Dojíždějící matice - Commuting matrices

V lineární algebře , dvě matice a říká se, že dojíždějí, pokud , nebo ekvivalentně, pokud je jejich komutátor nulový. O sadě matic se říká, že dojíždějí, pokud dojíždějí po párech, což znamená, že každá dvojice matic v sadě dojíždí navzájem. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle AB = BA}$ ${\ displaystyle [A, B] = AB-BA}$${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$

Charakterizace a vlastnosti

• Dojíždějící matice si navzájem zachovávají vlastní prostory . Důsledkem je, že dojíždějící matice přes algebraicky uzavřené pole jsou současně triangularizovatelné ; to znamená, že existují základny, nad nimiž jsou oba horní trojúhelníkové . Jinými slovy, pokud dojíždíte, existuje podobná matice , která je pro všechny horní trojúhelníková . Hovořit není nutně pravda, jak ukazuje následující counterexample: ${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P ^ {- 1} A_ {i} P}$${\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, k \}}$

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix }} \ neq {\ begin {bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \ end { bmatrix}}.}$

Pokud je však čtverec komutátoru dvou matic nula, tj. , Pak platí obrácení. ${\ displaystyle [A, B] ^ {2} = 0}$

• Jsou-li matice a jsou současně diagonalizovatelné ; to znamená, že pokud existuje podobná matice taková, že a jsou diagonální , pak a dojíždějí. Konverzace nemusí být nutně pravdivá, protože jedna z matic může být nediagnostikovatelná. Například, ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P ^ {- 1} AP}$${\ displaystyle P ^ {- 1} BP}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ text {but}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ text {nelze diagonalizovat.} }}$

Pokud jsou však obě matice diagonalizovatelné, mohou být současně diagonalizovány.

• Pokud má jedna z matic tu vlastnost, že její minimální polynom se shoduje s jeho charakteristickým polynomem (tj. Má maximální stupeň), což se stane zejména vždy, když má charakteristický polynom pouze jednoduché kořeny , pak lze druhou matici zapsat jako polynom v prvním.
• Jako přímý důsledek simultánní triangulizovatelnosti lze vlastní čísla dvou dojíždějících komplexních matic A , B s jejich algebraickými multiplicitami ( multisety kořenů jejich charakteristických polynomů) spojit takovým způsobem, že multiset vlastních čísel libovolného polynomu v dvě matice je multiset hodnot . Tato věta je způsobena Frobeniem . ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ levá šipka \ beta _ {i}}$${\ displaystyle P (A, B)}$${\ displaystyle P (\ alpha _ {i}, \ beta _ {i})}$
• Pokud se jejich vlastní prostory shodují, dojíždějí dvě hermitovské matice . Zejména dojíždějí dvě hermitovské matice bez více vlastních čísel, pokud sdílejí stejnou sadu vlastních vektorů. Toto následuje zvážením rozkladu vlastních čísel obou matic. Dovolit a být dvě hermitovské matice. a mají společné vlastní prostory, když je lze psát jako a . Z toho pak vyplývá ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A = U \ Lambda _ {1} U ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle B = U \ Lambda _ {2} U ^ {\ dagger}}$

  ${\ displaystyle AB = U \ Lambda _ {1} U ^ {\ dagger} U \ Lambda _ {2} U ^ {\ dagger} = U \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} U ^ {\ dýka } = U \ Lambda _ {2} \ Lambda _ {1} U ^ {\ dagger} = U \ Lambda _ {2} U ^ {\ dagger} U \ Lambda _ {1} U ^ {\ dagger} = BA .}$

• Vlastnost dojíždění dvou matic není přechodná : Matice může dojíždět s oběma a , a přesto a nedojíždět mezi sebou. Například matice identity dojíždí se všemi maticemi, které mezi nimi ne dojíždějí všechny. Pokud je uvažovaná množina matic omezena na hermitovské matice bez více vlastních čísel, pak je komutativita přechodná, což je důsledkem charakterizace z hlediska vlastních vektorů. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$
• Lež věta , která ukazuje, že jakýkoliv znázornění z řešitelná algebry lži je zároveň horní triangularizable lze považovat za zobecnění.
• N  x  n matrice dojíždí s každým jiným n  x  n matice právě tehdy, když se jedná o skalární matice, to znamená, že matrice z formy , kde je n  x  n jednotková matice a je skalární. Jinými slovy, střed ze skupiny z n  x  n matic pod násobením je podskupina skalárních matic. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ lambda}$

Příklady

• Matice identity dojíždí se všemi maticemi.
• Každá diagonální matice dojíždí se všemi ostatními diagonálními maticemi.
• Jordan blokuje dojíždění s horními trojúhelníkovými maticemi, které mají stejnou hodnotu podél pásem.
• Pokud je součin dvou symetrických matic symetrický, musí dojíždět.
• Matice oběhového systému dojíždějí. Tvoří komutativní kruh, protože součet dvou matic cirkulace je cirkulační.

Dějiny

Pojem dojíždějící matice představil Cayley ve své monografii o teorii matic, která rovněž poskytla první axiomatizaci matic. První významné výsledky, které se na nich prokázaly, byl výše uvedený výsledek Frobenius v roce 1878.

Reference