Implicitní povrch - Implicit surface

Implicitní povrchový torus (R = 40, a = 15).

Implicitní povrch rodu 2.

Implicitní nealgebraický povrch ( sklenice na víno ).

V matematiky , An implicitní povrch je povrch v euklidovském prostoru definovaném rovnicí

{\ displaystyle F (x, y, z) = 0.}

Implicitní povrch je množina nul funkce tří proměnných. Implicitní znamená, že rovnice není vyřešena pro x nebo y nebo z .

Graf funkce je obvykle popsán rovnicí a nazývá se explicitní reprezentace. Třetí podstatnou popis povrchu je parametrický jedna: , kde x -, y - a z -coordinates povrchových bodů jsou znázorněny tři funkce v závislosti na společných parametrech . Obecně je změna reprezentací jednoduchá, pouze když je uvedena explicitní reprezentace : (implicitní), (parametrická). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$ ${\ Displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$ ${\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Příklady :

letadlo ${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
koule ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$
torus ${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0.}$
Povrch rodu 2: (viz obrázek). ${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
Revoluční plocha (viz diagram sklenice na víno ). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0,02 = 0}$

Pro rovinu, kouli a torus existují jednoduchá parametrická znázornění. To neplatí pro čtvrtý příklad.

Implicitní funkce věta popisuje podmínky, za kterých rovnice může být řešena (přinejmenším implicitně) pro x , y nebo z, . Obecně však řešení nemusí být výslovné. Tato věta je klíčem k výpočtu základních geometrických rysů povrchu: tečné roviny , normály povrchu , zakřivení (viz níže). Ale mají zásadní nevýhodu: jejich vizualizace je obtížná. ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$

Pokud polynomiální v x , y a Z , povrch se nazývá algebraický . Příklad 5 je non -algebraic. ${\ displaystyle F (x, y, z)}$

Navzdory obtížnosti vizualizace poskytují implicitní povrchy relativně jednoduché techniky pro generování teoreticky (např. Steinerův povrch ) a prakticky (viz níže) zajímavých povrchů.

Vzorce

V následujících úvahách je implicitní povrch představován rovnicí, kde funkce splňuje nezbytné podmínky diferencovatelnosti. K parciální derivace z jsou . ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, \ ldots}$

Tečná rovina a normální vektor

Povrch bod se nazývá regulární právě tehdy, když spád z na není nulový vektor , význam ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle (0,0,0)}$

{\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}

.

Je-li povrch bod je není pravidelný, se nazývá singulární . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Rovnice tečné roviny v pravidelném bodě je ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0,}

a normální vektor je

{\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}.}

Normální zakřivení

Aby byl vzorec jednoduchý, jsou vynechány argumenty : ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}

je normální zakřivení povrchu v pravidelném bodě pro směr tečny jednotky . je pytloviny matice z (matrice z druhých derivátů). ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle H_ {F}}$ ${\ displaystyle F}$

Důkaz tohoto vzorce se spoléhá (jako v případě implicitní křivky) na větu o implicitní funkci a vzorec pro normální zakřivení parametrické plochy .

Aplikace implicitních povrchů

Stejně jako v případě implicitních křivek je snadný úkol generovat implicitní povrchy s požadovanými tvary pomocí algebraických operací (sčítání, násobení) na jednoduchých primitivech.

Ekvipotenciální plocha 4 bodových nábojů

Ekvipotenciální povrch bodových nábojů

Elektrický potenciál bodového náboje v bodě generuje v bodě potenciál (bez fyzických konstant) ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

{\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}.}

Ekvipotenciální plocha pro potenciální hodnotu je implicitní plocha, což je koule se středem v bodě . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potenciál bodových nábojů představuje ${\ displaystyle 4}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}.}

Pro obrázek jsou čtyři náboje rovny 1 a jsou umístěny v bodech . Zobrazená plocha je ekvipotenciální plocha (implicitní plocha) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ ${\ displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Konstantní vzdálenost povrchu produktu

Cassini ovál lze definovat jako množinu bodů, pro kterou je součin vzdáleností ke dvěma daným bodům konstantní (na rozdíl od elipsy je součet konstantní). Podobným způsobem lze definovat implicitní plochy součinem konstantní vzdálenosti k několika pevným bodům.

