Obszar niejawny

domniemany torus pola (R = 40, a = 15)

ukryty obszar płci 2

ukryta powierzchnia algebraiczna ( kieliszek do wina )

Ukryte powierzchni w matematyce jest powierzchnia w euklidesowej przestrzeni, która jest reprezentowana przez równanie postaci

${\ styl wyświetlania F (x, y, z) = 0}$

jest opisany. Obszar niejawny składa się z sumy zer funkcji trzech zmiennych. Niejawny oznacza, że ​​równanie obszaru nie jest rozwiązane dla x, y lub z.

Wykresy funkcyjne są zwykle opisywane przez równanie, a zatem są wyraźnie reprezentowanymi obszarami. Trzecim ważnym opisem powierzchni jest reprezentacja parametrów: . Współrzędne x, y i z punktów powierzchni są opisane przez trzy funkcje zależne od dwóch wspólnych parametrów . Przejście z jednej reprezentacji do drugiej jest zwykle łatwe tylko wtedy, gdy istnieje jawna reprezentacja : (niejawna), (sparametryzowana). ${\ styl wyświetlania z = f (x, y)}$ ${\ styl wyświetlania (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ styl wyświetlania z = f (x, y)}$${\ styl wyświetlania zf (x, y) = 0}$${\ styl wyświetlania (s, t, f (s, t))}$

Przykłady niejawnych powierzchni:

1. jeden poziom ,${\ styl wyświetlania x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. kula ,${\ styl wyświetlania x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. torus ,${\ styl wyświetlania (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Obszar płci 2: (patrz zdjęcie),${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2} } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Powierzchnia obrotu (patrz zdjęcie kieliszek do wina ).${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

Chociaż można łatwo określić reprezentacje parametryczne dla płaszczyzny, sfery i torusa, nie jest to już łatwe w przypadku czwartej powierzchni.

Podobnie jak w przypadku krzywych niejawnych , pod pewnymi warunkami twierdzenie o funkcjach niejawnych może być również użyte do lokalnego udowodnienia jawnej reprezentacji dla niejawnych powierzchni. W praktyce takie rozdzielczości są możliwe tylko w prostych przypadkach (płaszczyzna, kula, ...). Ale teoretyczna możliwość rozdzielczości jest kluczem do obliczenia płaszczyzn stycznych i krzywizn w punkcie powierzchni (patrz poniżej).

Jeśli istnieje wielomian w x, y i z, powiązany obszar nazywa się algebraicznym .${\ styl wyświetlania F (x, y, z)}$

Przykład 5. nie jest algebraiczny.

Niejawne obszary mają tę wadę, że są trudne do wizualizacji. Oferują jednak szeroki zakres teoretycznie interesujących powierzchni (np. powierzchnie Steinera ), a w obszarze CAD stosunkowo łatwo jest wygenerować powierzchnie o przewidywalnych kształtach i właściwościach (patrz niżej).

Formuły

Dla poniższych wzorów obszar niejawny jest zawsze opisywany równaniem , przy czym funkcja spełnia niezbędne wymagania różniczkowalności. Te pochodne cząstkowe z są oznaczone przez etc. ${\ styl wyświetlania F (x, y, z) = 0}$${\ styl wyświetlania F}$${\ styl wyświetlania F}$${\ styl wyświetlania F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Punkt powierzchni nazywa się regularnym, jeśli ${\ styl wyświetlania (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ styl wyświetlania (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$jest, w przeciwnym razie punkt nazywa się liczbą pojedynczą .

Równanie płaszczyzny stycznej w regularnym punkcie powierzchni to ${\ styl wyświetlania (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$, i

${\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$jest wektorem normalnym .

Krzywizna normalna

Aby formuła była klarowna, pominięto tutaj argumenty : ${\ styl wyświetlania (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$jest normalną krzywizną powierzchni w regularnym punkcie w kierunku jednostkowego wektora stycznego .${\ styl wyświetlania \ mathbf {v}}$

${\ styl wyświetlania H_ {F}}$jest Heskie matrycy z (osnowa drugiej pochodnej). ${\ styl wyświetlania F}$

Dowód tych wzorów wynika, podobnie jak w przypadku krzywej uwikłanej, z twierdzenia o rozdzielczości funkcji uwikłanych oraz wzoru na krzywiznę normalną sparametryzowanej powierzchni.

