Věta o implicitní funkci - Implicit function theorem

V matematice , konkrétněji v kalkulu s více proměnnými , je věta o implicitní funkci nástroj, který umožňuje převést vztahy na funkce několika reálných proměnných . Činí tak reprezentací relace jako grafu funkce . Možná neexistuje jediná funkce, jejíž graf může představovat celou relaci, ale může existovat taková funkce na omezení domény relace. Věta o implicitní funkci poskytuje dostatečnou podmínku k zajištění existence takové funkce.

Přesněji řečeno, vzhledem k systému m rovnic f _i  ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (často zkráceno na F ( x , y ) = 0 ), teorém uvádí, že za mírných podmínek na parciální derivace (vzhledem k y _i y) v bodě, se m proměnné y _i jsou diferencovatelné funkce x _j v nějaké části z bod. Protože tyto funkce obecně nelze vyjádřit v uzavřené formě , jsou implicitně definovány rovnicemi, což motivovalo název věty.

Jinými slovy, za mírných podmínek na parciální derivace, množina nul ze soustavy rovnic je lokálně graf funkce .

Dějiny

Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) je připisován první rigorózní formě věty o implicitní funkci. Ulisse Dini (1845–1918) zobecnila verzi věty o implicitní funkci o reálných proměnných na kontext funkcí libovolného počtu reálných proměnných.

První příklad

Jednotkovou kružnici lze zadat jako křivku úrovně f ( x , y ) = 1 funkce f ( x , y ) = x ² + y ² . Kolem bodu A lze y vyjádřit jako funkci y ( x ) . V tomto příkladu lze tuto funkci zapsat explicitně, protože v mnoha případech žádný takový explicitní výraz neexistuje, ale přesto lze odkazovat na implicitní funkci y ( x ) . Kolem bodu B žádná taková funkce neexistuje.${\ displaystyle g_ {1} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}};}$

Pokud definujeme funkci f ( x , y ) = x ² + y ² , pak rovnice f ( x , y ) = 1 vyřízne jednotkovou kružnici jako množinu úrovní {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . Neexistuje způsob, jak reprezentovat jednotkový kruh jako graf funkce jedné proměnné y = g ( x ), protože pro každou volbu x ∈ (−1, 1) existují dvě možnosti y , a to . ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Je však možné reprezentovat část kruhu jako graf funkce jedné proměnné. Necháme-li k -1 ≤ x ≤ 1 , pak je graf y = g ₁ ( x ), obsahuje horní polovinu kruhu. Podobně, pokud , pak graf y = g ₂ ( x ) dává dolní polovinu kruhu. ${\ displaystyle g_ {1} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$${\ displaystyle g_ {2} (x) = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Účelem věty o implicitní funkci je říci nám existenci funkcí jako g ₁ ( x ) a g ₂ ( x ) , a to i v situacích, kdy nemůžeme zapsat explicitní vzorce. Zaručuje, že g ₁ ( x ) a g ₂ ( x ) jsou rozlišitelné, a funguje to dokonce i v situacích, kdy nemáme vzorec pro f ( x , y ) .

Definice

Dovolit být spojitě diferencovatelnou funkcí. Považujeme to za kartézský součin a bod tohoto součtu zapíšeme jako Počínaje danou funkcí f je naším cílem sestrojit funkci, jejíž graf ( x , g ( x )) je přesně množinou všech ( x , y) ) tak, že f ( x , y ) = 0 . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m},}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots y_ {m}).}$${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

Jak bylo uvedeno výše, nemusí to být vždy možné. Opravíme tedy bod ( a , b ) = ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ), který splňuje f ( a , b ) = 0 , a požádáme o a g, které pracuje poblíž bodu ( a , b ). Jinými slovy, chceme otevřenou množinu obsahující a , otevřenou množinu obsahující b a funkci g  : U → V takovou, aby graf g vyhovoval vztahu f = 0 na U × V a aby v U nebyly žádné další body × V tak učinit. V symbolech, ${\ displaystyle U \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle V \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle \ {(\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ střední \ mathbf {x} \ v U \} = \ {(\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ v U \ krát V \ mid f (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ mathbf {0} \}.}$