V metamorfózách diagramu je levá horní plocha generována tímto pravidlem: S

{\ displaystyle {\ begin {aligned} F (x, y, z) = {} & {\ Big (} {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\ & \ qquad \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}} {\ Big)} \ end {zarovnáno}}}

zobrazí se povrch produktu s konstantní vzdáleností . ${\ displaystyle F (x, y, z) -1,1 = 0}$

Metamorfózy mezi dvěma implicitními povrchy: torus a povrch produktu s konstantní vzdáleností.

Metamorfózy implicitních povrchů

Další jednoduchá metoda pro generování nových implicitních povrchů se nazývá metamorfóza implicitních povrchů:

Pro dva implicitní povrchy (v diagramu: povrch produktu s konstantní vzdáleností a torus) jeden definuje nové povrchy pomocí parametru návrhu : ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ v [0,1]}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}

V diagramu je návrhový parametr postupně . ${\ displaystyle \ mu = 0, \, 0,33, \, 0,66, \, 1}$

Aproximace tří tori ( paralelní projekce )

POV-Ray obraz (centrální projekce) s aproximací tří tori.

Hladké aproximace několika implicitních povrchů

${\ displaystyle \ Pi}$ -povrchy lze použít k aproximaci jakéhokoli daného hladkého a ohraničeného objektu, jehož povrch je definován jediným polynomem jako produkt pomocných polynomů. Jinými slovy, můžeme navrhnout jakýkoli hladký objekt s jediným algebraickým povrchem. Označme definující polynomy jako . Potom je přibližný objekt definován polynomem ${\ displaystyle R ^ {3}}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ in \ mathbb {R} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] (i = 1, \ ldots, k)}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = \ prod _ {i} f_ {i} (x, y, z) -r}

kde znamená parametr míchání, který řídí přibližnou chybu. ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

Analogicky k plynulé aproximaci s implicitními křivkami, rovnice

{\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - r = 0}

představuje pro vhodné parametry plynulé aproximace tří protínajících se tori s rovnicemi ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2 }) = 0. \ end {zarovnáno}}}

(V diagramu jsou parametry ) ${\ displaystyle R = 1, \, a = 0,2, \, r = 0,01.}$

POV-Ray image: metamorfózy mezi koulí a konstantní vzdáleností povrchu produktu (6 bodů).

Vizualizace implicitních ploch

Existují různé algoritmy pro vykreslování implicitních povrchů, včetně algoritmu pochodových kostek . V zásadě existují dva nápady pro vizualizaci implicitní plochy: Jeden generuje síť polygonů, která je vizualizována (viz triangulace povrchu ) a druhá se opírá o trasování paprsků, které určuje průsečíky paprsků s povrchem. Průsečíky lze aproximovat trasováním koulí pomocí funkce se znaménkem vzdálenosti k vyhledání vzdálenosti k povrchu.

Viz také

Implicitní křivka

Reference

^ ^a ^b Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). „Pi-povrchy: produkty implicitních povrchů ke konstruktivní kompozici 3D objektů“. WSCG 2019 27. Mezinárodní konference o počítačové grafice, vizualizaci a počítačovém vidění ve střední Evropě. arXiv : 1906.06751 .
^ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15. srpna 1997). Úvod do implicitních povrchů . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .
^ Ian Stephenson (1. prosince 2004). Vykreslování výroby: návrh a implementace . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .
^ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
^ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Matematické nástroje v počítačové grafice s implementacemi C # . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Další čtení

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8
Thorpe: Elementární témata v diferenciální geometrii , Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

externí odkazy

[RaposoGomes2019-1] Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). „Pi-povrchy: produkty implicitních povrchů ke konstruktivní kompozici 3D objektů“. WSCG 2019 27. Mezinárodní konference o počítačové grafice, vizualizaci a počítačovém vidění ve střední Evropě. arXiv : 1906.06751 .

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15. srpna 1997). Úvod do implicitních povrchů . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1. prosince 2004). Vykreslování výroby: návrh a implementace . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .

[4] Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[5] Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Matematické nástroje v počítačové grafice s implementacemi C # . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Languages

In other projects