Exponenciální matice - Matrix exponential

V matematiky je matice exponenciální je funkce matrice na čtvercových matic analogické pojmu exponenciální funkce . Slouží k řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic. V teorii Lieových skupin dává exponenciální matice spojení mezi maticovou Lieovou algebrou a odpovídající Lieovou skupinou .

Nechť X je n × n skutečná nebo komplexní matice . Exponenciál X , označený e ^X nebo exp ( X ) , je matice n × n daná mocninnou řadou

${\ Displaystyle e^{X} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {1 \ over k!} X^{k}}$

kde je definována matice identity se stejnými rozměry jako . ${\ displaystyle X^{0}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$

Výše uvedená řada vždy konverguje, takže exponenciál X je dobře definován. Pokud X je 1 x 1 matice matice exponenciální z X je 1 x 1 matice, jejíž jediný prvek je obyčejný exponenciální jediného prvku X .

Vlastnosti

Elementární vlastnosti

Nechť X a Y jsou n × n komplexních matic a a a b jsou libovolná komplexní čísla. Označíme n × n matice identity od I a nulová matice od 0. Matice exponenciální splňuje následující vlastnosti.

Začneme vlastnostmi, které jsou bezprostředními důsledky definice jako mocninné řady:

• e ⁰ = I
• exp ( X ^T ) = (exp X ) ^T , kde X ^T označuje transpozici a X .
• exp ( X ^* ) = (exp X ) ^* , kde X ^* označuje konjugovanou transpozici a X .
• Jestliže Y je invertibilní pak e ^{Yxy -1} = Ye ^X Y ^-1 .

Dalším klíčovým výsledkem je tento:

• Pokud ano .${\ displaystyle XY = YX}$${\ Displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{X+Y}}$

Důkaz této identity je stejný jako standardní argument mocninných řad pro odpovídající identitu pro exponenciál reálných čísel. To znamená, že pokud a dojíždíme${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ , nezáleží na argumentu, zda a jsou čísla nebo matice. Je důležité si uvědomit, že tato identita obvykle neplatí, pokud ne a ne dojíždět (viz Golden-Thompsonova nerovnost níže). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Důsledky předchozí identity jsou následující:

• e ^aX e ^bX = e ^{( a + b ) X}
• e ^X e ^{- X} = I

Pomocí výše uvedených výsledků můžeme snadno ověřit následující nároky. Pokud X je symetrický, pak e ^X je také symetrický, a pokud X je šikmo symetrický, pak e ^X je ortogonální . Pokud X je Hermitian, pak e ^X je také Hermitian, a pokud X je šikmo-Hermitian, pak e ^X je unitární .

Nakonec Laplaceova transformace maticových exponenciálů odpovídá rozlišení ,

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} e^{-ts} e^{tX} \, dt = (sI-X)^{-1}}$

pro všechny dostatečně velké kladné hodnoty s .

Systémy lineárních diferenciálních rovnic

Jedním z důvodů důležitosti maticového exponenciálu je to, že jej lze použít k řešení soustav lineárních obyčejných diferenciálních rovnic . Řešení

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (0) = y_ {0},}$

kde A je konstantní matice, je dána vztahem

${\ Displaystyle y (t) = e^{At} y_ {0}. \,}$

Maticový exponenciál lze také použít k řešení nehomogenní rovnice

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t)+z (t), \ quad y (0) = y_ {0}.}$

Příklady najdete v níže uvedené části o aplikacích .

Pro diferenciální rovnice tvaru neexistuje řešení v uzavřené formě

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (0) = y_ {0},}$

kde A není konstantní, ale řada Magnus dává řešení jako nekonečný součet.

Determinant exponenciální matice

Podle Jacobiho vzorce platí pro jakoukoli složitou čtvercovou matici následující stopová identita :

Kromě poskytnutí výpočetního nástroje tento vzorec ukazuje, že exponenciální matice je vždy invertibilní matice . To vyplývá ze skutečnosti, že pravá strana výše uvedené rovnice je vždy nenulová, a tedy det ( e ^A ) ≠ 0 , což znamená, že e ^A musí být invertibilní.

V případě skutečné hodnoty vzorec také zobrazuje mapu

${\ Displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {R}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {R})}$

aby to nebylo surjektivní , na rozdíl od výše uvedeného složitého případu. To vyplývá ze skutečnosti, že pro matice se skutečnou hodnotou je pravá strana vzorce vždy kladná, zatímco existují invertibilní matice s negativním determinantem.

Skutečné symetrické matice

Exponenciál matice skutečné symetrické matice je kladně určitý. Nechť je n × n skutečná symetrická matice a sloupcový vektor. Pomocí elementárních vlastností exponenciální matice a symetrických matic máme: ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ Displaystyle x^{T} e^{S} x = x^{T} e^{S/2} e^{S/2} x = x^{T} (e^{S/2}) ^{T} e^{S/2} x = (e^{S/2} x)^{T} e^{S/2} x = \ lVert e^{S/2} x \ rVert _ { 2}^{2} \ geq 0}$.

Protože je invertibilní, platí rovnost pouze pro a pro všechny platí nenulová . Proto je pozitivní definitivní. ${\ displaystyle e^{S/2}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x^{T} e^{S} x> 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle e^{S}}$

Exponenciál součtů

Pro všechna reálná čísla (skaláry) x a y víme, že exponenciální funkce splňuje e ^{x + y} = e ^x e ^y . Totéž platí pro dojíždějící matice. Pokud matice X a Y dojíždějí (což znamená, že XY = YX ), pak,

${\ Displaystyle e^{X+Y} = e^{X} e^{Y}.}$

U matic, které nedojíždějí, však výše uvedená rovnost nemusí platit.

Vzorec produktu Lie

I když X a Y nepojíždějí, exponenciální e ^{X + Y} lze vypočítat podle vzorce Lieova produktu

${\ Displaystyle e^{X+Y} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (e^{{\ frac {1} {n}} X} e^{{\ frac {1} {n }} Y} \ right)^{n}}$.

