Pascal mátrix - Pascal matrix

A matematikában , különösen a mátrixelméletben és a kombinatorikában a Pascal -mátrix egy (esetleg végtelen ) mátrix, amely a binomiális együtthatókat tartalmazza. Ez tehát Pacal háromszögének mátrix alakú kódolása . Ennek három természetes módja van: alsó háromszög mátrix , felső háromszög mátrix vagy szimmetrikus mátrix . Például az 5 × 5 mátrixok a következők:

Vannak más módok is, amelyekkel Pascal háromszögét mátrix alakba lehet helyezni, de ezeket nem lehet könnyen kiterjeszteni a végtelenségig.

Meghatározás

A Pascal mátrix nem nulla elemeit a binomiális együtthatók adják meg :

ahol az i , j indexek 0 -tól kezdődnek, és! a faktoriált jelöli .

Tulajdonságok

A mátrixok kellemes összefüggésben vannak S n = L n U n . Ebből könnyen látható, hogy mindhárom mátrix rendelkezik 1 -es determinánssal , mivel a háromszög alakú mátrix determinánsa egyszerűen annak átlós elemeinek szorzata, amelyek mind L n, mind U n esetén 1 -esek . Más szóval, mátrixok S n , L n , és U n jelentése unimoduláris , a L n és U n , amelynek nyoma n .

S n nyomát az adja

az első néhány kifejezéssel az 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… sorrendben ( az OEIS A006134 szekvenciája ).

Építkezés

A Pascal -mátrixot úgy lehet felépíteni, hogy egy speciális szubdiagonális vagy szuperdiagonális mátrix exponenciálisát veszik fel . Az alábbi példa 7 × 7 Pascal mátrixot állít össze, de a módszer bármely kívánt n  ×  n Pascal mátrix esetén működik. A következő mátrixok pontjai nulla elemet jelentenek.

Fontos megjegyezni, hogy nem lehet egyszerűen feltételezni exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), n  ×  n A és B mátrix esetén ; ez az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha AB = BA (azaz amikor az A és B mátrix ingázik ). A fentihez hasonló szimmetrikus Pascal-mátrixok felépítése során a szub- és szuperdiagonális mátrixok nem ingáznak, így a (talán) csábító leegyszerűsítés a mátrixok hozzáadásával nem végezhető el.

A konstrukcióban használt al- és szuperdiagonális mátrixok hasznos tulajdonsága, hogy mindkettő nilpotens ; vagyis ha kellően nagy egész teljesítményre emelik , degenerálódnak a nulla mátrixba . ( További részletekért lásd a váltási mátrixot .) Mivel az általunk használt n  ×  n általánosított mátrixok nullává válnak , amikor n teljesítményre emelik, a mátrix exponenciális számításakor csak  a végtelen sorozat első n + 1 tagját kell figyelembe vennünk , hogy pontos eredmény.

Változatok

Érdekes változatok érhetők el a PL 7 mátrix-logaritmus nyilvánvaló módosításával, majd a mátrix exponenciális alkalmazásával.

Az alábbi első példa a log-mátrix értékeinek négyzeteit használja, és 7 × 7 "Laguerre"- mátrixot (vagy Laguerre-polinomok együtthatóinak mátrixát) készít

A Laguerre-mátrixot valójában más skálázással és/vagy váltakozó jelek sémájával használják. (A magasabb hatalmakra vonatkozó általánosításokról szóló irodalom még nem található)

Az alábbi második példa  a log-mátrix értékeinek v ( v + 1) szorzatát használja, és 7 × 7 "Lah"- mátrixot (vagy Lah-számok együtthatójának mátrixát ) készít

A v ( v-  1) használata ehelyett átlós eltolást biztosít jobbra lent.

Az alábbi harmadik példa az eredeti PL 7 mátrix négyzetét használja , osztva 2 -vel, más szóval: az elsőrendű binomiálisok (binomiális ( k , 2)) a második aldiagonálisban, és mátrixot állítanak elő, amely a a származékok és integrálok a Gauss hibafüggvény :

Ha ez a mátrix meg van fordítva (például a negatív mátrix-logaritmus használatával), akkor ennek a mátrixnak váltakozó jelei vannak, és megadja a Gauss-féle függvény deriváltjainak (és kiterjesztésével az integráloknak) együtthatóit. (A magasabb hatalmakra vonatkozó általánosításokról szóló irodalom még nem található.)

Egy másik változat is elérhető az eredeti mátrix negatív értékekre történő kiterjesztésével :

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek