Zone implicite

tore à aire implicite (R = 40, a = 15)

domaine implicite du genre 2

surface implicite non algébrique ( verre à vin )

Une surface implicite en mathématiques est une surface dans l'espace euclidien qui est représentée par une équation de la forme

${\ style d'affichage F (x, y, z) = 0}$

est décrit. Une zone implicite est constituée de la totalité des zéros d'une fonction de trois variables. Implicite signifie que l'équation de la zone n'est pas résolue pour x ou y ou z.

Les graphes de fonction sont généralement décrits par une équation et sont donc des zones explicitement représentées. La troisième description importante des surfaces est la représentation des paramètres : . Les coordonnées x, y et z des points de surface sont décrites par trois fonctions qui dépendent de deux paramètres communs . Le passage d'une représentation à une autre n'est généralement aisé que s'il existe une représentation explicite : (implicite), (paramétrée). ${\ style d'affichage z = f (x, y)}$ ${\ style d'affichage (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ style d'affichage z = f (x, y)}$${\ style d'affichage zf (x, y) = 0}$${\ style d'affichage (s, t, f (s, t))}$

Exemples de surfaces implicites :

1. un niveau ,${\ style d'affichage x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. une balle ,${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. un tore ,${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Zone de genre 2 : (voir photo),${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Surface de rotation (voir photo verre à vin ).${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

Alors que l'on peut facilement spécifier des représentations paramétriques pour le plan, la sphère et le tore, ce n'est plus facile pour la quatrième surface.

Comme dans le cas des courbes implicites , sous certaines conditions, le théorème sur les fonctions implicites peut également être utilisé pour prouver localement une représentation explicite pour les surfaces implicites. En pratique, de telles résolutions ne sont possibles que dans des cas simples (plan, sphère, ...). Mais la possibilité théorique d'une résolution est la clé pour calculer les plans tangents et les courbures en un point de surface (voir ci-dessous).

S'il existe un polynôme en x, y et z, l'aire associée est appelée algébrique .${\ style d'affichage F (x, y, z)}$

L'exemple 5. n'est pas algébrique.

Les zones implicites ont l'inconvénient d'être difficiles à visualiser. Cependant, ils offrent une large gamme de surfaces théoriquement intéressantes (par exemple, les surfaces de Steiner ) et dans le domaine de la CAO, il est relativement facile de générer des surfaces avec des formes et des propriétés prévisibles (voir ci-dessous).

Formules

Pour les formules suivantes, la zone implicite est toujours décrite par une équation , la fonction remplissant les conditions de différentiabilité nécessaires. Les dérivées partielles de sont notées etc. ${\ style d'affichage F (x, y, z) = 0}$${\ style d'affichage F}$${\ style d'affichage F}$${\ style d'affichage F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Plan tangent et vecteur normal

Un point de surface est dit régulier, si ${\ style d'affichage (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$est, sinon le point est appelé singulier .

L'équation du plan tangent à un point régulier de la surface est ${\ style d'affichage (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$, et

${\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$est un vecteur normal .

Courbure normale

Afin de garder la formule claire, les arguments ont été omis ici : ${\ style d'affichage (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$est la courbure normale de la surface en un point régulier dans la direction du vecteur tangent unitaire .${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle H_ {F}}$est la matrice hessienne de (matrice des dérivées secondes). ${\ style d'affichage F}$

La preuve de ces formules résulte, comme dans le cas de la courbe implicite, du théorème sur la résolution des fonctions implicites et de la formule de la courbure normale d'une surface paramétrée.

Applications de surfaces implicites

Les surfaces implicites, comme les courbes implicites, peuvent être générées relativement facilement par des opérations algébriques (addition, multiplication) de surfaces/fonctions implicites simples.

Aire équipotentielle de charges ponctuelles 4

Zones équipotentielles de charges ponctuelles

Le potentiel d'une charge ponctuelle dans le point , mesuré dans le point , peut être transmis, à l'exception des constantes ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ décris.

La zone équipotentielle au potentiel est la zone implicite . C'est une sphère centrée . ${\ style d'affichage c}$${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Le potentiel de (par exemple) des redevances ponctuelles peut être répercuté ${\ style d'affichage 4}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ décris.

Sur la figure, les quatre charges sont égales à 1 et se situent dans les points . La zone représentée est la zone équipotentielle (zone implicite) . ${\ style d'affichage (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ style d'affichage F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Espaces de produits à espacement constant

De même qu'une courbe de Cassini peut être définie comme l'ensemble des points pour lesquels le produit des distances à deux points donnés est constant (avec une ellipse les sommes des distances à deux points sont constantes !), on peut également définir des aires dont la distance les produits leur permettent étant donné les points sont constants.

La surface montrée dans l'image Métamorphoses en haut à gauche est créée selon ce principe : Avec

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

résultats dans la région . ${\ style d'affichage F (x, y, z) -1.1 = 0}$

Métamorphose entre deux surfaces implicites (tore et surface produit distance)

Métamorphoses de surfaces implicites

Une autre construction simple de nouvelles surfaces implicites est la métamorphose des surfaces implicites. Ce faisant, on suppose deux surfaces implicites (dans l'exemple : une surface produit distance et un tore) et on utilise le paramètre array pour générer le tableau des surfaces ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ mu \ in [0,1]}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Les zones pour ont été montrées dans l'image. ${\ style d'affichage \ mu = 0, \, 0,33, \, 0,66, \, 1}$

Approximation de trois tores (projection parallèle)

Image PovRay d'une approximation de trois tores (projection centrale)

Approximations lisses de plusieurs surfaces implicites

De manière analogue à la méthode de l'approximation lisse de plusieurs courbes implicites donne

${\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

pour des paramètres appropriés, des approximations lisses de trois tores d'intersection avec les équations ${\ style d'affichage c}$

${\ displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( y ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(Les paramètres du visage dans l'image sont : ) ${\ style d'affichage R = 1, \, a = 0,2, \, c = 0,01}$

Image PovRay : métamorphose entre une sphère et une surface de produit de distance à 6 points

Visualisation des zones implicites

Les zones implicites ne peuvent être visualisées qu'avec un effort considérable. Il existe essentiellement deux idées pour représenter une surface implicite. Une méthode est basée sur la génération de polygones qui couvrent la zone à afficher. Ces polygones peuvent être utilisés directement pour visualiser la zone ou les polygones et leur représentation peut être traitée ultérieurement avec un programme approprié. Des informations à ce sujet peuvent être trouvées dans Triangulation d' une zone. Une autre méthode est basée sur le lancer de rayons . Ici, de nombreuses lignes de vue individuelles sont examinées pour leur intersection avec la surface.

Dans les deux dernières images, les surfaces triangulées ont été post-traitées avec le programme PovRay . Lors de la comparaison des images avec les 3 Tori, notez que l'image PovRay est une projection centrale.

liens web

• Sultanov : zones implicites
• Hartmann : Géométrie et algorithmes pour la CONCEPTION ASSISTÉE PAR ORDINATEUR
• GEOMVIEW
• K3Dsurf : générateur de surfaces 3D
• SURF : visualisation de surfaces algébriques

Littérature

• John A. Thorpe : Sujets élémentaires en géométrie différentielle. Springer-Verlag, New York 1979, ISBN 0-387-90357-7 .