Vzorec Baker – Campbell – Hausdorff

V opačném směru, pokud X a Y jsou dostatečně malé (ale ne nutně dojíždějící) matice, máme

${\ Displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{Z},}$

kde Z může být vypočítán jako řada v komutátorů z X a Y prostřednictvím tohoto vzorce Baker-Campbell-Hausdorffovy :

${\ Displaystyle Z = X+Y+{\ frac {1} {2}} [X, Y]+{\ frac {1} {12}} [X, [X, Y]]+\ cdots}$,

kde zbývající termíny jsou opakována komutátorů zahrnující X a Y . Pokud X a Y dojíždět, pak všechny komutátory jsou nulové a máme prostě Z = X + Y .

Nerovnosti pro exponenciály hermitských matic

Pro hermitovské matice existuje pozoruhodná věta související se stopou exponenciálů matic.

Pokud A a B jsou hermitovské matice, pak

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ exp (A+B) \ leq \ operatorname {tr} \ left [\ exp (A) \ exp (B) \ right].}$

Neexistuje žádný požadavek komutativity. Existují protipříklady, které ukazují, že Golden -Thompsonovu nerovnost nelze rozšířit na tři matice - a v každém případě tr (exp ( A ) exp ( B ) exp ( C )) není zaručeno, že bude pro Hermitian A , B skutečný , C . Nicméně, Lieb dokázal, že je možné zobecnit na tři matice kdybychom upravit výraz následovně

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ exp (A+B+C) \ leq \ int _ {0}^{\ infty} \ mathrm {d} t \, \ operatorname {tr} \ left [e^{A } \ left (e^{-B}+t \ right)^{-1} e^{C} \ left (e^{-B}+t \ right)^{-1} \ right].}$

Exponenciální mapa

Exponenciál matice je vždy invertibilní matice . Inverzní matice e ^X je dána e ^{- X} . To je analogické skutečnosti, že exponenciál komplexního čísla je vždy nenulový. Maticový exponenciál nám pak dává mapu

${\ Displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C})}$

z prostoru všech n × n matic do obecné lineární skupiny stupně n , tj. skupiny všech n × n invertibilních matic. Ve skutečnosti je tato mapa surjektivní, což znamená, že každá invertibilní matice může být zapsána jako exponenciála nějaké jiné matice (pro to je zásadní vzít v úvahu pole C komplexních čísel a ne R ).

Pro libovolné dvě matice X a Y ,

${\ Displaystyle \ left \ | e^{X+Y} -e^{X} \ right \ | \ leq \ | Y \ | e^{\ | X \ |} e^{\ | Y \ |}, }$

kde ‖ · ‖ označuje libovolnou maticovou normu . Z toho vyplývá, že exponenciální mapa je spojitá a Lipschitzova spojitá na kompaktních podskupinách M _n ( C ) .

Mapa

${\ Displaystyle t \ mapsto e^{tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R}}$

definuje hladkou křivku v obecné lineární skupině, která prochází prvkem identity v t = 0.

Ve skutečnosti to dává jednoparametrickou podskupinu obecné lineární skupiny od

${\ Displaystyle e^{tX} e^{sX} = e^{(t+s) X}.}$

Derivace této křivky (nebo tečného vektoru ) v bodě t je dána vztahem

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e^{tX} = Xe^{tX} = e^{tX} X.}$

( 1 )

Derivace v čase t = 0 je pouze matice X , což znamená, že X generuje tuto podskupinu s jedním parametrem.

Obecněji platí, že pro obecný t -závislý exponent X ( t ) ,

Když vezmeme výše uvedený výraz e ^{X ( t )} mimo integrální znaménko a rozšíříme integrand pomocí Hadamardova lemmatu, můžeme získat následující užitečný výraz pro derivaci maticového exponentu,

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {d} {dt}} e^{X (t)} \ right) e^{-X (t)} = {\ frac {d} {dt}} X (t )+{\ frac {1} {2!}} \ left [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t) \ right]+{\ frac {1} {3!}} \ left [X (t), \ left [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t) \ right] \ right]+\ cdots}$

Koeficienty ve výše uvedeném výrazu se liší od toho, co se objevuje v exponenciále. Pro uzavřenou formu viz derivát exponenciální mapy .

Výpočet exponenciální matice

Najít spolehlivé a přesné metody pro výpočet exponenciálu matice je obtížné, a to je stále téma značného současného výzkumu v matematice a numerické analýze. Matlab , GNU Octave a SciPy používají přibližný Padé . V této části diskutujeme metody, které jsou v zásadě použitelné pro jakoukoli matici a které lze explicitně provést pro malé matice. Následující části popisují metody vhodné pro numerické hodnocení na velkých matricích.

Diagonalizovatelné pouzdro

Pokud je matice diagonální :

${\ Displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & a_ {n } \ end {bmatrix}}}$,

pak jeho exponenciál lze získat umocněním každého záznamu na hlavní diagonále:

${\ Displaystyle e^{A} = {\ begin {bmatrix} e^{a_ {1}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & e^{a_ {2}} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & e^{a_ {n}} \ end {bmatrix}}}$.

Tento výsledek také umožňuje umocňovat diagonalizovatelné matice . Li

A = UDU ⁻¹

a D je diagonální

e ^A = Ue ^D U ⁻¹ .

Aplikace Sylvestrova vzorce poskytuje stejný výsledek. (Chcete-li to vidět, všimněte si, že sčítání a násobení, potažmo také umocňování diagonálních matic, je ekvivalentní sčítání a násobení na základě prvků, a tedy umocňování; zejména „jednorozměrné“ umocňování je pociťováno elementárně pro diagonály případ.)