Zastosowania ukrytych powierzchni

Niejawne powierzchnie, takie jak niejawne krzywe, mogą być stosunkowo łatwo generowane przez operacje algebraiczne (dodawanie, mnożenie) prostych niejawnych powierzchni/funkcji.

Obszar ekwipotencjalny opłat punktowych 4

Obszary ekwipotencjalne opłat punktowych

Potencjał za punkt w punkcie , mierzone w punkcie , może być przekazywane przez, oprócz stałych ${\ styl wyświetlania q_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ opisać.

Obszar ekwipotencjalny do potencjału jest obszarem niejawnym . To jest wyśrodkowana sfera . ${\ styl wyświetlania c}$${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ styl wyświetlania \ mathbf {p} _ {i}}$

Potencjał (np.) opłat punktowych może zostać przepuszczony ${\ styl wyświetlania 4}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ opisać.

Na rysunku cztery ładunki są równe 1 i znajdują się w punktach . Pokazany obszar jest obszarem ekwipotencjalnym (obszar niejawny) . ${\ styl wyświetlania (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ styl wyświetlania F (x, y, z) -2,8 = 0}$

Obszary produktów o stałych odstępach

Tak jak krzywą Cassini można zdefiniować jako zbiór punktów, dla których iloczyn odległości do dwóch danych punktów jest stały (przy elipsie sumy odległości do dwóch punktów są stałe!), można również zdefiniować obszary, których odległość produkty pozwalają im podane punkty są stałe.

Powierzchnia pokazana na obrazku Metamorfozy w lewym górnym rogu jest tworzona według następującej zasady: With

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + r ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

wyniki w obszarze . ${\ styl wyświetlania F (x, y, z) -1,1 = 0}$

Metamorfoza między dwiema niejawnymi powierzchniami (powierzchnia torusa i produktu odległości)

Metamorfozy ukrytych powierzchni

Inną prostą konstrukcją nowych niejawnych powierzchni jest metamorfoza niejawnych powierzchni. W ten sposób zakłada się dwie niejawne powierzchnie (w przykładzie: powierzchnię iloczynu odległości i torus) i używa parametru szyku do wygenerowania szyku powierzchni ${\ styl wyświetlania F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ styl wyświetlania \ mu \ w [0,1]}$

${\ styl wyświetlania F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Obszary dla zostały pokazane na zdjęciu. ${\ styl wyświetlania \ mu = 0, \, 0,33, \, 0,66, \, 1}$

Aproksymacja trzech tori (rzut równoległy)

Obraz PovRay aproksymacji trzech tori (projekcja środkowa)

Gładkie przybliżenia kilku ukrytych powierzchni

Analogicznie do metody gładkiej aproksymacji kilku krzywych niejawnych uzysków

${\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

dla odpowiednich parametrów, gładkie przybliżenia trzech przecinających się tori z równaniami ${\ styl wyświetlania c}$

${\ displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( r ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(Parametry twarzy na obrazku to: ) ${\ styl wyświetlania R = 1, \, a = 0,2, \, c = 0,01}$

Obraz PovRay : metamorfoza między sferą a 6-punktową powierzchnią produktu odległości

Wizualizacja niejawnych obszarów

Niejawne obszary można zwizualizować tylko przy dużym wysiłku. Zasadniczo istnieją dwie koncepcje reprezentacji niejawnej powierzchni. Jedna metoda opiera się na generowaniu wielokątów pokrywających obszar do wyświetlenia. Te wielokąty można wykorzystać bezpośrednio do wizualizacji obszaru lub wielokątów, a ich reprezentację można dalej przetwarzać za pomocą odpowiedniego programu. Informacje na ten temat można znaleźć w Triangulacji obszaru. Inna metoda opiera się na ray tracingu . Tutaj wiele pojedynczych linii widzenia jest sprawdzanych pod kątem ich przecięcia z powierzchnią.

Na ostatnich dwóch obrazach triangulowane powierzchnie poddano obróbce końcowej za pomocą programu PovRay . Porównując obrazy z 3 Tori, zwróć uwagę, że obraz PovRay jest projekcją centralną.

linki internetowe

• Sułtanow: obszary niejawne
• Hartmann: Geometria i algorytmy do projektowania wspomaganego komputerowo
• GEOMWIDOK
• K3Dsurf: generator powierzchni 3D
• SURF: wizualizacja powierzchni algebraicznych

literatura

• John A. Thorpe: Podstawowe zagadnienia z geometrii różniczkowej. Springer-Verlag, Nowy Jork 1979, ISBN 0-387-90357-7 .