Área implícita

toro de área implícita (R = 40, a = 15)

área implícita de género 2

superficie no algebraica implícita ( copa de vino )

Una superficie implícita en matemáticas es una superficie en el espacio euclidiano que está representada por una ecuación de la forma

${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0}$

es descrito. Un área implícita consiste en la totalidad de los ceros de una función de tres variables. Implícito significa que la ecuación del área no se resuelve para x o yo z.

Los gráficos de funciones generalmente se describen mediante una ecuación y, por lo tanto, son áreas representadas explícitamente . La tercera Descripción importante de las superficies es la representación de parámetros: . Las coordenadas x, y y z de los puntos de la superficie se describen mediante tres funciones que dependen de dos parámetros comunes . La transición de una representación a otra generalmente solo es fácil si hay una representación explícita : (implícita), (parametrizada). ${\ Displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ Displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ Displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ Displaystyle z = f (x, y)}$${\ Displaystyle zf (x, y) = 0}$${\ Displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Ejemplos de superficies implícitas:

1. un nivel ,${\ Displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. una bala ,${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. un toro ,${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Área de género 2: (ver imagen),${\ Displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Superficie de rotación (ver foto copa de vino ).${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

Si bien se pueden especificar fácilmente representaciones paramétricas para el plano, la esfera y el toro, esto ya no es fácil para la cuarta superficie.

Como en el caso de las curvas implícitas , bajo ciertas condiciones, el teorema de las funciones implícitas también se puede utilizar para probar localmente una representación explícita de superficies implícitas. En la práctica, tales resoluciones solo son posibles en casos simples (plano, esfera, ...). Pero la posibilidad teórica de una resolución es la clave para calcular planos tangentes y curvaturas en un punto de la superficie (ver más abajo).

Si hay un polinomio en x, y y z, el área asociada se llama algebraica .${\ Displaystyle F (x, y, z)}$

El ejemplo 5 no es algebraico.

Las áreas implícitas tienen la desventaja de que son difíciles de visualizar. Sin embargo, ofrecen una amplia gama de superficies teóricamente interesantes (por ejemplo, superficies Steiner ) y en el área CAD es relativamente fácil generar superficies con formas y propiedades predecibles (ver más abajo).

Fórmulas

Para las siguientes fórmulas, el área implícita siempre se describe mediante una ecuación , por lo que la función cumple los requisitos de diferenciabilidad necesarios. Las derivadas parciales de se indican mediante etc. ${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Plano tangente y vector normal

Un punto de la superficie se llama regular, si ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ Displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$es, de lo contrario, el punto se llama singular .

La ecuación del plano tangente en un punto de superficie regular es ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ Displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$, y

${\ Displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$es un vector normal .

Curvatura normal

Para mantener clara la fórmula, los argumentos se han dejado aquí : ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ Displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$es la curvatura normal de la superficie en un punto regular en la dirección del vector unitario tangente .${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle H_ {F}}$es la matriz de Hesse de (matriz de las segundas derivadas). ${\ Displaystyle F}$

La demostración de estas fórmulas resulta, como en el caso de la curva implícita, del teorema sobre la resolución de funciones implícitas y la fórmula para la curvatura normal de una superficie parametrizada.

Aplicaciones de superficies implícitas

Las superficies implícitas, como las curvas implícitas, se pueden generar con relativa facilidad mediante operaciones algebraicas (suma, multiplicación) de superficies / funciones implícitas simples.

Área equipotencial de cargas de 4 puntos

Áreas equipotenciales de cargas puntuales

El potencial de una carga puntual en el punto , medido en el punto , puede pasarse, excepto por las constantes. ${\ Displaystyle q_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ Displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ describir.

El área equipotencial al potencial es el área implícita . Esta es una esfera centrada . ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

El potencial de (p. Ej.) Cargas puntuales puede transmitirse ${\ Displaystyle 4}$

${\ Displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ describir.

En la figura, las cuatro cargas son iguales a 1 y están ubicadas en los puntos . El área que se muestra es el área equipotencial (área implícita) . ${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ Displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Áreas de producto con espaciado constante

Así como una curva de Cassini se puede definir como el conjunto de puntos para los cuales el producto de las distancias a dos puntos dados es constante (¡con una elipse las sumas de las distancias a dos puntos son constantes!), Las áreas también se pueden definir cuya distancia los productos les permiten los puntos dados son constantes.

La superficie que se muestra en la imagen Metamorfosis en la parte superior izquierda se crea de acuerdo con este principio: Con

${\ Displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

resultados en la zona . ${\ Displaystyle F (x, y, z) -1,1 = 0}$

Metamorfosis entre dos superficies implícitas (toroide y superficie del producto de distancia)

Metamorfosis de superficies implícitas

Otra construcción simple de nuevas superficies implícitas es la metamorfosis de superficies implícitas. Al hacerlo, uno asume dos superficies implícitas (en el ejemplo: una superficie de producto de distancia y un toro) y usa el parámetro de matriz para generar la matriz de superficies ${\ Displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ Displaystyle \ mu \ en [0,1]}$

${\ Displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Las áreas para se muestran en la imagen. ${\ Displaystyle \ mu = 0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1}$

Aproximación de tres toros (proyección paralela)

Imagen de PovRay de una aproximación de tres toros (proyección central)

Aproximaciones suaves de varias superficies implícitas

De forma análoga al método de aproximación suave de varias curvas implícitas, se obtiene

${\ Displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

para parámetros adecuados, aproximaciones suaves de tres toros que se cruzan con las ecuaciones ${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ Displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ Displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( y ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(El parámetro de la cara en la imagen son: ) ${\ Displaystyle R = 1, \, a = 0.2, \, c = 0.01}$

Imagen de PovRay : metamorfosis entre una esfera y una superficie de producto de 6 puntos de distancia

Visualización de áreas implícitas

Las áreas implícitas solo se pueden visualizar con un esfuerzo considerable. Básicamente, hay dos ideas para representar una superficie implícita. Un método se basa en la generación de polígonos que cubren el área a visualizar. Estos polígonos se pueden utilizar directamente para visualizar el área o los polígonos y su representación se puede procesar posteriormente con un programa adecuado. Se puede encontrar información sobre esto en Triangulación de un área. Otro método se basa en el trazado de rayos . Aquí, se examinan muchas líneas de visión individuales para determinar su intersección con la superficie.

En las dos últimas imágenes, las superficies trianguladas fueron postprocesadas con el programa PovRay . Al comparar las imágenes con los 3 Tori, tenga en cuenta que la imagen de PovRay es una proyección central.

enlaces web

• Sultanov: áreas implícitas
• Hartmann: geometría y algoritmos para el DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA
• GEOMVIEW
• K3Dsurf: generador de superficies 3d
• SURF: visualización de superficies algebraicas

literatura

• John A. Thorpe: Temas elementales en geometría diferencial. Springer-Verlag, Nueva York 1979, ISBN 0-387-90357-7 .