Příklad: Diagonalizovatelný

Například matice

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}}$

lze diagonalizovat jako

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -2 & 2 \ \ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}^{-1}.}$

Tím pádem,

${\ Displaystyle e^{A} = {\ begin {bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}} e^{\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}^{-1} = {\ begin {bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} { \ frac {1} {e}} & 0 \\ 0 & e^{3} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}^{-1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {e^{4} +1} {2e}} & {\ frac {e^{4} -1} {e}} \\ {\ frac {e^{4} -1} {4e}} & {\ frac {e^{4} +1} {2e}} \\\ end {bmatrix}}.}$

Žádný případ

Matice N je nulová, pokud N ^q = 0 pro nějaké celé číslo q . V tomto případě lze maticový exponenciál e ^N vypočítat přímo z rozšíření řady, protože řada končí po konečném počtu výrazů:

${\ Displaystyle e^{N} = I+N+{\ frac {1} {2}} N^{2}+{\ frac {1} {6}} N^{3}+\ cdots+{\ frac {1} {(q-1)!}} N^{q-1} ~.}$

Protože řada má konečný počet kroků, jedná se o maticový polynom, který lze efektivně vypočítat .

Obecný případ

Pomocí Jordan -Chevalleyova rozkladu

Při rozkladu Jordan-Chevalleyova každá matice X s komplexními záznamů může být vyjádřena jako ${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle X = A+N \,}$

kde

• A je diagonalizovatelné
• N není účinné
• A dojíždí s N

To znamená, že můžeme vypočítat exponenciál X snížením na předchozí dva případy:

${\ Displaystyle e^{X} = e^{A+N} = e^{A} e^{N}. \,}$

Všimněte si, že potřebujeme komutativitu A a N, aby poslední krok fungoval.

Pomocí kanonického formuláře Jordan

Blízce příbuznou metodou je, v případě, že je pole algebraicky uzavřený , na práci s formou Jordan z X . Předpokládejme, že X = PJP  ^-1 , kde J je Jordán forma X . Pak

${\ Displaystyle e^{X} = Pe^{J} P^{-1}. \,}$

Také, protože

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J & = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}), \\ e^{J} & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ { a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ velký)} \\ & = \ exp {\ velký (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)}. \ end {aligned}}}$

Proto potřebujeme pouze vědět, jak vypočítat exponenciál matice bloku Jordan. Ale každý Jordanův blok má formu

${\ displaystyle {\ begin {aligned} && J_ {a} (\ lambda) & = \ lambda I+N \\ & \ Rightarrow & e^{J_ {a} (\ lambda)} & = e^{\ lambda I+ N} = e^{\ lambda} e^{N}. \ End {aligned}}}$

kde N je speciální nilpotentní matice. Maticový exponenciál J je pak dán vztahem

${\ Displaystyle e^{J} = e^{\ lambda _ {1}} e^{N_ {a_ {1}}} \ oplus e^{\ lambda _ {2}} e^{N_ {a_ {2 }}} \ oplus \ cdots \ oplus e^{\ lambda _ {n}} e^{N_ {a_ {n}}}}$

Projekční pouzdro

Pokud P je projekční matice (tj. Je idempotentní : P ² = P ), její exponenciální matice je:

e ^P = I + ( e - 1) P .

Odvozením toho expanzí exponenciální funkce se každý výkon P redukuje na P, což se stává běžným faktorem součtu:

${\ Displaystyle e^{P} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {P^{k}} {k!}} = I+\ left (\ sum _ {k = 1} ^{\ infty} {\ frac {1} {k!}} \ right) P = I+(e-1) P ~.}$

Rotační pouzdro

Pro jednoduchou rotaci, ve které kolmé jednotkové vektory a a b určují rovinu, může být rotační matice R vyjádřena pomocí podobné exponenciální funkce zahrnující generátor G a úhel θ .

${\ displaystyle {\ begin {aligned} G & = \ mathbf {ba} ^{\ mathsf {T}}-\ mathbf {ab} ^{\ mathsf {T}} & P & =-G ^{2} = \ mathbf { aa} ^{\ mathsf {T}}+\ mathbf {bb} ^{\ mathsf {T}} \\ P ^{2} & = P & PG & = G = GP ~, \ end {zarovnaný}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} R \ left (\ theta \ right) = e^{G \ theta} & = I+G \ sin (\ theta)+G^{2} (1- \ cos (\ theta)) \\ & = I-P+P \ cos (\ theta)+G \ sin (\ theta) ~. \\\ end {zarovnáno}}}$

Vzorec pro exponenciálu vyplývá ze snížení sil G v expanzi řady a identifikace příslušných řadových koeficientů G ² a G s −cos ( θ ) respektive sin ( θ ) . Druhý výraz zde pro e ^Gθ je stejný jako výraz pro R ( θ ) v článku obsahujícím odvození generátoru , R ( θ ) = e ^Gθ .

Ve dvou rozměrech, je-li a pak , a ${\ Displaystyle a = \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ Displaystyle b = \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ Displaystyle G = \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ Displaystyle G^{2} = \ left [{\ begin {smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) &-\ sin (\ theta) \\\ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = I \ cos (\ theta)+G \ sin (\ theta)}$

redukuje na standardní matici pro rotaci roviny.

Matice P = - G ² projekty vektor na ab -plane a otáčení ovlivní pouze tuto část vektoru. Příklad ilustrující to je otáčení 30 ° = π / 6 v rovině překlenuta a B ,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {a} & = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} & \ mathbf {b} & = {\ frac {1 } {\ sqrt {5}}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\\ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} G = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} & {\ begin {bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix} } & P = -G^{2} & = {\ frac {1} {5}} {\ begin {bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\\ end {bmatrix}} \ \ P {\ begin {bmatrix } 1 \\ 2 \\ 3 \\\ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {5}} & {\ begin {bmatrix} 5 \\ 8 \\ 16 \\\ end {bmatrix}} = \ mathbf {a} +{\ frac {8} {\ sqrt {5}}} \ mathbf {b} & R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) & = {\ frac {1 } {10}} {\ begin {bmatrix} 5 {\ sqrt {3}} &-{\ sqrt {5}} &-2 {\ sqrt {5}} \\ {\ sqrt {5}} & 8+{\ sqrt {3}} &-4+2 {\ sqrt {3}} \\ 2 {\ sqrt {5}} &-4+2 {\ sqrt {3}} & 2+4 {\ sqrt {3}} \ \\ end {bmatrix}} \\\ end {aligned}}}$

Nechť N = I - P , takže N ² = N a její produkty s P a G jsou nulové. To nám umožní vyhodnotit pravomoci R .

