Pascal matrix - Pascal matrix

I matematik , især matrixteori og kombinatorik , er en Pascal -matrix en (muligvis uendelig ) matrix, der indeholder de binomiske koefficienter som dets elementer. Det er således en kodning af Pacals trekant i matrixform. Der er tre naturlige måder at opnå dette på: som en lavere trekantet matrix , en øvre trekantet matrix eller en symmetrisk matrix . For eksempel er 5 × 5 matricerne:

Der er andre måder, hvorpå Pascals trekant kan sættes i matrixform, men disse udvides ikke let til uendeligt.

Definition

Ikke-nul-elementerne i en Pascal-matrix er givet af de binomiske koefficienter :

hvor indekserne i , j starter ved 0, og! betegner det faktorielle .

Ejendomme

Matricerne har det glædelige forhold S n = L n U n . Af dette ses let, at alle tre matricer har determinant 1, da determinanten for en trekantet matrix ganske enkelt er produktet af dets diagonale elementer, som alle er 1 for både L n og U n . Med andre ord matricerne S n , L n , og U n er unimodul , med L n og U n har spor n .

Sporet af S n er givet ved

med de første få udtryk givet af sekvensen 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (sekvens A006134 i OEIS ).

Konstruktion

Pascal -matricen kan faktisk konstrueres ved at tage matrixeksponentiel for en særlig subdiagonal eller superdiagonal matrix. Nedenstående eksempel konstruerer en 7 × 7 Pascal -matrix, men metoden fungerer for enhver ønsket n  ×  n Pascal -matrix. Prikkerne i de følgende matricer repræsenterer nulelementer.

Det er vigtigt at bemærke, at man ikke blot kan antage exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), for n  ×  n matricer A og B ; denne lighed gælder kun, når AB = BA (dvs. når matricerne A og B pendler ). Ved konstruktionen af ​​symmetriske Pascal-matricer som den ovenfor pendler sub- og superdiagonalmatricerne ikke, så den (måske) fristende forenkling, der involverer tilføjelse af matricerne, kan ikke foretages.

En nyttig egenskab ved de sub- og superdiagonale matricer, der bruges i konstruktionen, er, at begge er nulpotente ; det vil sige, at når de hæves til et tilstrækkeligt højt heltal , degenererer de til nulmatrixen . (Se skiftmatrix for flere detaljer.) Da de n  ×  n generaliserede skiftmatricer, vi bruger, bliver nul, når de hæves til magten n , behøver vi kun at overveje de første n  + 1 -termer i den uendelige serie for at opnå en nøjagtigt resultat.

Varianter

Interessante varianter kan opnås ved indlysende modifikation af matrix-logaritmen PL 7 og derefter anvendelse af matrixeksponentialen.

Det første eksempel nedenfor bruger firkanterne for logmatrixens værdier og konstruerer en 7 × 7 "Laguerre"- matrix (eller matrix af koefficienter for Laguerre polynomier

Laguerre-matrixen bruges faktisk med en anden skalering og/eller ordningen med skiftende tegn. (Litteratur om generaliseringer til højere magter findes ikke endnu)

Det andet eksempel nedenfor bruger produkterne v ( v  + 1) af logmatrixens værdier og konstruerer en 7 × 7 "Lah"- matrix (eller matrix med koefficienter for Lah-tal )

Brug af v ( v  -1) giver i stedet en diagonal skift til nederst til højre.

Det tredje eksempel nedenfor anvender firkanten af ​​den originale PL 7 -matrix, divideret med 2, med andre ord: førsteordens binomialer (binomial ( k , 2)) i den anden subdiagonal og konstruerer en matrix, som forekommer i forbindelse med de derivater og integraler af den gaussiske fejlfunktionen :

Hvis denne matrix er inverteret (f.eks. Ved hjælp af den negative matrix-logaritme), har denne matrix vekslende tegn og giver koefficienterne for derivaterne (og i forlængelse heraf integralerne) for Gauss 'fejlfunktion. (Litteratur om generaliseringer til højere magter findes ikke endnu.)

En anden variant kan opnås ved at udvide den oprindelige matrix til negative værdier :

Se også

Referencer

eksterne links