пространств ${\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {X}} \ times _ {S} {\ mathcal {X}}}$
Существует схема и связанный с ней 1-морфизм расслоенных категорий, сюръективный и гладкий, называемый атласом . ${\ displaystyle fppf}$ ${\ displaystyle U \ to S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Разъяснение технических условий

Использование топологии fppf

Прежде всего, используется топология fppf, потому что она хорошо ведет себя по отношению к спуску . Например, если есть схемы и могут быть улучшены до fppf-покрытия , если оно плоское, локально конечного типа или локально конечного представления, то обладает этим свойством. этот вид идеи может быть расширен дальше, рассматривая свойства, локальные либо на цели, либо на источнике морфизма . Для покрытия мы говорим, что свойство является локальным в источнике, если ${\ Displaystyle X, Y \ in \ OperatorName {Ob} (\ mathrm {Sch} / S)}$ ${\ displaystyle X \ to Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \ to X \} _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ имеет тогда и только тогда, когда у каждого есть . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ to Y}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Для цели существует аналогичное понятие, называемое локальным для цели . Это означает, что прикрытие ${\ displaystyle \ {Y_ {i} \ to Y \} _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ имеет тогда и только тогда, когда у каждого есть . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle X \ times _ {Y} Y_ {i} \ to Y_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Для топологии fppf погружение локально для цели. В дополнение к предыдущим свойствам, локальным для источника для топологии fppf, универсальное открытие также является локальным для источника. Кроме того, будучи локальными, Нётериан и Якобсон являются локальными по отношению к источнику и цели топологии fppf. Это не выполняется в топологии fpqc, что делает ее не такой "красивой" с точки зрения технических свойств. Несмотря на то, что это так, использование алгебраических стеков поверх топологии fpqc все еще имеет свое применение, например, в теории хроматической гомотопии . Это потому, что стек модулей формальных групповых законов является fpqc-алгебраическим стеком ^{стр. 40} . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$

Представимая диагональ

По определению 1-морфизм категорий, расслоенных на группоиды, может быть представлен алгебраическими пространствами, что означает, что существует алгебраическое пространство ${\ displaystyle f: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$

${\ displaystyle F: (\ mathrm {Sch} / S) _ {fppf} ^ {\ mathrm {op}} \ to \ operatorname {Sets}}$

такая, что связанная расслоенная категория эквивалентна . Существует ряд эквивалентных условий представимости диагонали, которые помогают интуитивно понять это техническое условие, но одна из основных мотиваций заключается в следующем: для схемы и объектов пучок может быть представлен в виде алгебраического пространства. В частности, группа стабилизаторов для любой точки стека может быть представлена в виде алгебраического пространства. Другой важной эквивалентностью представимой диагонали является техническое условие, что пересечение любых двух алгебраических пространств в алгебраическом стеке является алгебраическим пространством. Изменен с использованием продуктов из волокна ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {F} \ to (F / S) _ {fppf}}$ ${\ Displaystyle (F / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {X}} _ {U})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (x, y)}$ ${\ displaystyle x: \ operatorname {Spec} (k) \ to {\ mathcal {X}} _ {\ operatorname {Spec} (k)}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} Y \ times _ {\ mathcal {X}} Z & \ to & Y \\\ downarrow && \ downarrow \\ Z & \ to & {\ mathcal {X}} \ end {matrix}} }$

представимость диагонали эквивалентна представимости в алгебраическом пространстве . Это потому, что данные морфизмы из алгебраических пространств продолжаются до отображений диагонального отображения. Аналогичное утверждение существует для алгебраических пространств, которое дает представимость пучка на алгебраическом пространстве. ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y \ to {\ mathcal {X}}, Z \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle (F / S) _ {fppf}}$

Обратите внимание, что аналогичное условие представимости диагонали выполняется для некоторых формулировок более высоких стопок, где продукт волокна является -стогом для -стека . ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Сюръективный и гладкий атлас

Лемма 2-Йонеды

Существование схемы и 1-морфизма расслоенных категорий, которые являются сюръективными и гладкими, зависит от определения гладких и сюръективных морфизмов расслоенных категорий. Вот алгебраическое стек из представимых функторов на модернизирована к категории расслаивается в группоидах где категории имеют только тривиальные морфизмы. Это означает, что набор ${\ displaystyle fppf}$ ${\ displaystyle U \ to S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle h_ {U}}$ ${\ displaystyle h_ {U} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Sets}$

${\ displaystyle h_ {U} (T) = {\ text {Hom}} _ {(Sch / S) _ {fppf}} (T, U)}$

рассматривается как категория, обозначается с объектами в виде морфизмов ${\ Displaystyle ч _ {\ mathcal {U}} (Т)}$ ${\ displaystyle h_ {U} (T)}$ ${\ displaystyle fppf}$

${\ displaystyle f: T \ to U}$

а морфизмы - это морфизм тождества. Следовательно

${\ displaystyle h _ {\ mathcal {U}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Groupoids}$

является 2-функтором группоидов. Показывать, что этот 2-функтор представляет собой пучок, является содержанием леммы 2-Йонеды . Используя конструкцию Гротендика, обозначается связанная категория, расслоенная на группоиды . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$

Представимые морфизмы категорий, расслоенных на группоиды

Чтобы сказать этот морфизм гладким или сюръективным, мы должны ввести представимые морфизмы. Морфизмом категорий расслоенных в группоидах над называется представима , если дано объект в и объект 2-расслаивается продукт ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {Y}}}$ ${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ ${\ displaystyle T \ to S}$ ${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ ${\ displaystyle t \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {Y}} _ {T})}$

${\ displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T}}$

представляется схемой. Тогда мы можем сказать, что морфизм категорий, расслоенных на группоиды, является гладким и сюръективным, если ассоциированный морфизм ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle (Sch / T) _ {fppf} \ times _ {t, {\ mathcal {Y}}} {\ mathcal {X}} _ {T} \ to (Sch / T) _ {fppf}}$

схем гладкая и сюръективная.

Стеки Делин-Мамфорд

Алгебраические стеки, также известные как стеки Артина , по определению снабжены гладким сюръективным атласом , где стек связан с некоторой схемой . Если атлас к тому же эталонный, то говорят, что это стопка Делиня-Мамфорда . Подкласс стеков Делиня-Мамфорда полезен, потому что он обеспечивает правильную настройку для многих рассматриваемых естественных стеков, таких как стек модулей алгебраических кривых . Кроме того, они достаточно строги, чтобы объект, представленный точками в стеках Делиня-Мамфорда, не имел бесконечно малых автоморфизмов . Это очень важно, потому что бесконечно малые автоморфизмы очень затрудняют изучение теории деформации стеков Артина. Например, теория деформации стека Артина, стека модулей ранговых векторных расслоений, имеет инфинитезимальные автоморфизмы, частично управляемые алгеброй Ли . Это приводит к бесконечной последовательности деформаций и препятствий в целом, что является одной из мотиваций для изучения модулей стабильных расслоений . Только в частном случае теории деформации линейных расслоений теория деформации поддается обработке, поскольку ассоциированная алгебра Ли абелева . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle U \ to S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle BGL_ {n} = [* / GL_ {n}]}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ displaystyle [* / GL_ {1}] = [* / \ mathbb {G} _ {m}]}$

Обратите внимание, что многие стеки не могут быть естественным образом представлены как стеки Делиня-Мамфорда, потому что они допускают только конечные покрытия или алгебраические стеки с конечными покрытиями. Обратите внимание: поскольку каждое покрытие Etale является плоским и локально имеет конечное представление, алгебраические стеки, определенные с помощью топологии fppf, подпадают под эту теорию; но он по-прежнему полезен, поскольку многие стеки, встречающиеся в природе, имеют такую форму, например, модули кривых . Также дифференциально-геометрические аналоги таких стопок называются орбифолдами . Из условия Этале следует 2-функтор ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle B \ mu _ {n}: (\ mathrm {Sch} / S) ^ {\ text {op}} \ to {\ text {Cat}}}$

посылая схему его группоид - торсеры представимо в виде стопки по топологии Этальной, но Пикар-стек из торсор (эквивалентно категория расслоений) не представимо. Стеки этой формы могут быть представлены как стеки по топологии fppf. Еще одна причины для рассмотрения fppf-топологии против этальной топологии над характерной в последовательности куммеровской ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mu _ {p} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to 0}$

точна только как последовательность пучков fppf, но не как последовательность этальных пучков.

Определение алгебраических стеков по сравнению с другими топологиями

Использование других топологий Гротендика дает альтернативные теории алгебраических стеков, которые либо недостаточно общие, либо плохо себя ведут в отношении обмена свойствами от основания покрытия до всего пространства покрытия. Полезно напомнить, что существует следующая иерархия обобщений. ${\ Displaystyle (F / S)}$

${\ displaystyle {\ text {fpqc}} \ supset {\ text {fppf}} \ supset {\ text {smooth}} \ supset {\ text {etale}} \ supset {\ text {Zariski}}}$

больших топологий на . ${\ Displaystyle (F / S)}$

Структурная связка

Структурный пучок алгебраического стека - это объект, вытянутый из универсального структурного пучка на сайте . Этот универсальный структурный пучок определяется как ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} :( Sch / S) _ {fppf} ^ {op} \ to Rings, {\ text {where}} U / X \ mapsto \ Gamma (U, {\ mathcal {O }} _ {U})}$

и связанный структурный пучок на категории, расслоенной на группоиды

${\ displaystyle p: {\ mathcal {X}} \ to (Sch / S) _ {fppf}}$

определяется как

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}: = p ^ {- 1} {\ mathcal {O}}}$

откуда взято из карты топологий Гротендика. В частности, это означает, что все кончено , так что тогда . В качестве проверки работоспособности стоит сравнить это с категорией, расслоенной на группоиды, взятые из -схемы для различных топологий. Например, если ${\ displaystyle p ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {X}})}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle р (х) = U}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (х) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {Zar}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}}) = ((Sch / X) _ {Zar}, {\ mathcal {O} }_{ИКС})}$

является категорией, расслоенной на группоиды над , структурный пучок открытой подсхемы дает ${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$ ${\ Displaystyle от U \ до X}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {ИКС})}$

Таким образом, это определение восстанавливает классический структурный пучок на схеме. Более того, для фактор-стека структурный пучок this просто дает -инвариантные секции ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} = [X / G]}$ ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathcal {X}} (U) = \ Gamma (U, u ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G}}$

для в . ${\ displaystyle u: от U \ до X}$ ${\ displaystyle (Sch / S) _ {fppf}}$

Примеры

Классификация стопок

Многие классифицирующие стеки для алгебраических групп являются алгебраическими стеками. Фактически, для пространства алгебраической группы над схемой, которая является плоской с конечным представлением, стек является алгебраической ^{теоремой 6.1} . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle BG}$

Смотрите также

использованная литература

^ А'Кэмпо, Норберт; Цзи, Личжэнь; Пападопулос, Афанас (07.03.2016). «О построении Гротендиком пространства Тейхмюллера». arXiv : 1603.02229 [ math.GT ].
^ ^а ^б Артин, М. (1974). «Версальные деформации и алгебраические стеки» . Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189. Bibcode : 1974InMat..27..165A . DOI : 10.1007 / bf01390174 . ISSN 0020-9910 . S2CID 122887093 .
^ «Раздел 92.16 (04T3): От алгебраического стека к презентации - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 34.7 (021L): Топология fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 92.12 (026N): Алгебраические стеки - проект стека» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Лемма 35.11.8 (06NB) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 35.21 (02YL): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf на цели - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 35.25 (036M): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf на источнике - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 35.13 (034B): Свойства схем, локальных в топологии fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ Goerss, Пол. "Квазикогерентные пучки на стеке модулей формальных групп" (PDF) . Архивировано 29 августа 2020 года (PDF) .
^ {{Cite web | title = Раздел 92.9 (04SX): Морфизмы, представимые алгебраическими пространствами — Проект Stacks | url = https: //stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0 \ mathrm {Sch} / U) _ {fppf} \ to \ mathcal {Y} </math>, связанная категория, расслоенная на группоиды
${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$
можно представить в виде алгебраического пространства
^ «Раздел 92.7 (04SU): Разделение категорий, расслоенных на группоиды - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .
^ «Раздел 92.8 (02ZV): Категории, расслоенные на группоиды, представимые алгебраическими пространствами - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ - это вложение, отправляющее наборв категорию объектови только тождественных морфизмов. Затем конструкция Гротендика может быть применена для получения категории, расслоенной на группоиды ${\ displaystyle \ operatorname {Sets} \ to \ operatorname {Cat}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$
^ «Лемма 92.10.11 (045G) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ «Раздел 78.5 (046I): Начальная установка диагонали - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
^ Симпсон, Карлос (1996-09-17). «Алгебраические (геометрические) n -стека». arXiv : alg-geom / 9609014 .
^ «Раздел 92.6 (04ST): Представимые морфизмы категорий, расслоенных в группоидах - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .
^ «Раздел 94.3 (06TI): Предварительные пучки - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
^ «Раздел 94.6 (06TU): Структурная связка - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
^ «Раздел 94.8 (076N): Представимые категории - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
^ «Лемма 94.13.2 (076S) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
^ «Раздел 76.12 (0440): Квазикогерентные пучки на группоидах - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