${\ displaystyle {\ begin {aligned} R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) & = N+P {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}+G {\ frac {1} {2}} \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right)^{2} & = N+P {\ frac {1} {2}}+G { \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right)^{3} & = N+G \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right)^{6} & = NP \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right)^{12} & = N+P = I \\\ end {aligned}}}$

Hodnocení série Laurent

Na základě Cayley -Hamiltonovy věty je maticový exponenciál vyjádřen jako polynom řádu n −1.

Pokud P a Q _t jsou nenulové polynomy v jedné proměnné, například P ( A ) = 0 , a pokud je meromorfní funkce

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {e^{tz} -Q_ {t} (z)} {P (z)}}}$

Je celá , poté

${\ displaystyle e^{tA} = Q_ {t} (A)}$.

Na důkaz, násobit první ze dvou výše uvedených rovností podle P ( Z ) a nahradit Z od A .

Takový polynom Q _t ( z ) lze nalézt následovně - viz Sylvesterův vzorec . Nechat být kořen P , Q _{A, T} ( z ) je řešena z produktu P z hlavní části z řady Laurent o f u : je úměrná příslušnému Frobeniova covariant . Pak Součet S _t o Q _{A, T} , kde A běží přes všechny kořeny P , může být užíván jako konkrétní Q _t . Všechny ostatní Q _t získáme přidáním násobku P do S _t ( z ) . Zejména, S _t ( z ) se Lagrangeův-Sylvester polynom , je jediným Q _t , jejíž stupeň je menší než P .

Příklad : Uvažujme případ libovolné matice 2 × 2,

${\ Displaystyle A: = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}.}$

Exponenciální matice e ^tA na základě Cayley -Hamiltonovy věty musí mít tvar

${\ Displaystyle e^{tA} = s_ {0} (t) \, I+s_ {1} (t) \, A}$.

(Pro jakékoli komplexní číslo z a jakoukoli C -algebru B označíme opět z součinem z jednotkou B. )

Nechť α a beta se kořeny charakteristického polynomu z A ,

${\ Displaystyle P (z) = z^{2}-(a+d) \ z+ad-bc = (z- \ alpha) (z- \ beta) ~.}$

Pak máme

${\ Displaystyle S_ {t} (z) = e^{\ alpha t} {\ frac {z- \ beta} {\ alpha-\ beta}}+e^{\ beta t} {\ frac {z- \ alfa} {\ beta -\ alpha}} ~,}$

proto

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} s_ {0} (t) & = {\ frac {\ alpha \, e^{\ beta t} -\ beta \, e^{\ alpha t}} {\ alpha - \ beta}}, & s_ {1} (t) & = {\ frac {e^{\ alpha t} -e^{\ beta t}} {\ alpha -\ beta}} \ end {zarovnáno}}}$

pokud α ≠ β ; zatímco, pokud α = β ,

${\ Displaystyle S_ {t} (z) = e^{\ alpha t} (1+t (z- \ alpha)) ~,}$

aby

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} s_ {0} (t) & = (1- \ alpha \, t) \, e^{\ alpha t}, & s_ {1} (t) & = t \, e ^{\ alpha t} ~. \ end {aligned}}}$

Definování

${\ displaystyle {\ begin {aligned} s & \ equiv {\ frac {\ alpha +\ beta} {2}} = {\ frac {\ operatorname {tr} A} {2}} ~, & q & \ equiv {\ frac {\ alpha-\ beta} {2}} = \ pm {\ sqrt {-\ det \ left (A-sI \ right)}}}, \ end {aligned}}}$

my máme

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} s_ {0} (t) & = e^{st} \ left (\ cosh (qt) -s {\ frac {\ sinh (qt)} {q}} \ right) , & s_ {1} (t) & = e^{st} {\ frac {\ sinh (qt)} {q}}, \ end {aligned}}}$

kde sin ( qt )/ q je 0, pokud t = 0, a t, pokud q = 0.

Tím pádem,

Jak je uvedeno výše, matice A se rozložila na součet dvou vzájemně se dojíždějících kusů, stopového kusu a beze stopy,

${\ Displaystyle A = sI+(A-sI) ~,}$

maticový exponenciál se redukuje na prostý součin exponenciálů dvou příslušných kusů. Toto je vzorec často používaný ve fyzice, protože se rovná analogii Eulerova vzorce pro matice Pauliho rotace , tj. Rotace dubletové reprezentace skupiny SU (2) .

Polynomu S _t lze také dát následující charakterizaci „ interpolace “. Definovat e _t ( Z ) ≡ e ^tz , a n ≡ ° P . Pak S _t ( z ) je unikátní stupeň < n polynom který splňuje S _t ^{( k )} ( ) = e _t ^{( k )} ( ) vždy, když k je menší než mnohosti jako kořen P . Domníváme se, jak jsme samozřejmě možné, že P je minimální polynom of A . Dále předpokládáme, že A je diagonalizovatelná matice . Zejména kořeny P jsou jednoduché a charakterizace " interpolace " naznačuje, že S _t je dána Lagrangeovým interpolačním vzorcem, takže je to Lagnomův -Sylvesterův polynom .

