Pascal -matriisi - Pascal matrix

On matematiikka , erityisesti matriisi teoria ja kombinatoriikka , joka on Pascal matriisi on (mahdollisesti ääretön ) matriisi , joka sisältää Binomikertoimien sen osia. Se on siis Pacalin kolmion koodaus matriisimuodossa. Tähän on kolme luonnollista tapaa: alemman kolmion matriisina , ylemmän kolmion matriisina tai symmetrisenä matriisina . Esimerkiksi 5 × 5 -matriisit ovat:

On muitakin tapoja, joilla Pascalin kolmio voidaan laittaa matriisimuotoon, mutta niitä ei ole helppo laajentaa äärettömyyteen.

Määritelmä

Pascal-matriisin nollasta poikkeavat elementit annetaan binomikertoimilla :

missä indeksit i , j alkavat 0: sta ja! tarkoittaa tekijää .

Ominaisuudet

Matriiseilla on miellyttävä suhde S n = L n U n . Tästä on helppo nähdä, että kaikilla kolmella matriisilla on determinantti 1, koska kolmionmuotoisen matriisin determinantti on yksinkertaisesti sen diagonaalisten elementtien tulos, jotka ovat kaikki 1 sekä L n: lle että U n: lle . Toisin sanoen, matriisit S n , L n , ja U n ovat unimodular , jossa L n ja U: n , jossa jälki n .

S n: n jälki on annettu

muutaman ensimmäisen ehdoin sekvenssin 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (sekvenssi A006134 on OEIS ).

Rakentaminen

Pascal -matriisi voidaan itse asiassa rakentaa ottamalla eksponentiaalinen matriisi erityisestä osa- tai superdiagonaalimatriisista . Alla oleva esimerkki muodostaa 7 × 7 Pascal -matriisin, mutta menetelmä toimii millä tahansa halutulla n  ×  n Pascal -matriisilla. Seuraavien matriisien pisteet edustavat nollaelementtiä.

On tärkeää huomata, että ei voida vain olettaa exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), kun n  ×  n matriisia A ja B ; tämä tasa -arvo pätee vain, kun AB = BA (eli kun matriisit A ja B matkustavat ). Yllä olevan kaltaisten symmetristen Pascal-matriisien rakentamisessa ali- ja superdiagonaaliset matriisit eivät liiku, joten (ehkä) houkuttelevaa yksinkertaistamista, johon liittyy matriisien lisääminen, ei voida tehdä.

Hyödyllinen ominaisuus rakenteessa käytetyissä ala- ja superdiagonaalisissa matriiseissa on se, että molemmat ovat olemattomia ; eli kun ne nostetaan riittävän suureksi kokonaislukutehoksi , ne rappeutuvat nollamatriisiksi . (Katso lisätietoja siirtomatriisista .) Kun käyttämämme n  ×  n yleistetyt siirtomatriisit muuttuvat nollaksi, kun ne nostetaan tehoon n , matriisin eksponentiaalia laskettaessa meidän on otettava huomioon vain äärettömän sarjan ensimmäiset n  + 1 termit, jotta saadaan tarkka tulos.

Vaihtoehdot

Mielenkiintoisia muunnelmia voidaan saada muuttamalla ilmeisesti matriisi-logaritmia PL 7 ja sitten soveltamalla eksponentiaalista matriisia.

Ensimmäinen esimerkki alla käyttää log-matriisin arvojen neliöitä ja muodostaa 7 × 7 "Laguerre" -matriisin (tai matriisin Laguerre-polynomien kertoimista

Laguerre-matriisia käytetään itse asiassa jonkin muun skaalauksen ja/tai vuorottelevien merkkien kaavion kanssa. (Kirjallisuutta yleistyksistä korkeammille voimille ei ole vielä löydetty)

Toinen alla oleva esimerkki käyttää  log-matriisin arvojen tuloja v ( v + 1) ja muodostaa 7 × 7 "Lah" -matriisin (tai matriisin Lah-numeroiden kertoimista )

Käyttämällä v ( v-  1) sen sijaan saadaan diagonaalinen siirtyminen oikeaan alakulmaan.

Alla olevassa kolmannessa esimerkissä käytetään alkuperäisen PL 7 -matriisin neliötä, joka on jaettu kahdella, toisin sanoen: ensimmäisen asteen binomi (binomi ( k , 2)) toisessa alidiagonalissa ja muodostaa matriisin, joka esiintyy johdannaiset ja integraalit Gaussin virhefunktio :

Jos tämä matriisi on käänteinen (käyttäen esimerkiksi negatiivista matriisi-logaritmia), tällä matriisilla on vuorottelevat merkit ja se antaa Gaussin virhefunktion johdannaisten (ja laajemmin integraalien) kertoimet. (Kirjallisuutta yleistyksistä korkeammille voimille ei ole vielä löydetty.)

Toinen muunnelma voidaan saada laajentamalla alkuperäinen matriisi negatiivisiin arvoihin :

Katso myös

Viitteet

Ulkoiset linkit