внешние ссылки

Аксиомы Артина

https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Посмотрите на «Аксиомы» и «Алгебраические стеки».
Алгебраизация Артина и стеки частных - Джарод Альпер

Статьи

Альпер, Джарод (2009). «Справочник по литературе по алгебраическим стекам» (PDF) . S2CID 51803452 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 февраля 2020 года. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
Холл, Джек; Рид, Дэвид (2014). «Стек Гильберта» . Успехи в математике . 253 : 194–233. arXiv : 1011,5484 . DOI : 10.1016 / j.aim.2013.12.002 . S2CID 55936583 .
Беренд, Кай А. (2003). «Производные ℓ-адические категории для алгебраических стеков» (PDF) . Мемуары Американского математического общества . 163 (774): 1–93. DOI : 10,1090 / мемо / 0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.

Приложения

Лаффорг, Винсент (2014). «Введение в хитоуки для редуктивных групп и глобальную параметризацию Ленглендса». arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
Deligne, P .; Рапопорт, М. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Модульные функции одной переменной II . Конспект лекций по математике. 349 . С. 143–316. DOI : 10.1007 / 978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
Кнудсен, Финн Ф. (1983). «Проективность пространства модулей устойчивых кривых, II: стеки » ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. DOI : 10,7146 / math.scand.a-12001 .
Цзян, Юньфэн (2019). «О построении стека модулей проективных расслоений Хиггса над поверхностями». arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Mathoverflow потоки

Другой

[1] А'Кэмпо, Норберт; Цзи, Личжэнь; Пападопулос, Афанас (07.03.2016). «О построении Гротендиком пространства Тейхмюллера». arXiv : 1603.02229 [ math.GT ].

[:0-2] а ^б Артин, М. (1974). «Версальные деформации и алгебраические стеки» . Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189. Bibcode : 1974InMat..27..165A . DOI : 10.1007 / bf01390174 . ISSN 0020-9910 . S2CID 122887093 .

[3] «Раздел 92.16 (04T3): От алгебраического стека к презентации - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[4] «Раздел 34.7 (021L): Топология fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[5] «Раздел 92.12 (026N): Алгебраические стеки - проект стека» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[6] «Лемма 35.11.8 (06NB) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[7] «Раздел 35.21 (02YL): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf на цели - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[8] «Раздел 35.25 (036M): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf на источнике - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[9] «Раздел 35.13 (034B): Свойства схем, локальных в топологии fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[10] Goerss, Пол. "Квазикогерентные пучки на стеке модулей формальных групп" (PDF) . Архивировано 29 августа 2020 года (PDF) .

[11] {{Cite web | title = Раздел 92.9 (04SX): Морфизмы, представимые алгебраическими пространствами — Проект Stacks | url = https: //stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0 \ mathrm {Sch} / U) _ {fppf} \ to \ mathcal {Y} </math>, связанная категория, расслоенная на группоиды
${\ Displaystyle (\ mathrm {Sch} / U) _ {fppf} \ times _ {\ mathcal {Y}} {\ mathcal {X}}}$
можно представить в виде алгебраического пространства

[12] «Раздел 92.7 (04SU): Разделение категорий, расслоенных на группоиды - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .

[13] «Раздел 92.8 (02ZV): Категории, расслоенные на группоиды, представимые алгебраическими пространствами - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[14] - это вложение, отправляющее наборв категорию объектови только тождественных морфизмов. Затем конструкция Гротендика может быть применена для получения категории, расслоенной на группоиды ${\ displaystyle \ operatorname {Sets} \ to \ operatorname {Cat}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

[15] «Лемма 92.10.11 (045G) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[16] «Раздел 78.5 (046I): Начальная установка диагонали - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .

[17] Симпсон, Карлос (1996-09-17). «Алгебраические (геометрические) n -стека». arXiv : alg-geom / 9609014 .

[18] «Раздел 92.6 (04ST): Представимые морфизмы категорий, расслоенных в группоидах - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .

[19] «Раздел 94.3 (06TI): Предварительные пучки - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

[20] «Раздел 94.6 (06TU): Структурная связка - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

[21] «Раздел 94.8 (076N): Представимые категории - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

[22] «Лемма 94.13.2 (076S) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

[23] «Раздел 76.12 (0440): Квазикогерентные пучки на группоидах - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .

Languages

In other projects