Pro uvedení implicitní funkce teorém, potřebujeme Jakobián matice z f , což je matice z parciálních derivací o f . Zkrácením ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ) na ( a , b ) je Jacobova matice

${\ displaystyle (Df) (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ částečné f_ {1}} {\ částečné x_ {1}}} ( \ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ částečné f_ {1}} {\ částečné x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ částečné f_ {m}} {\ částečné x_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ částečné f_ {m}} {\ částečné x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ konec {matice}} \ doprava | \ doleva. {\ začátek {matice} { \ frac {\ částečný f_ {1}} {\ částečný y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ částečný f_ {1}} {\ částečný y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ částečné f_ {m}} {\ částečné y_ {1}} } (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ částečný f_ {m}} {\ částečný y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b} ) \\\ end {matrix}} \ right] = [X | Y]}$

kde X je matice parciálních derivací v proměnných x _i a Y je matice parciálních derivací v proměnných y _j . Věta o implicitní funkci říká, že pokud Y je invertibilní matice, pak podle potřeby existují U , V a g . Psaní všech hypotéz dohromady dává následující prohlášení.

Výrok věty

Dovolit být spojitě diferencovatelnou funkcí a nechat mít souřadnice ( x , y ). Opravte bod ( a , b ) = ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ ,…, b _m ) s f ( a , b ) = 0 , kde je nulový vektor. Pokud je jakobiánská matice (jedná se o pravý panel jakobiánské matice zobrazený v předchozí části): ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m}}$${\ displaystyle \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle J_ {f, \ mathbf {y}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ frac {\ parciální f_ {i}} {\ parciální y_ {j}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ vpravo]}$

je invertovat , potom existuje otevřený soubor obsahující tak, že existuje jedinečná průběžně diferencovatelné funkce taková, že , a .${\ displaystyle U \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle g (\ mathbf {a}) = \ mathbf {b}}$${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) = \ mathbf {0} ~ {\ text {pro všechny}} ~ \ mathbf {x} \ v U}$

Parciální derivace g v U jsou navíc dány produktem matice :${\ displaystyle {\ frac {\ částečné g} {\ částečné x_ {j}}} (\ mathbf {x}) = - \ vlevo [J_ {f, \ mathbf {y}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ vpravo] _ {m \ krát m} ^ {- 1} \ vlevo [{\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ {j}}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ right] _ {m \ krát 1}}$

Vyšší deriváty

Pokud, kromě toho, f je analytické nebo kontinuálně derivací K krát v sousedství ( , b ), pak může zvolit U s cílem, že totéž platí pro g uvnitř U . V analytickém případě se tomu říká věta o implicitní funkci analytiky .

Důkaz pro 2D případ

Předpokládejme, že je spojitě diferencovatelná funkce definující křivku . Dovolit být bod na křivce. Výrok výše uvedené věty lze přepsat pro tento jednoduchý případ následovně: ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F (\ mathbf {r}) = F (x, y) = 0}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Li

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ pravé | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

pak pro křivku kolem můžeme napsat , kde je skutečná funkce.${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle f}$

Důkaz. Protože F je diferencovatelný, zapíšeme diferenciál F prostřednictvím parciálních derivací:

${\ displaystyle \ mathrm {d} F = \ operatorname {grad} F \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = {\ frac {\ částečný F} {\ částečný x}} \ mathrm {d} x + { \ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ mathrm {d} y.}$

Protože jsme omezeni na pohyb po křivce a předpokladem kolem bodu (protože je spojitý v a ). Proto máme obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu : ${\ displaystyle \ mathrm {d} F = 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ neq 0}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ částečné F} {\ částečné y}}}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle \ left. {\ tfrac {\ částečné F} {\ částečné y}} \ pravé | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ částečné _ {x} F \ mathrm {d} x + \ částečné _ {y} F \ mathrm {d} y = 0, \ quad y (x_ {0}) = y_ {0}}$

Nyní hledáme řešení tohoto ODR v otevřeném intervalu kolem bodu, pro který v každém bodě v něm . Protože F je kontinuálně diferencovatelný a z předpokladu, který máme ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle \ částečné _ {y} F \ neq 0}$

${\ displaystyle | \ částečné _ {x} F | <\ infty, | \ částečné _ {y} F | <\ infty, \ částečné _ {y} F \ neq 0.}$

Z toho víme, že je spojitý a ohraničený na obou koncích. Odtud víme, že je to Lipschitzův spojitý v obou x a y . Proto podle Cauchy-Lipschitzovy věty existuje jedinečné y ( x ), které je řešením dané ODR s počátečními podmínkami. ∎${\ displaystyle {\ tfrac {\ částečné _ {x} F} {\ částečné _ {y} F}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {\ částečné _ {x} F} {\ částečné _ {y} F}}}$

Příklad kruhu

Vraťme se k příkladu jednotkové kružnice . V tomto případě n = m = 1 a . Matice parciálních derivací je pouze matice 1 × 2, daná vztahem ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ částečné f} {\ částečné x}} (a, b) & {\ dfrac {\ částečné f} {\ částečné y }} (a, b) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2a & 2b \ end {bmatrix}}}$

Tedy zde je Y ve větě věty jen číslo 2 b ; jím definovaná lineární mapa je invertibilní právě tehdy, když b ≠ 0. Podle věty o implicitní funkci vidíme, že můžeme lokálně napsat kruh ve tvaru y = g ( x ) pro všechny body, kde y ≠ 0. Pro (± 1, 0) narazíme na potíže, jak již bylo uvedeno výše. Věta o implicitní funkci může být stále aplikována na tyto dva body zápisem x jako funkce y , tj .; nyní bude graf funkce , protože kde b = 0 máme a = 1, a podmínky pro lokální vyjádření funkce v této formě jsou splněny. ${\ displaystyle x = h (y)}$${\ displaystyle \ left (h (y), y \ right)}$

Implicitní derivaci y vzhledem k x a derivaci x vzhledem k y lze nalézt úplným rozlišením implicitní funkce a rovnicí 0: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ displaystyle 2x \, dx + 2y \, dy = 0,}$

dávat

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x} {y}}}$

a

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - {\ frac {y} {x}}.}$

Aplikace: změna souřadnic

Předpokládejme, že máme m -rozměrný prostor, parametrizovaný sadou souřadnic . Můžeme zavést nový souřadnicový systém dodáním m funkcí, z nichž každá je průběžně diferencovatelná. Tyto funkce nám umožňují vypočítat nové souřadnice bodu, vzhledem k použití starých souřadnic bodu . Možná si budete chtít ověřit, zda je možný opak: dané souřadnice , můžeme se „vrátit“ a vypočítat původní souřadnice stejného bodu ? Věta o implicitní funkci poskytne odpověď na tuto otázku. (Nové a staré) souřadnice jsou vztaženy pomocí f = 0, s ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ displaystyle h_ {1} \ ldots h_ {m}}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle x '_ {1} = h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}), \ ldots, x' _ {m} = h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ displaystyle f (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) = (h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x '_ {1}, \ ldots, h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x' _ {m}).}$

Jakobiánská matice f v určitém bodě ( a , b ) [kde ] je dána vztahem ${\ displaystyle a = (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}), b = (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = \ left [{\ begin {matrix} -1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & -1 \ end {matrix}} \ left | {\ begin {matrix} {\ frac {\ částečné h_ {1}} {\ částečné x_ {1}}} (b) & \ cdots & {\ frac {\ částečné h_ {1}} {\ částečné x_ {m}}} (b) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ částečné h_ {m}} {\ částečné x_ {1}}} (b) & \ cdots & {\ frac {\ částečné h_ {m}} {\ částečné x_ {m}}} (b) \\\ konec {matice}} \ doprava. \ doprava] = [- I_ {m} | J].}$

kde I _m označuje matici identity m × m a J je matice m × m parciálních derivací, hodnocená na ( a , b ). (Ve výše uvedeném byly tyto bloky označeny X a Y. Jak se to stane, v této konkrétní aplikaci věty ani jedna matice nezávisí na a .) Věta o implicitní funkci nyní uvádí, že můžeme lokálně vyjádřit jako funkci, pokud J je invertibilní. Požadování J je invertibilní je ekvivalentní det J ≠ 0, takže vidíme, že můžeme přejít zpět od primovaných k nepřipraveným souřadnicím, pokud je determinant Jacobian J nenulový. Tento příkaz je také známý jako věta o inverzní funkci . ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$