Na druhé straně, pokud P = ( z - a ) ⁿ , pak

${\ Displaystyle S_ {t} = e^{at} \ \ sum _ {k = 0}^{n-1} \ {\ frac {t^{k}} {k!}} \ (za)^{ k} ~.}$

Nejjednodušší případ nevztahuje výše uvedených pozorování je, když se v ≠ B , která poskytuje ${\ Displaystyle P = (za)^{2} \, (zb)}$

${\ Displaystyle S_ {t} = e^{at} \ {\ frac {zb} {ab}} \ {\ Bigg (} 1+ \ left (t+{\ frac {1} {ba}} \ right) ( za) {\ Bigg)}+e^{bt} \ {\ frac {(za)^{2}} {(ba)^{2}}}.}$

Hodnocení implementací Sylvestrova vzorce

Praktický, zrychlený výpočet výše uvedeného redukuje na následující rychlé kroky. Připomeňme shora, že n × n matice exp ( tA ) odpovídá lineární kombinaci prvních n -1 mocnin A podle Cayley -Hamiltonovy věty . Pro diagonalizable matric, jak je uvedeno výše, například v případě 2 x 2, Sylvester vzorec výnosy exp ( tA ) = B _α exp ( tα ) + B _p exp ( tβ ) , kde B je jsou to Frobeniovy covariants z A .

Nejsnazší je však jednoduše vyřešit přímo tato B vyhodnocením tohoto výrazu a jeho první derivace při t = 0, pokud jde o A a I , najít stejnou odpověď jako výše.

Ale tento jednoduchý postup funguje i pro vadné matice, při generalizaci kvůli Buchheimu. Zde je to znázorněno na příkladu 4 × 4 matice, která není diagonalizovatelná , a B s nejsou projekční matice.

Zvážit

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &-{\ frac {1} {8}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} { 2}} \ end {bmatrix}} ~,}$

s vlastními hodnotami λ ₁ = 3/4 a λ ₂ = 1 , každé s násobností dvou.

Zvažte exponenciálu každé vlastní hodnoty vynásobenou t , exp ( λ _i t ) . Každou umocněnou vlastní hodnotu vynásobte odpovídající neurčenou maticí koeficientů B _i . Pokud vlastní čísla mají algebraickou multiplicitu větší než 1, opakujte postup, ale nyní se vynásobí dalším faktorem t pro každé opakování, aby byla zajištěna lineární nezávislost.

(Pokud by jedno vlastní číslo mělo multiplicitu tří, pak by existovaly tři termíny:. Naproti tomu, když jsou všechna vlastní čísla odlišná, jsou B s pouze Frobeniusovými kovarianty a řešení pro ně níže uvedené se rovná inverzi Vandermondova matice těchto 4 vlastních čísel.) ${\ Displaystyle B_ {i_ {1}} e^{\ lambda _ {i} t}, ~ B_ {i_ {2}} te^{\ lambda _ {i} t}, ~ B_ {i_ {3}} t^{2} e^{\ lambda _ {i} t}}$

Shrňte všechny takové výrazy, zde čtyři takové,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} e^{At} & = B_ {1_ {1}} e^{\ lambda _ {1} t}+B_ {1_ {2}} te^{\ lambda _ {1 } t}+B_ {2_ {1}} e^{\ lambda _ {2} t}+B_ {2_ {2}} te^{\ lambda _ {2} t}, \\ e^{At} & = B_ {1_ {1}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+B_ {1_ {2}} te^{{\ frac {3} {4}} t}+B_ {2_ {1}} e^{1t}+B_ {2_ {2}} te^{1t} ~. \ End {aligned}}}$

Abychom vyřešili všechny neznámé matice B z hlediska prvních tří mocnin A a identity, potřebujeme čtyři rovnice, přičemž výše uvedená poskytne jednu takovou při t = 0. Dále ji rozlište s ohledem na t ,

${\ Displaystyle Ae^{At} = {\ frac {3} {4}} B_ {1_ {1}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+\ left ({\ frac {3 } {4}} t+1 \ right) B_ {1_ {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+1B_ {2_ {1}} e^{1t}+\ left ( 1t+1 \ vpravo) B_ {2_ {2}} e^{1t} ~,}$

a znovu,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A^{2} e^{At} & = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{2} B_ {1_ {1}} e^ {{\ frac {3} {4}} t}+\ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{2} t+\ left ({\ frac {3} {4} } +1 \ cdot {\ frac {3} {4}} \ right) \ right) B_ {1_ {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+B_ {2_ {1} } e^{1t}+\ vlevo (1^{2} t+(1+1 \ cdot 1) \ vpravo) B_ {2_ {2}} e^{1t} \\ & = \ left ({\ frac { 3} {4}} \ right)^{2} B_ {1_ {1}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+\ left (\ left ({\ frac {3} {4 }} \ right)^{2} t+{\ frac {3} {2}} \ right) B_ {1_ {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+B_ {2_ { 1}} e^{t}+\ vlevo (t+2 \ vpravo) B_ {2_ {2}} e^{t} ~, \ end {zarovnáno}}}$

a ještě jednou,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A^{3} e^{At} & = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{3} B_ {1_ {1}} e^ {{\ frac {3} {4}} t}+\ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{3} t+\ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{2}+\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) \ cdot {\ frac {3} {4}} \ right) \ right) B_ {1_ { 2}} e^{{\ frac {3} {4}} t}+B_ {2_ {1}} e^{1t}+\ left (1^{3} t+(1+2) \ cdot 1 \ vpravo) B_ {2_ {2}} e^{1t} \\ & = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{3} B_ {1_ {1}} e^{{\ frac {3} {4}} t} \!+\ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{3} t \!+{\ frac {27} {16}} \ right) B_ {1_ {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t} \!+B_ {2_ {1}} e^{t} \!+\ left (t+3 \ cdot 1 \ right) B_ {2_ {2}} e^{t} ~. \ end {aligned}}}$

(V obecném případě je třeba vzít n -1 derivátů.)

