Matrice pascale - Pascal matrix

En mathématiques , en particulier la théorie de la matrice et combinatoire , une matrice Pascal est un (éventuellement infinie ) la matrice contenant les coefficients binomiaux que ses éléments. Il s'agit donc d'un codage du triangle de Pacal sous forme matricielle. Il existe trois manières naturelles d'y parvenir : en tant que matrice triangulaire inférieure , matrice triangulaire supérieure ou matrice symétrique . Par exemple, les matrices 5 × 5 sont :

Il existe d'autres manières de mettre le triangle de Pascal sous forme matricielle, mais celles-ci ne sont pas facilement étendues à l'infini.

Définition

Les éléments non nuls d'une matrice de Pascal sont donnés par les coefficients binomiaux :

où les indices i , j commencent à 0, et ! désigne la factorielle .

Propriétés

Les matrices ont la relation agréable S n = L n U n . De là, on voit facilement que les trois matrices ont le déterminant 1, car le déterminant d'une matrice triangulaire est simplement le produit de ses éléments diagonaux, qui sont tous 1 pour L n et U n . En d'autres termes, les matrices S n , L n et U n sont unimodulaires , L n et U n ayant la trace n .

La trace de S n est donnée par

avec les premiers termes donnés par la séquence 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, … (séquence A006134 dans l' OEIS ).

Construction

La matrice de Pascal peut en fait être construite en prenant l' exponentielle matricielle d'une matrice spéciale sous- diagonale ou superdiagonale . L'exemple ci-dessous construit une matrice Pascal 7 × 7, mais la méthode fonctionne pour toutes les matrices Pascal n  ×  n souhaitées . Les points dans les matrices suivantes représentent zéro élément.

Il est important de noter qu'on ne peut pas simplement supposer exp( A ) exp( B ) = exp( A  +  B ), pour n  ×  n matrices A et B ; cette égalité n'est vraie que lorsque AB = BA (c'est-à-dire lorsque les matrices A et B commutent ). Dans la construction de matrices Pascal symétriques comme celle ci-dessus, les matrices sous-diagonales et superdiagonales ne commutent pas, de sorte que la simplification (peut-être) tentante impliquant l'ajout des matrices ne peut pas être effectuée.

Une propriété utile des matrices sous-diagonales et superdiagonales utilisées dans la construction est qu'elles sont toutes deux nilpotentes ; c'est-à-dire que lorsqu'ils sont élevés à une puissance entière suffisamment élevée , ils dégénèrent en la matrice zéro . (Voir la matrice de décalage pour plus de détails.) Comme les matrices de décalage généralisées n  ×  n que nous utilisons deviennent nulles lorsqu'elles sont élevées à la puissance n , lors du calcul de la matrice exponentielle, nous n'avons qu'à considérer les n  + 1 premiers termes de la série infinie pour obtenir un résultat exact.

Variantes

Des variantes intéressantes peuvent être obtenues par modification évidente de la matrice-logarithme PL 7 puis application de l'exponentielle matricielle.

Le premier exemple ci-dessous utilise les carrés des valeurs de la log-matrice et construit une matrice 7 × 7 "Laguerre" (ou matrice de coefficients de polynômes de Laguerre

La matrice de Laguerre est en fait utilisée avec une autre mise à l'échelle et/ou le schéma de signes alternés. (La littérature sur les généralisations à des puissances supérieures n'est pas encore trouvée)

Le deuxième exemple ci-dessous utilise les produits v ( v  + 1) des valeurs de la log-matrice et construit une matrice 7 × 7 "Lah" (ou matrice de coefficients de nombres de Lah )

L'utilisation de v ( v  − 1) fournit à la place un décalage diagonal vers le bas à droite.

Le troisième exemple ci-dessous utilise le carré de la matrice PL 7 originale , divisé par 2, en d'autres termes : les binômes du premier ordre (binôme( k , 2)) dans la deuxième sous-diagonale et construit une matrice, qui se produit dans le contexte de les dérivées et intégrales de la fonction d'erreur gaussienne :

Si cette matrice est inversée (en utilisant, par exemple, la matrice-logarithme négative), alors cette matrice a des signes alternés et donne les coefficients des dérivées (et par extension les intégrales) de la fonction d'erreur de Gauss. (La littérature sur les généralisations à des puissances supérieures n'a pas encore été trouvée.)

Une autre variante peut être obtenue en étendant la matrice d'origine aux valeurs négatives :

Voir également

Les références

Liens externes