Příklad: polární souřadnice

Jako jednoduchou aplikaci výše uvedeného zvažte rovinu parametrizovanou polárními souřadnicemi ( R , θ). Můžeme přejít na nový souřadný systém ( kartézské souřadnice ) definováním funkcí x ( R , θ) = R cos (θ) a y ( R , θ) = R sin (θ). To umožňuje danému bodu ( R , θ) najít odpovídající kartézské souřadnice ( x , y ). Kdy se můžeme vrátit a převést kartézský na polární souřadnice? V předchozím příkladu stačí mít det J ≠ 0, s

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ částečné x (R, \ theta)} {\ částečné R}} & {\ frac {\ částečné x (R, \ theta)} {\ částečné \ theta}} \\ {\ frac {\ částečné y (R, \ theta)} {\ částečné R}} & {\ frac {\ částečné y (R, \ theta)} {\ částečné \ theta}} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -R \ sin \ theta \\\ sin \ theta & R \ cos \ theta \ end {bmatrix}}.}$

Protože det J = R , převod zpět na polární souřadnice je možný, pokud R ≠ 0. Zbývá tedy zkontrolovat případ R = 0. Je snadné vidět, že v případě R = 0 není naše transformace souřadnic invertovatelná: na původu, hodnota θ není přesně definována.

Zobecnění

Banachova vesmírná verze

Na základě věty o inverzní funkci v Banachových prostorech je možné rozšířit teorém implicitní funkce na mapování s Banachovým prostorem.

Nechť X , Y , Z jsou Banachovy prostory . Nechte zobrazení f  : X × Y → Z kontinuálně rozlišovat podle Frécheta . V případě , a je Banachův prostor izomorfismus z Y na Z , potom existují sousedství U o x ₀ a V z y ₀ a Frechet diferencovatelné funkce g  : U → V tak, že f ( x , g ( x )) = 0 a f ( x , y ) = 0 právě tehdy, když y = g ( x ), pro všechny . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ v X \ krát Y}$${\ displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ displaystyle y \ mapsto Df (x_ {0}, y_ {0}) (0, y)}$${\ displaystyle (x, y) \ v U \ krát V}$

Implicitní funkce z nediferencovatelných funkcí

Různé formy věty o implicitní funkci existují pro případ, kdy funkce f není diferencovatelná. Je standardní, že lokální přísná monotónnost postačuje v jedné dimenzi. Následující obecnější forma byla prokázána Kumagai na základě pozorování Jittorntra.

Zvažte spojitou funkci takovou . Existují otevřené sousedství a z x ₀ a y ₀ , v tomto pořadí, tak, že pro všechny y v B , je místně one-to-one právě tehdy, když existují otevřené sousedství a z x ₀ a y ₀ , tak, aby pro všechny , rovnice f ( x , y ) = 0 má jedinečné řešení ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ displaystyle A \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle B \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle f (\ cdot, y): A \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A_ {0} \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle B_ {0} \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle y \ v B_ {0}}$

${\ displaystyle x = g (y) \ v A_ {0},}$

kde g je spojitá funkce od B ₀ do A ₀ .

Viz také

• Věta o inverzní funkci
• Věta o konstantní pozici : Věta o implicitní funkci i věta o inverzní funkci lze považovat za speciální případ věty o konstantní pozici.

Poznámky

Reference

Další čtení

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Věty o diferencovatelných funkcích". Počet několika proměnných a diferencovatelných potrubí . New York: Macmillan. str. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Binmore, KG (1983). "Implicitní funkce" . Kalkul . New York: Cambridge University Press. 198 až 211. ISBN 0-521-28952-1.
• Loomis, Lynn H .; Sternberg, Shlomo (1990). Advanced Calculus (přepracované vydání). Boston: Jones a Bartlett. str.  164 až 171 . ISBN 0-86720-122-3.
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B. Jr. (1985). „Věty o implicitní funkci. Jacobians“ . Intermediate Calculus (2. vyd.). New York: Springer. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.