Nastavením t = 0 v těchto čtyřech rovnicích lze nyní vyřešit čtyři matice koeficientů B s,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I & = B_ {1_ {1}}+B_ {2_ {1}} \\ A & = {\ frac {3} {4}} B_ {1_ {1}}+B_ { 1_ {2}}+B_ {2_ {1}}+B_ {2_ {2}} \\ A^{2} & = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{2} B_ {1_ {1}}+{\ frac {3} {2}} B_ {1_ {2}}+B_ {2_ {1}}+2B_ {2_ {2}} \\ A^{3} & = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)^{3} B_ {1_ {1}}+{\ frac {27} {16}} B_ {1_ {2}}+B_ {2_ { 1}}+3B_ {2_ {2}} ~, \ end {zarovnaný}}}$

poddat se

${\ displaystyle {\ begin {aligned} B_ {1_ {1}} & = 128A^{3} -366A^{2}+288A-80I \\ B_ {1_ {2}} & = 16A^{3}- 44A^{2}+40A-12I \\ B_ {2_ {1}} & =-128A^{3}+366A^{2} -288A+80I \\ B_ {2_ {2}} & = 16A^{ 3} -40A^{2}+33A-9I ~. \ End {zarovnaný}}}$

Dosazením hodnoty za A získáme matice koeficientů

${\ displaystyle {\ begin {aligned} B_ {1_ {1}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 48 & -16 \\ 0 & 0 & -8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \\ B_ {1_ { 2}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & {\ frac {1} {2}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {4}} &-{\ frac {1} {8}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} &-{\ frac {1} {4}} \ end {bmatrix}} \\ B_ {2_ {1}} & = {\ begin { bmatrix} 1 & 0 & -48 & 16 \\ 0 & 1 & 8 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \\ B_ {2_ {2}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 8 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}$

takže konečná odpověď je

${\ Displaystyle e^{tA} = {\ begin {bmatrix} e^{t} & te^{t} & \ left (8t-48 \ right) e^{t} \!+\ left (4t+48 \ vpravo) e^{{\ frac {3} {4}} t} & \ left (16-2 \, t \ right) e^{t} \!+\ left (-2t-16 \ right) e^ {{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 & e^{t} & 8e^{t} \!+\ left (-t-8 \ right) e^{{\ frac {3} {4} } t} &-2e^{t}+{\ frac {t+4} {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 & 0 & {\ frac {t+4} { 4}} e^{{\ frac {3} {4}} t} &-{\ frac {t} {8}} e^{{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 & 0 & {\ frac {t} {2}} e^{{\ frac {3} {4}} t} &-{\ frac {t-4} {4}} e^{{\ frac {3} {4}} t} ~. \ end {bmatrix}}}$

Postup je mnohem kratší než Putzerův algoritmus, který se v takových případech někdy používá.

Ilustrace

Předpokládejme, že chceme vypočítat exponenciálu

${\ Displaystyle B = {\ begin {bmatrix} 21 & 17 & 6 \\-5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {bmatrix}}.}$

Jeho Jordanova forma je

${\ Displaystyle J = P^{-1} BP = {\ begin {bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {bmatrix}},}$

kde matice P je dána vztahem

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix}-{\ frac {1} {4}} & 2 & {\ frac {5} {4}} \\ {\ frac {1} {4}} &-2 &-{ \ frac {1} {4}} \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Nejprve vypočítáme exp ( J ). My máme

${\ Displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16) \,}$

Exponenciál matice 1 × 1 je jen exponenciál jednoho vstupu matice, takže exp ( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ]. Exponenciál J ₂ (16) lze vypočítat podle vzorce e ^{(λ I  +  N )} =  e ^λ e ^N uvedeného výše; to přináší

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ exp \ left ({\ begin {bmatrix} 16 & 1 \\ 0 & 16 \ end {bmatrix}} \ right) = e^{16} \ exp \ left ({\ begin {bmatrix } 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ right) = \\ [6pt] {} = {} & e^{16} \ left ({\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}+ {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}+{1 \ over 2!} {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}+\ cdots {} \ right) = { \ begin {bmatrix} e^{16} & e^{16} \\ 0 & e^{16} \ end {bmatrix}}. \ end {aligned}}}$

Exponenciál původní matice B je tedy

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ exp (B) & = P \ exp (J) P^{-1} = P {\ begin {bmatrix} e^{4} & 0 & 0 \\ 0 & e^{16} & e ^{16} \\ 0 & 0 & e^{16} \ end {bmatrix}} P^{-1} \\ [6pt] & = {1 \ over 4} {\ begin {bmatrix} 13e^{16} -e^ {4} & 13e^{16} -5e^{4} & 2e^{16} -2e^{4} \\-9e^{16}+e^{4} &-9e^{16}+5e^{ 4} &-2e^{16}+2e^{4} \\ 16e^{16} & 16e^{16} & 4e^{16} \ end {bmatrix}}. \ End {aligned}}}$

Aplikace

Lineární diferenciální rovnice

Maticový exponenciál má aplikace v soustavách lineárních diferenciálních rovnic . (Viz také maticová diferenciální rovnice .) Připomeňme si dříve v tomto článku, že homogenní diferenciální rovnice tvaru

${\ Displaystyle \ mathbf {y} '= A \ mathbf {y}}$

má řešení e ^At y (0) .

Pokud vezmeme v úvahu vektor

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {bmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {bmatrix}} ~,}$

systém nehomogenních spojených lineárních diferenciálních rovnic můžeme vyjádřit jako

${\ Displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t)+\ mathbf {b} (t).}$

Vytváření anatz k použití integračního faktoru e ^{- At} a násobení v průběhu, výnosy

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} && e^{-At} \ mathbf {y} '-e^{-At} A \ mathbf {y} & = e^{-At} \ mathbf {b} \\ & \ Rightarrow & e^{-At} \ mathbf {y} '-Ae^{-At} \ mathbf {y} & = e^{-At} \ mathbf {b} \\ & \ Rightarrow & {\ frac {d } {dt}} \ left (e^{-At} \ mathbf {y} \ right) & = e^{-At} \ mathbf {b} ~. \ end {aligned}}}$

Druhý krok je možný díky skutečnosti, že pokud AB = BA , pak e ^At B = Be ^At . Výpočet e ^{At tedy} vede k řešení systému jednoduchou integrací třetího kroku s ohledem na t .

