Матрица Паскаля - Pascal matrix

В математике , особенно в теории матриц и комбинаторике , матрица Паскаля - это (возможно, бесконечная ) матрица, содержащая биномиальные коэффициенты в качестве своих элементов. Таким образом, это кодирование треугольника Пакаля в матричной форме. Для этого есть три естественных способа: в виде нижнетреугольной матрицы , верхнетреугольной матрицы или симметричной матрицы . Например, матрицы 5 × 5:

Есть и другие способы преобразования треугольника Паскаля в матрицу, но их нелегко продолжить до бесконечности.

Определение

Ненулевые элементы матрицы Паскаля задаются биномиальными коэффициентами :

где индексы i , j начинаются с 0, а! обозначает факториал .

Характеристики

Матрицы имеют приятное соотношение S n = L n U n . Из этого легко видеть, что все три матрицы имеют определитель 1, поскольку определитель треугольной матрицы является просто произведением ее диагональных элементов, которые все равны 1 как для L n, так и для U n . Другими словами, матрицы S п , L п и U п являются унимодулярная с L п и U п , имеющего след н .

След S n задается формулой

с несколькими первыми членами, заданными последовательностью 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (последовательность A006134 в OEIS ).

Строительство

Матрица Паскаля может быть фактически построена, взяв матричную экспоненту специальной субдиагональной или супердиагональной матрицы. В приведенном ниже примере строится матрица Паскаля размером 7 × 7, но этот метод работает для любых желаемых матриц Паскаля размера n  ×  n . Точки в следующих матрицах представляют нулевые элементы.

Важно отметить, что нельзя просто считать exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ) для n  ×  n матриц A и B ; это равенство выполняется только тогда, когда AB = BA (т.е. когда матрицы A и B коммутируют ). При построении симметричных матриц Паскаля, подобных приведенному выше, суб- и супердиагональные матрицы не коммутируются, поэтому (возможно) заманчивое упрощение, включающее добавление матриц, не может быть выполнено.

Полезное свойство суб- и супердиагональных матриц, используемых при построении, состоит в том, что обе они нильпотентны ; то есть, когда они возведены в достаточно высокую целочисленную степень, они вырождаются в нулевую матрицу . (См. Дополнительную информацию в матрице сдвига .) Поскольку используемые нами обобщенные матрицы сдвига n  ×  n становятся равными нулю при возведении в степень n , при вычислении экспоненты матрицы нам нужно учитывать только первые n  + 1 членов бесконечного ряда, чтобы получить точный результат.

Варианты

Интересные варианты могут быть получены путем очевидной модификации матрицы-логарифма PL 7 и последующего применения матричной экспоненты.

В первом примере ниже используются квадраты значений лог-матрицы и строится «матрица Лагерра» размером 7 × 7 (или матрица коэффициентов полиномов Лагерра.

Матрица Лагерра фактически используется с некоторым другим масштабированием и / или схемой чередования знаков. (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено)

Во втором примере ниже используются произведения v ( v  + 1) значений лог-матрицы и строится матрица "Ла" размером 7 × 7 (или матрица коэффициентов чисел Ла ).

Использование v ( v  - 1) вместо этого обеспечивает смещение по диагонали в нижний правый угол.

В третьем примере ниже используется квадрат исходной матрицы PL 7 , деленный на 2, другими словами: биномы первого порядка (бином ( k , 2)) во второй поддиагонали и строится матрица, которая возникает в контексте то производные и интегралы гауссова функция ошибки :

Если эту матрицу инвертировать (используя, например, отрицательный матричный логарифм), то эта матрица имеет чередующиеся знаки и дает коэффициенты при производных (и, в более широком смысле, интегралы) функции ошибок Гаусса. (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено.)

Другой вариант можно получить, расширив исходную матрицу до отрицательных значений :

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки