Pascal matris - Pascal matrix

I matematik , särskilt matristeori och kombinatorik , är en Pascal -matris en (möjligen oändlig ) matris som innehåller binomialkoefficienterna som dess element. Det är alltså en kodning av Pacals triangel i matrisform. Det finns tre naturliga sätt att uppnå detta: som en lägre triangulär matris , en övre triangulär matris eller en symmetrisk matris . Till exempel är 5 × 5 -matriserna:

Det finns andra sätt på vilka Pascals triangel kan sättas in i matrisform, men dessa förlängs inte lätt till oändlighet.

Definition

Icke-nollelementen i en Pascal-matris ges av binomialkoefficienterna :

där indexen i , j börjar vid 0, och! betecknar det faktoriella .

Egenskaper

Matriserna har det tilltalande förhållandet S n = L n U n . Av detta framgår lätt att alla tre matriser har determinant 1, eftersom determinanten för en triangulär matris helt enkelt är produkten av dess diagonala element, som alla är 1 för både L n och U n . Med andra ord, matriserna S n , L n , och U n är unimodular , med L n och U n som har spår n .

Spåret av S n ges av

med de första termerna som ges av sekvensen 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (sekvens A006134 i OEIS ).

Konstruktion

Pascal -matrisen kan faktiskt konstrueras genom att ta matrisens exponential för en speciell subdiagonal eller superdiagonal matris. Exemplet nedan konstruerar en 7 × 7 Pascal -matris, men metoden fungerar för alla önskade n  ×  n Pascal -matriser. Punkterna i följande matriser representerar nollelement.

Det är viktigt att notera att man inte bara kan anta exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), för n  ×  n matriser A och B ; denna jämlikhet gäller endast när AB = BA (dvs. när matriserna A och B pendlar ). Vid konstruktionen av symmetriska Pascal-matriser som det ovan pendlar inte sub- och superdiagonalmatriserna, så den (kanske) frestande förenklingen som innebär att matriserna läggs till kan inte göras.

En användbar egenskap hos sub- och superdiagonala matriser som används i konstruktionen är att båda är nollpotenta ; det vill säga, när de höjs till ett tillräckligt högt heltal , degenererar de till nollmatrisen . (Se skiftmatris för mer information.) Eftersom de n  ×  n generaliserade skiftmatriserna vi använder blir noll när de höjs till effekt n , behöver vi bara överväga de första n  + 1 -termerna i den oändliga serien för att få en exakt resultat.

Varianter

Intressanta varianter kan erhållas genom uppenbar modifiering av matris-logaritmen PL 7 och sedan applicering av matrisen exponentiell.

Det första exemplet nedan använder kvadraterna för loggmatrisens värden och konstruerar en 7 × 7 "Laguerre"- matris (eller matris för koefficienter för Laguerre polynom)

Laguerre-matrisen används faktiskt med någon annan skalning och/eller schemat med alternerande tecken. (Litteratur om generaliseringar till högre makter finns inte ännu)

Det andra exemplet nedan använder produkterna v ( v  + 1) för loggmatrisens värden och konstruerar en 7 × 7 "Lah"- matris (eller matris för koefficienter för Lah-tal )

Att använda v ( v-  1) ger istället en diagonal skiftning till nedre högra.

Det tredje exemplet nedan använder kvadraten i den ursprungliga PL 7 -matrisen, dividerat med 2, med andra ord: första ordningens binomial (binomial ( k , 2)) i den andra subdiagonal och konstruerar en matris, som uppstår i kontext av de derivat och integraler av den Gaussiska felfunktionen :

Om denna matris är inverterad (med exempelvis den negativa matrislogaritmen), har denna matris alternerande tecken och ger koefficienterna för derivaten (och i förlängningen integralerna) för Gauss felfunktion. (Litteratur om generaliseringar till högre makter finns inte ännu.)

En annan variant kan erhållas genom att utöka den ursprungliga matrisen till negativa värden :

Se även

Referenser

externa länkar