Příklad (homogenní)

Zvažte systém

${\ displaystyle {\ begin {matrix} x '& = & 2x & -y &+z \\ y' & = && 3y & -1z \\ z '& = & 2x &+y &+3z \ end {matrix}} ~.}$

Přidružená vadná matice je

${\ Displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {bmatrix}} ~.}$

Exponenciální matice je

${\ Displaystyle e^{tA} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} e^{2t} \ left (1+e^{2t} -2t \ right) &-2te^{ 2t} & e^{2t} \ left (-1+e^{2t} \ right) \\-e^{2t} \ left (-1+e^{2t} -2t \ right) & 2 (t+1 ) e^{2t} &-e^{2t} \ left (-1+e^{2t} \ right) \\ e^{2t} \ left (-1+e^{2t}+2t \ right) & 2te^{2t} & e^{2t} \ left (1+e^{2t} \ right) \ end {bmatrix}} ~,}$

takže obecné řešení homogenního systému je

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ frac {x (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} e^{2t} \ left ( 1+e^{2t} -2t \ right) \\-e^{2t} \ left (-1+e^{2t} -2t \ right) \\ e^{2t} \ left (-1+e ^{2t}+2t \ right) \ end {bmatrix}}+{\ frac {y (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} -2te^{2t} \\ 2 (t+1) e ^{2t} \\ 2te^{2t} \ end {bmatrix}}+{\ frac {z (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} e^{2t} \ left (-1+e^ {2t} \ right) \\-e^{2t} \ left (-1+e^{2t} \ right) \\ e^{2t} \ left (1+e^{2t} \ right) \ end {bmatrix}} ~,}$

ve výši

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} 2x & = x (0) e^{2t} \ left (1+e^{2t} -2t \ right)+y (0) \ left (-2te^{2t} \ vpravo)+z (0) e^{2t} \ left (-1+e^{2t} \ right) \\ [2pt] 2y & = x (0) \ left (-e^{2t} \ right) \ vlevo (-1+e^{2t} -2t \ vpravo)+y (0) 2 (t+1) e^{2t}+z (0) \ left (-e^{2t} \ right) \ left (-1+e^{2t} \ right) \\ [2pt] 2z & = x (0) e^{2t} \ left (-1+e^{2t}+2t \ right)+y (0) 2te ^{2t}+z (0) e^{2t} \ left (1+e^{2t} \ right) ~. \ End {aligned}}}$

Příklad (nehomogenní)

Zvažte nyní nehomogenní systém

${\ displaystyle {\ begin {matrix} x '& = & 2x &-& y &+& z &+& e^{2t} \\ y' & = &&& 3y &-& z & \\ z '& = & 2x &+& y &+& 3z &+& e^{2t} \ end {matrix}} ~.}$

Opět máme

${\ Displaystyle A = \ left [{\ begin {array} {rrr} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] ~,}$

a

${\ Displaystyle \ mathbf {b} = e^{2t} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$

Již dříve máme obecné řešení homogenní rovnice. Protože součet homogenních a konkrétních řešení poskytuje obecné řešení nehomogenního problému, nyní potřebujeme pouze najít konkrétní řešení.

Nahoře máme

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {y} _ {p} & = e^{tA} \ int _ {0}^{t} e^{(-u) A} {\ begin {bmatrix} e^{2u} \\ 0 \\ e^{2u} \ end {bmatrix}} \, du+e^{tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] & = e^{tA} \ int _ {0}^{t} {\ begin {bmatrix} 2e^{u} -2ue^{2u} &-2ue^{2u} & 0 \\-2e^{u} +2 (u+1) e^{ 2u} & 2 (u+1) e^{2u} & 0 \\ 2ue^{2u} & 2ue^{2u} & 2e^{u} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} e^{2u} \\ 0 \\ e^{2u} \ end {bmatrix}} \, du+e^{tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] & = e^{tA} \ int _ {0}^{t} {\ begin {bmatrix} e^{2u} \ left (2e^{u} -2ue^{2u} \ right) \\ e^{2u} \ left (-2e^{u} +2 (1+u ) e^{2u} \ right) \\ 2e^{3u}+2ue^{4u} \ end {bmatrix}} \, du+e^{tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] & = e ^{tA} {\ begin {bmatrix}-{1 \ přes 24} e^{3t} \ left (3e^{t} (4t-1) -16 \ right) \\ {1 \ over 24} e^ {3t} \ left (3e^{t} (4t+4) -16 \ right) \\ {1 \ over 24} e^{3t} \ left (3e^{t} (4t-1) -16 \ vpravo) \ end {bmatrix}}+{\ begin {bmatrix} 2e^{t} -2te^{2t} &-2te^{2t} & 0 \\-2e^{t} +2 (t+1) e ^{2t} & 2 (t+1) e^{2t} & 0 \\ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^{t} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c_ {1} \ \ c_ {2} \\ c_ {3} \ end {bmatrix}} ~, \ end {aligned}}}$

což by mohlo být dále zjednodušeno, aby se požadované konkrétní řešení určilo pomocí variací parametrů. Poznámka c = y _p (0). Podrobnější informace najdete v následujícím zobecnění.

Nehomogenní generalizace případů: variace parametrů

Pro nehomogenní případ můžeme použít integrační faktory (metoda podobná variaci parametrů ). Hledáme konkrétní řešení ve tvaru y _p ( t ) = exp ( tA )  z ( t ) ,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {y} _ {p} '(t) & = \ left (e^{tA} \ right)' \ mathbf {z} (t)+e^{tA} \ mathbf {z} '(t) \\ [6pt] & = Ae^{tA} \ mathbf {z} (t)+e^{tA} \ mathbf {z}' (t) \\ [6pt] & = A \ mathbf {y} _ {p} (t)+e^{tA} \ mathbf {z} '(t) ~. \ End {aligned}}}$

Aby y _p bylo řešením,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} e^{tA} \ mathbf {z} '(t) & = \ mathbf {b} (t) \\ [6pt] \ mathbf {z}' (t) & = \ vlevo (e^{tA} \ vpravo)^{-1} \ mathbf {b} (t) \\ [6pt] \ mathbf {z} (t) & = \ int _ {0}^{t} e^ {-uA} \ mathbf {b} (u) \, du+\ mathbf {c} ~. \ end {aligned}}}$

Tím pádem,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {y} _ {p} (t) & = e^{tA} \ int _ {0}^{t} e^{-uA} \ mathbf {b} ( u) \, du+e^{tA} \ mathbf {c} \\ & = \ int _ {0}^{t} e^{(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du+ e^{tA} \ mathbf {c} ~, \ end {aligned}}}$

kde c je určeno počátečními podmínkami problému.

