Pascalova matice - Pascal matrix

V matematice , zejména maticové teorii a kombinatorice , je Pascalova matice (možná nekonečná ) matice obsahující jako prvky binomické koeficienty . Jedná se tedy o kódování Pacalova trojúhelníku v maticové formě. Existují tři přirozené způsoby, jak toho dosáhnout: jako nižší trojúhelníková matice , horní trojúhelníková matice nebo symetrická matice . Například matice 5 × 5 jsou:

Existují i ​​jiné způsoby, kterými lze Pascalův trojúhelník vložit do maticové formy, ale ty nelze snadno rozšířit do nekonečna.

Definice

Nenulové prvky Pascalovy matice jsou dány binomickými koeficienty :

kde indexy i , j začínají na 0, a! označuje faktoriál .

Vlastnosti

Matice mají potěšující vztah S n = L n U n . Z toho je snadno vidět, že všechny tři matice mají determinant 1, protože determinant trojúhelníkové matice je jednoduše součin jejích diagonálních prvků, které jsou všechny 1 pro L n i U n . Jinými slovy, matice S n , L n a U n jsou unimodulární , přičemž L n a U n mají stopu n .

Stopa S n je dána vztahem

s několika prvními termíny danými sekvencí 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (sekvence A006134 v OEIS ).

Konstrukce

Pascalovu matici lze ve skutečnosti sestrojit tak, že vezmeme exponenciální matici speciální subdiagonální nebo superdiagonální matice. Níže uvedený příklad konstruuje matici Pascal 7 × 7, ale metoda funguje pro libovolné požadované n  ×  n Pascalových matic. Tečky v následujících maticích představují nulové prvky.

Je důležité si uvědomit, že nelze jednoduše předpokládat exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), pro n  ×  n matic A a B ; tato rovnost platí pouze tehdy, když AB = BA (tj. když dojíždějí matice A a B ). Při konstrukci symetrických Pascalových matic, jako je výše, sub- a superdiagonální matice nepojíždějí, takže (snad) lákavé zjednodušení zahrnující sčítání matic nelze provést.

Užitečnou vlastností sub- a superdiagonálních matic použitých při konstrukci je, že obě jsou nilpotentní ; to znamená, že když se zvýší na dostatečně vysokou celočíselnou mocnost, degenerují do nulové matice . ( Další podrobnosti viz matice posunu .) Protože n  ×  n generalizovaných matic posunu, které používáme, se stanou nulovými, když se zvýší na výkon n , při výpočtu exponenciální matice musíme vzít v úvahu pouze prvních n  + 1 členů nekonečné řady, abychom získali přesný výsledek.

Varianty

Zajímavé varianty lze získat zřejmou modifikací maticového logaritmu PL 7 a poté aplikací maticového exponenciálu.

První příklad níže používá čtverce hodnot log-matice a sestrojuje matici „Laguerre“ 7 × 7 (nebo matici koeficientů Laguerrových polynomů

Laguerreova matice se ve skutečnosti používá s jiným měřítkem a/nebo schématem střídajících se znaků. (Literatura o zobecnění na vyšší síly zatím nebyla nalezena)

Druhý příklad níže používá součiny v ( v  + 1) hodnot log-matice a sestrojí matici 7 × 7 „Lah“- (nebo matici koeficientů čísel Lah )

Použití v ( v  -1) místo toho poskytuje diagonální posun vpravo dole.

Třetí příklad níže používá druhou mocninu původní matice PL 7 , dělenou 2, jinými slovy: binomiky prvního řádu (binomické ( k , 2)) ve druhém subdiagonálu a konstruuje matici, která se vyskytuje v kontextu že deriváty a integrály Gaussova chybové funkce :

Pokud je tato matice invertována (například pomocí záporného maticového logaritmu), pak má tato matice střídavá znaménka a udává koeficienty derivací (a potažmo integrálů) Gaussovy chybové funkce. (Literatura o zobecnění na vyšší moc zatím nebyla nalezena.)

Další variantu lze získat rozšířením původní matice na záporné hodnoty :

Viz také

Reference

externí odkazy