Matricea Pascal - Pascal matrix

În matematică , în special teoria matrice și combinatorică , o matrice Pascal este un (posibil infinit ) matrice care conține coeficienții binomiali ca elementele sale. Este astfel o codificare a triunghiului lui Pacal sub formă de matrice. Există trei moduri naturale de a realiza acest lucru: ca o matrice triunghiulară inferioară , o matrice triunghiulară superioară sau o matrice simetrică . De exemplu, matricile 5 × 5 sunt:

Există și alte moduri în care triunghiul lui Pascal poate fi pus sub formă de matrice, dar acestea nu sunt ușor extinse până la infinit.

Definiție

Elementele diferite de zero ale unei matrice Pascal sunt date de coeficienții binomiali :

unde indicii i , j încep de la 0 și! denotă factorialul .

Proprietăți

Matricile au relația plăcută S n = L n U n . Din aceasta se vede ușor că toate cele trei matrice au determinantul 1, deoarece determinantul unei matrice triunghiulare este pur și simplu produsul elementelor sale diagonale, care sunt toate 1 atât pentru L n cât și pentru U n . Cu alte cuvinte, matricile S n , L n și U n sunt unimodulare , cu L n și U n având urme n .

Urma lui S n este dată de

cu primii termeni dați de secvența 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (secvența A006134 din OEIS ).

Constructie

Matricea Pascal poate fi de fapt construită luând matricea exponențială a unei matrice speciale subdiagonale sau superdiagonale . Exemplul de mai jos construiește o matrice Pascal 7 × 7, dar metoda funcționează pentru orice matrice n  ×  n Pascal dorită . Punctele din următoarele matrice reprezintă zero elemente.

Este important de reținut că nu se poate presupune pur și simplu exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), pentru n  ×  n matricile A și B ; această egalitate se menține numai atunci când AB = BA (adică atunci când matricile A și B fac naveta ). În construcția matricilor Pascal simetrice ca cea de mai sus, matricile sub și superdiagonale nu fac naveta, astfel încât simplificarea (poate) tentantă care implică adăugarea matricilor nu poate fi realizată.

O proprietate utilă a matricilor sub- și superdiagonale utilizate în construcție este că ambele sunt nilpotente ; adică, când sunt ridicați la o putere întreagă suficient de mare , degenerează în matricea zero . (A se vedea matricea de schimbare pentru detalii suplimentare.) Deoarece n  ×  n matricele de schimbare generalizate pe care le folosim devin zero atunci când sunt ridicate la puterea n , atunci când calculăm exponențialul matricei trebuie să luăm în considerare doar primii  termeni n + 1 din seria infinită pentru a obține un rezultatul exact.

Variante

Variante interesante pot fi obținute prin modificarea evidentă a matricei-logaritmului PL 7 și apoi prin aplicarea exponențialei matricei.

Primul exemplu de mai jos folosește pătratele valorilor matricei log și construiește o matrice "Laguerre" de 7 × 7 (sau matricea coeficienților polinomilor Laguerre

Matricea Laguerre este de fapt folosită cu alte scalări și / sau schema de semne alternative. (Literatura despre generalizări la puteri superioare nu este încă găsită)

Al doilea exemplu de mai jos folosește produsele v ( v  + 1) ale valorilor matricei log și construiește o matrice de 7 × 7 "Lah" - (sau matricea coeficienților numerelor Lah )

Utilizarea v ( v  - 1) oferă în schimb o deplasare în diagonală în partea dreaptă jos.

Al treilea exemplu de mai jos folosește pătratul matricei PL 7 originale , împărțit la 2, cu alte cuvinte: binomii de ordinul întâi (binom ( k , 2)) în al doilea subdiagonal și construiește o matrice, care apare în contextul a derivatelor și integralelor ale Gaussian funcției de eroare :

Dacă această matrice este inversată (folosind, de exemplu, matricea-logaritm negativ), atunci această matrice are semne alternante și dă coeficienții derivaților (și prin extensie integralele) funcției de eroare a lui Gauss. (Literatura despre generalizări la puteri superioare nu este încă găsită.)

O altă variantă poate fi obținută prin extinderea matricei originale la valori negative :

Vezi si

Referințe

linkuri externe