Přesněji zvažte rovnici

${\ Displaystyle Y'-A \ Y = F (t)}$

s počáteční podmínkou Y ( t ₀ ) = Y ₀ , kde

A je komplexní matice n o n ,

F je spojitá funkce z nějakého otevřeného intervalu I do ℂ ⁿ ,

${\ displaystyle t_ {0}}$je bod I a

${\ displaystyle Y_ {0}}$je vektor ℂ ⁿ .

Zleva vynásobené výše zobrazené rovnosti výnosy e ^−tA

${\ Displaystyle Y (t) = e^{(t-t_ {0}) A} \ Y_ {0}+\ int _ {t_ {0}}^{t} e^{(tx) A} \ F (x) \ dx ~.}$

Tvrdíme, že řešení rovnice

${\ Displaystyle P (d/dt) \ y = f (t)}$

s počátečními podmínkami pro 0 ≤ k < n je ${\ Displaystyle y^{(k)} (t_ {0}) = y_ {k}}$

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 0}^{n-1} \ y_ {k} \ s_ {k} (t-t_ {0})+\ int _ {t_ {0}} ^{t} s_ {n-1} (tx) \ f (x) \ dx ~,}$

kde je zápis následující:

${\ Displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X]}$je monický polynom stupně n > 0 ,

f je funkce spojité komplexní hodnoty definované v nějakém otevřeném intervalu I ,

${\ displaystyle t_ {0}}$je bod I ,

${\ displaystyle y_ {k}}$ je komplexní číslo a

s _k ( t ) je koeficientv polynomu označený výšev Subsection Evaluation by Laurent . ${\ displaystyle X^{k}}$${\ Displaystyle S_ {t} \ in \ mathbb {C} [X]}$

Abychom toto tvrzení odůvodnili, transformujeme naši skalární rovnici řádu n na řádovou vektorovou rovnici obvyklou redukcí na systém prvního řádu . Naše vektorová rovnice má tvar

${\ displaystyle {\ frac {dY} {dt}}-A \ Y = F (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0},}$

kde je transpozice společník matrice z P . Tuto rovnici řešíme, jak je vysvětleno výše, vypočítáním exponenciálů matice pozorováním provedeným v Subsection Evaluation implementací výše uvedeného Sylvesterova vzorce .

V případě n = 2 dostaneme následující tvrzení. Řešení

${\ Displaystyle y '--(\ alpha +\ beta) \ y' +\ alpha \, \ beta \ y = f (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y '(t_ {0}) = y_ {1}}$

je

${\ Displaystyle y (t) = y_ {0} \ s_ {0} (t-t_ {0})+y_ {1} \ s_ {1} (t-t_ {0})+\ int _ {t_ { 0}}^{t} s_ {1} (tx) \, f (x) \ dx,}$

kde funkce s ₀ a s ₁ jsou stejné jako v podsekci Hodnocení Laurentovou řadou výše.

Exponenciály matice-matice

Maticový exponenciál jiné matice (exponenciál matice-matice) je definován jako

${\ Displaystyle X^{Y} = e^{\ log (X) \ cdot Y}}$

${\ displaystyle ^{Y} X = e ^{Y \ cdot \ log (X)}}$

pro všechny běžné a non-singulární n x n matice X , a jakékoliv komplexní n x n matice Y .

U exponenciálů matice-matice existuje rozdíl mezi levým exponenciálem ^Y X a pravým exponenciálem X ^Y , protože operátor násobení pro matici-matici není komutativní . Navíc,

• Pokud je X normální a nesingulární, pak X ^Y a ^Y X mají stejnou sadu vlastních čísel.
• Pokud X je normální a non-singulární, Y je normální, a XY = YX , pak X ^Y = ^Y X .
• Pokud X je normální a non-singulární, a X , Y , Z dojíždět mezi sebou, pak X ^{Y + Z} = X ^Y · X ^Z a ^{Y + Z} X = ^Y X · ^Z X .

Viz také

Reference

• Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Elementární úvod , texty absolventů z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Témata v maticové analýze . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46713-1..
• Moler, Cleve ; Van Loan, Charles F. (2003). „Devatenáct pochybných způsobů, jak vypočítat exponenciál matice, o dvacet pět let později“ (PDF) . Recenze SIAM . 45 (1): 3–49. Bibcode : 2003SIAMR..45 .... 3M . CiteSeerX  10.1.1.129.9283 . doi : 10,1137/S00361445024180 . ISSN  1095-7200 ..
• Suzuki, Masuo (1985). „Rozkladné vzorce exponenciálních operátorů a Lieových exponenciálů s některými aplikacemi v kvantové mechanice a statistické fyzice“. Journal of Mathematical Physics . 26 (4): 601–612. Bibcode : 1985JMP .... 26..601S . doi : 10,1063/1,526596 .
• Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). „Kompaktní vzorec pro rotace jako polynomy se spinovou maticí“. Symetrie, integrovatelnost a geometrie: metody a aplikace . 10 : 084. arXiv : 1402,3541 . Bibcode : 2014SIGMA..10..084C . doi : 10,3842/SIGMA.2014.084 . S2CID  18776942 .
• Householder, Alston S. (2006). Teorie matic v numerické analýze . Doverovy knihy o matematice. ISBN 978-0-486-44972-2.
• Van Kortryk, TS (2016). „Maticové exponenciály, prvky skupiny SU (N) a skutečné polynomiální kořeny“. Journal of Mathematical Physics . 57 (2): 021701. arXiv : 1508.05859 . Bibcode : 2016JMP .... 57b1701V . doi : 10,1063/1,4938418 . S2CID  119647937 .

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Matrix Exponential“ . MathWorld .