Pascal-Matrix - Pascal matrix

In der Mathematik , insbesondere der Matrixtheorie und Kombinatorik , ist eine Pascal-Matrix eine (möglicherweise unendliche ) Matrix, die die Binomialkoeffizienten als ihre Elemente enthält. Es ist somit eine Kodierung des Pacalschen Dreiecks in Matrixform. Es gibt drei natürliche Wege, dies zu erreichen: als untere Dreiecksmatrix , als obere Dreiecksmatrix oder als symmetrische Matrix . Zum Beispiel sind die 5 × 5-Matrizen:

Es gibt noch andere Möglichkeiten, das Pascalsche Dreieck in Matrixform zu bringen, aber diese lassen sich nicht ohne weiteres ins Unendliche erweitern.

Definition

Die von Null verschiedenen Elemente einer Pascal-Matrix sind durch die Binomialkoeffizienten gegeben :

wobei die Indizes i , j bei 0 beginnen und ! bezeichnet die Fakultät .

Eigenschaften

Die Matrizen haben die angenehme Beziehung S n = L n U n . Daraus ist leicht ersichtlich, dass alle drei Matrizen die Determinante 1 haben, da die Determinante einer Dreiecksmatrix einfach das Produkt ihrer diagonalen Elemente ist, die sowohl für L n als auch für U n alle 1 sind . Mit anderen Worten, die Matrizen S n , L n und U n sind unimodular , wobei L n und U n die Spur n haben .

Die Spur von S n ist gegeben durch

mit den ersten Termen der Sequenz 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, … (Sequenz A006134 im OEIS ).

Konstruktion

Die Pascal - Matrix kann tatsächlich , indem man die konstruiert werden Exponentialmatrix einer speziellen subdiagonal oder superdiagonal Matrix. Das folgende Beispiel konstruiert eine 7 × 7 Pascal-Matrix, aber das Verfahren funktioniert für beliebige n  ×  n Pascal-Matrizen. Die Punkte in den folgenden Matrizen repräsentieren Nullelemente.

Es ist wichtig zu beachten, dass man nicht einfach exp( A ) exp( B ) = exp( A  +  B ) für n  ×  n Matrizen A und B annehmen kann ; diese Gleichheit gilt nur, wenn AB = BA (dh wenn die Matrizen A und B kommutieren ). Bei der Konstruktion symmetrischer Pascal-Matrizen wie der obigen kommutieren die sub- und superdiagonalen Matrizen nicht, so dass die (vielleicht) verlockende Vereinfachung mit der Addition der Matrizen nicht gemacht werden kann.

Eine nützliche Eigenschaft der bei der Konstruktion verwendeten sub- und superdiagonalen Matrizen besteht darin, dass beide nilpotent sind ; das heißt, wenn sie auf eine ausreichend hohe ganzzahlige Potenz angehoben werden , degenerieren sie in die Nullmatrix . (Siehe Schiebematrix für weitere Details.) Da die n  ×  n verallgemeinerten Schiebematrizen, die wir verwenden, null werden, wenn sie mit n potenziert werden, brauchen wir bei der Berechnung der Matrixexponentialfunktion nur die ersten n  + 1 Terme der unendlichen Reihe zu berücksichtigen , um an . zu erhalten genaues Ergebnis.

Varianten

Interessante Varianten erhält man durch offensichtliche Modifikation des Matrix-Logarithmus PL 7 und anschließende Anwendung der Matrix-Exponentialfunktion.

Das erste Beispiel unten verwendet die Quadrate der Werte der Log-Matrix und konstruiert eine 7 × 7 "Laguerre"-Matrix (oder Koeffizientenmatrix von Laguerre-Polynomen

Die Laguerre-Matrix wird tatsächlich mit einer anderen Skalierung und/oder dem Schema alternierender Vorzeichen verwendet. (Literatur über Verallgemeinerungen auf höhere Potenzen ist noch nicht vorhanden)

Das zweite Beispiel unten verwendet die Produkte v ( v  + 1) der Werte der Log-Matrix und konstruiert eine 7 × 7 "Lah"-Matrix (oder Matrix von Koeffizienten von Lah-Zahlen )

Die Verwendung von v ( v  − 1) bietet stattdessen eine diagonale Verschiebung nach unten rechts.

Das dritte Beispiel unten verwendet das Quadrat der ursprünglichen PL 7 -Matrix, dividiert durch 2, mit anderen Worten: die Binomiale erster Ordnung (binomial( k , 2)) in der zweiten Subdiagonalen und konstruiert eine Matrix, die im Kontext von die Ableitungen und Integrale der Gaußschen Fehlerfunktion :

Wird diese Matrix invertiert (zB mit dem negativen Matrix-Logarithmus), dann hat diese Matrix alternierende Vorzeichen und gibt die Koeffizienten der Ableitungen (und damit die Integrale) der Gaußschen Fehlerfunktion an. (Literatur über Verallgemeinerungen auf höhere Potenzen ist noch nicht vorhanden.)

Eine andere Variante kann erhalten werden, indem die ursprüngliche Matrix auf negative Werte erweitert wird :

Siehe auch

Verweise

Externe Links