Implicitní oblast

implicitní plošný torus (R = 40, a = 15)

implicitní oblast pohlaví 2

implicitní nealgebraický povrch ( sklenice na víno )

Implicitní povrch matematiky je povrch v euklidovském prostoru, která je reprezentována rovnicí formy

${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$

je popsán. Implicitní oblast se skládá z celku nul funkce tří proměnných. Implicitní znamená, že rovnice oblasti není vyřešena pro x nebo y nebo z.

Funkční grafy jsou obvykle popsány rovnicí a jsou proto výslovně reprezentovány oblastmi. Třetí důležitou popis ploch je znázornění parametru: . Souřadnice x, yaz povrchových bodů jsou popsány třemi funkcemi, které jsou závislé na dvou společných parametrech . Přechod z jedné reprezentace na druhou je obvykle snadný, pouze pokud existuje explicitní vyjádření : (implicitní), (parametrizované). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ Displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ displaystyle z = f (x, y)}$${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$${\ displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Příklady implicitních ploch:

1. jedna úroveň ,${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. kulka ,${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. torus ,${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Oblast pohlaví 2: (viz obrázek),${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Povrch otáčení (viz obrázek sklenice na víno ).${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0,02 = 0}$

I když lze snadno určit parametrické reprezentace pro rovinu, kouli a torus, pro čtvrtou plochu to již není snadné.

Stejně jako v případě implicitních křivek , za určitých podmínek lze teorém o implicitních funkcích také použít k místnímu prokázání explicitní reprezentace pro implicitní povrchy. V praxi jsou taková rozlišení možná pouze v jednoduchých případech (rovina, koule, ...). Teoretická možnost rozlišení je ale klíčem k výpočtu tečných rovin a křivek v povrchovém bodě (viz níže).

Pokud existuje polynom v x, yaz, přidružená oblast se nazývá algebraická .${\ displaystyle F (x, y, z)}$

Příklad 5. není algebraický.

Implicitní oblasti mají tu nevýhodu, že je obtížné je vizualizovat. Nabízejí však celou řadu teoreticky zajímavých povrchů (např. Steinerovy povrchy ) a v oblasti CAD je relativně snadné generovat povrchy s předvídatelnými tvary a vlastnostmi (viz níže).

Vzorce

U následujících vzorců je implicitní oblast vždy popsána rovnicí , přičemž funkce splňuje nezbytné požadavky na diferencovatelnost. K parciální derivace z jsou označeny podle atd. ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Tečná rovina a normální vektor

Povrchový bod se nazývá pravidelný, pokud ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$je, jinak se bod nazývá singulární .

Rovnice tečné roviny v pravidelném povrchovém bodě je ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$, a

${\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$je normální vektor .

Normální zakřivení

Aby byl vzorec jasný, byly zde vynechány argumenty : ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$je normální zakřivení povrchu v pravidelném bodě ve směru jednotkového tečného vektoru .${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle H_ {F}}$je pytloviny matice z (matrice z druhých derivátů). ${\ displaystyle F}$

Důkaz těchto vzorců vyplývá, stejně jako v případě implicitní křivky, z věty o rozlišení implicitních funkcí a vzorce pro normální zakřivení parametrizované plochy.

Aplikace implicitních povrchů

Implicitní povrchy, stejně jako implicitní křivky, lze relativně snadno generovat algebraickými operacemi (sčítáním, násobením) jednoduchých implicitních povrchů / funkcí.

Ekvipotenciální plocha 4 bodových nábojů

Ekvipotenciální oblasti bodových nábojů

Potenciál bodového náboje v bodě , měřeno v místě , které mohou být předány, kromě konstant ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ popsat.

Ekvipotenciální oblast potenciálu je implicitní oblast . Toto je soustředěná sféra . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potenciál (např.) Bodových nábojů lze projít ${\ displaystyle 4}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ popsat.

Na obrázku jsou čtyři náboje rovny 1 a jsou umístěny v bodech . Zobrazená oblast je ekvipotenciální oblast (implicitní oblast) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Konstantní vzdálenosti produktových oblastí

Stejně jako lze definovat Cassiniho křivku jako množinu bodů, pro které je součin vzdáleností ke dvěma daným bodům konstantní (s elipsou jsou součty vzdáleností ke dvěma bodům konstantní!), Lze definovat také oblasti, jejichž vzdálenost produkty jim umožňují dané body jsou konstantní.

Povrch zobrazený na obrázku Metamorphoses vlevo nahoře je vytvořen podle tohoto principu: With

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

výsledky v dané oblasti . ${\ displaystyle F (x, y, z) -1,1 = 0}$

Metamorfóza mezi dvěma implicitními povrchy (torus a vzdálenost povrchu produktu)

Metamorfózy implicitních povrchů

Další jednoduchá konstrukce nových implicitních povrchů je metamorfóza implicitních povrchů. Přitom předpokládáme dva implicitní povrchy (v příkladu: vzdálenost produktového povrchu a torus) a pomocí parametru pole vygenerujeme pole povrchů ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ mu \ v [0,1]}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Na obrázku byly zobrazeny oblasti pro . ${\ displaystyle \ mu = 0, \, 0,33, \, 0,66, \, 1}$

Aproximace tří tori (paralelní projekce)

PovRay obraz aproximace tří tori (centrální projekce)

Hladké aproximace několika implicitních povrchů

Analogicky k metodě plynulé aproximace několika výtěžků implicitních křivek

${\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

pro vhodné parametry plynulé aproximace tří protínajících se tori s rovnicemi ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( y ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(Parametr obličeje na obrázku jsou: ) ${\ displaystyle R = 1, \, a = 0,2, \, c = 0,01}$

Obrázek PovRay : metamorfóza mezi koulí a šestibodovým povrchem produktu

Vizualizace implicitních oblastí

Implicitní oblasti lze vizualizovat pouze se značným úsilím. V zásadě existují dva nápady pro reprezentaci implicitní plochy. Jedna metoda je založena na generování polygonů, které pokrývají zobrazovanou oblast. Tyto polygony lze použít přímo k vizualizaci oblasti nebo polygony a jejich reprezentace lze dále zpracovat vhodným programem. Informace o tom lze najít v Triangulaci oblasti. Další metoda je založena na sledování paprsku . Zde se zkoumá mnoho jednotlivých přímek pohledu na jejich průnik s povrchem.

Na posledních dvou obrázcích byly triangulované povrchy dodatečně zpracovány programem PovRay . Při porovnávání snímků s 3 Tori si povšimněte, že obraz PovRay je centrální projekcí.

webové odkazy

• Sultanov: Implicitní oblasti
• Hartmann: Geometrie a algoritmy pro návrh podporovaný počítačem
• GEOMVIEW
• K3Dsurf: 3d plošný generátor
• SURF: vizualizace algebraických povrchů

literatura

• John A. Thorpe: Základní témata v diferenciální geometrii. Springer-Verlag, New York 1979, ISBN 0-387-90357-7 .